Theorem hbimpgVD 36941

Description: Virtual deduction proof of hbimpg 36558. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. hbimpg 36558 is hbimpgVD 36941 without virtual deductions and was automatically derived from hbimpgVD 36941. (Contributed by Alan Sare, 8-Feb-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

1::	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ).
2:1:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ph -> A. x ph ) ).
3::	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) , -. ph ->. -. ph ).
4:2:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
5:4:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
6:3,5:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) , -. ph ->. A. x -. ph ).
7::	|- ( -. ph -> ( ph -> ps ) )
8:7:	|- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> ps ) )
9:6,8:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) , -. ph ->. A. x ( ph -> ps ) ).
10:9:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
11::	|- ( ps -> ( ph -> ps ) )
12:11:	|- ( A. x ps -> A. x ( ph -> ps ) )
13:1:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ps -> A. x ps ) ).
14:13:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ps ) ).
15:14,12:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
16:10,15:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
17::	|- ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) )
18:16,17:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
19::	|- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. x ( ph -> A. x ph ) )
20::	|- ( A. x ( ps -> A. x ps ) -> A. x A. x ( ps -> A. x ps ) )
21:19,20:	|- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) )
22:21,18:	|- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
qed:22:	|- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )

Assertion

Ref	Expression
hbimpgVD	|- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )

Proof of Theorem hbimpgVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hba1 1953	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x A. x ( ph -> A. x ph ) )
2		hba1 1953	. . . 4 |- ( A. x ( ps -> A. x ps ) -> A. x A. x ( ps -> A. x ps ) )
3	1, 2	hban 1989	. . 3 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) )
4		idn2 36630	. . . . . . . 8 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ,. -. ph ->. -. ph ).
5		idn1 36582	. . . . . . . . . . 11 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ).
6		simpl 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ph -> A. x ph ) )
7	5, 6	e1a 36644	. . . . . . . . . 10 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ph -> A. x ph ) ).
8		hbntal 36557	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) -> A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) )
9	7, 8	e1a 36644	. . . . . . . . 9 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
10		sp 1912	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( -. ph -> A. x -. ph ) -> ( -. ph -> A. x -. ph ) )
11	9, 10	e1a 36644	. . . . . . . 8 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x -. ph ) ).
12		pm2.27 40	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( ( -. ph -> A. x -. ph ) -> A. x -. ph ) )
13	4, 11, 12	e21 36757	. . . . . . 7 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ,. -. ph ->. A. x -. ph ).
14		pm2.21 111	. . . . . . . 8 |- ( -. ph -> ( ph -> ps ) )
15	14	alimi 1680	. . . . . . 7 |- ( A. x -. ph -> A. x ( ph -> ps ) )
16	13, 15	e2 36648	. . . . . 6 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ,. -. ph ->. A. x ( ph -> ps ) ).
17	16	in2 36622	. . . . 5 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( -. ph -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
18		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ps -> A. x ps ) )
19	5, 18	e1a 36644	. . . . . . 7 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ps -> A. x ps ) ).
20		sp 1912	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ps -> A. x ps ) -> ( ps -> A. x ps ) )
21	19, 20	e1a 36644	. . . . . 6 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ps ) ).
22		ax-1 6	. . . . . . 7 |- ( ps -> ( ph -> ps ) )
23	22	alimi 1680	. . . . . 6 |- ( A. x ps -> A. x ( ph -> ps ) )
24		imim1 79	. . . . . 6 |- ( ( ps -> A. x ps ) -> ( ( A. x ps -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
25	21, 23, 24	e10 36711	. . . . 5 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
26		jao 514	. . . . 5 |- ( ( -. ph -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ( ps -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
27	17, 25, 26	e11 36705	. . . 4 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
28		imor 413	. . . 4 |- ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) )
29		imbi1 324	. . . . 5 |- ( ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) <-> ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
30	29	biimprcd 228	. . . 4 |- ( ( ( -. ph \/ ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) -> ( ( ( ph -> ps ) <-> ( -. ph \/ ps ) ) -> ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ) )
31	27, 28, 30	e10 36711	. . 3 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
32	3, 31	gen11nv 36634	. 2 |- (. ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) ->. A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) ).
33	32	in1 36579	1 |- ( ( A. x ( ph -> A. x ph ) /\ A. x ( ps -> A. x ps ) ) -> A. x ( ( ph -> ps ) -> A. x ( ph -> ps ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   A.wal 1435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-12 1907

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-ex 1660  df-nf 1664  df-vd1 36578  df-vd2 36586

This theorem is referenced by: (None)