Theorem hbcsbg 2569

Description: Bound-variable hypothesis builder for substitution into a class.

Hypotheses

Ref	Expression
hbcsbg.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
hbcsbg.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbcsbg	|- (A e. C -> (z e. [_A / y]_B -> A.x z e. [_A / y]_B))

Distinct variable groups:   z,A   z,B   x,z

Proof of Theorem hbcsbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (A e. C -> A e. _V)
2		hbcsbg.1	. . . . . 6 |- (z e. A -> A.x z e. A)
3		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (z e. _V -> A.x z e. _V)
4	2, 3	hbel 1996	. . . . 5 |- (A e. _V -> A.x A e. _V)
5		ax-17 1317	. . . . 5 |- (A e. _V -> A.w A e. _V)
6	4, 5	19.21ai 1345	. . . 4 |- (A e. _V -> A.xA.w A e. _V)
7		ax-17 1317	. . . . . 6 |- (z e. w -> A.x z e. w)
8		hbcsbg.2	. . . . . 6 |- (z e. B -> A.x z e. B)
9	7, 8	hbel 1996	. . . . 5 |- (w e. B -> A.x w e. B)
10	2, 9	hbsbcg 2466	. . . 4 |- (A e. _V -> ([A / y]w e. B -> A.x[A / y]w e. B))
11	6, 10	hbabd 1876	. . 3 |- (A e. _V -> (z e. {w | [A / y]w e. B} -> A.x z e. {w | [A / y]w e. B}))
12		df-csb 2541	. . . 4 |- [_A / y]_B = {w | [A / y]w e. B}
13	12	eleq2i 1961	. . 3 |- (z e. [_A / y]_B <-> z e. {w | [A / y]w e. B})
14	13	albii 1346	. . 3 |- (A.x z e. [_A / y]_B <-> A.x z e. {w | [A / y]w e. B})
15	11, 13, 14	3imtr4g 612	. 2 |- (A e. _V -> (z e. [_A / y]_B -> A.x z e. [_A / y]_B))
16	1, 15	syl 12	1 |- (A e. C -> (z e. [_A / y]_B -> A.x z e. [_A / y]_B))

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 1296   e. wcel 1300  [wsbc 1534  {cab 1871  _Vcvv 2292  [_csb 2540

This theorem is referenced by:  csbie2t 2578  oprabval2gf 4955  oprabval4gALT 4961  dfoprab5sf 5058  foprab2 5061  iunfoprab 5072  cbvcsb 15354  cnresoprab 15915  cbvralcsf 16411  cbvrexcsf 16412  cbvreucsf 16413  cbvrabcsf 16414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541

Copyright terms: Public domain