Theorem hbimpgVD 33437

Description: Virtual deduction proof of hbimpg 33060. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbimpg 33060 is hbimpgVD 33437 without virtual deductions and was automatically derived from hbimpgVD 33437. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ).
2:1:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ph -> A. x ph ) ).
3::	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) , -. ph ->. -. ph ).
4:2:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
5:4:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
6:3,5:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) , -. ph ->. A. x -. ph ).
7::	|- ( -. ph -> ( ph -> ps ) )
8:7:	|- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> ps ) )
9:6,8:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) , -. ph ->. A. x ( ph -> ps ) ).
10:9:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
11::	|- ( ps -> ( ph -> ps ) )
12:11:	|- ( A. x ps -> A. x ( ph -> ps ) )
13:1:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ps -> A. x ps ) ).
14:13:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ps ) ).
15:14,12:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
16:10,15:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
17::	|- ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) )
18:16,17:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
19::	|- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. x ( ph -> A. x ph ) )
20::	|- ( A. x ( ps -> A. x ps ) -> A. x A. x ( ps -> A. x ps ) )
21:19,20:	|- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) )
22:21,18:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
qed:22:	|- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hbimpgVD	|- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )

Proof of Theorem hbimpgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 1882	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. x ( ph -> A. x ph ) )
2		hba1 1882	. . . 4 |- ( A. x ( ps -> A. x ps ) -> A. x A. x ( ps -> A. x ps ) )
3	1, 2	hban 1917	. . 3 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) )
4		idn2 33132	. . . . . . . 8 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ,. -. ph ->. -. ph ).
5		idn1 33084	. . . . . . . . . . 11 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ).
6		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ph -> A. x ph ) )
7	5, 6	e1a 33146	. . . . . . . . . 10 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ph -> A. x ph ) ).
8		hbntal 33059	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) )
9	7, 8	e1a 33146	. . . . . . . . 9 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
10		sp 1845	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) -> ( -. ph -> A. x -. ph ) )
11	9, 10	e1a 33146	. . . . . . . 8 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
12		pm2.27 39	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( ( -. ph -> A. x -. ph ) -> A. x -. ph ) )
13	4, 11, 12	e21 33260	. . . . . . 7 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ,. -. ph ->. A. x -. ph ).
14		pm2.21 108	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( ph -> ps ) )
15	14	alimi 1620	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> ps ) )
16	13, 15	e2 33150	. . . . . 6 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ,. -. ph ->. A. x ( ph -> ps ) ).
17	16	in2 33124	. . . . 5 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
18		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ps -> A. x ps ) )
19	5, 18	e1a 33146	. . . . . . 7 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ps -> A. x ps ) ).
20		sp 1845	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ps -> A. x ps ) -> ( ps -> A. x ps ) )
21	19, 20	e1a 33146	. . . . . 6 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ps ) ).
22		ax-1 6	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( ph -> ps ) )
23	22	alimi 1620	. . . . . 6 |- ( A. x ps -> A. x ( ph -> ps ) )
24		imim1 76	. . . . . 6 |- ( ( ps -> A. x ps ) -> ( ( A. x ps -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
25	21, 23, 24	e10 33213	. . . . 5 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
26		jao 512	. . . . 5 |- ( ( -. ph -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
27	17, 25, 26	e11 33207	. . . 4 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
28		imor 412	. . . 4 |- ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) )
29		imbi1 323	. . . . 5 |- ( ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) <-> ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
30	29	biimprcd 225	. . . 4 |- ( ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
31	27, 28, 30	e10 33213	. . 3 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
32	3, 31	gen11nv 33136	. 2 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
33	32	in1 33081	1 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-10 1823  ax-12 1840

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-ex 1600  df-nf 1604  df-vd1 33080  df-vd2 33088

This theorem is referenced by: (None)