MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  haustsms Structured version   Unicode version

Theorem haustsms 21081
Description: In a Hausdorff topological group, a sum has at most one limit point. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
tsmscl.1  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
tsmscl.2  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
tsmscl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
tsmscl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
haustsms.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
haustsms.h  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
Assertion
Ref Expression
haustsms  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G    x, J    ph, x
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem haustsms
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustsms.h . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
2 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin )
3 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y 
C_  z } )  =  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )
4 eqid 2429 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )  =  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )
5 tsmscl.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
62, 3, 4, 5tsmsfbas 21073 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
7 fgcl 20824 . . . 4  |-  ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } )  e.  (
fBas `  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
9 tsmscl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
10 tsmscl.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
11 tsmscl.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
129, 2, 10, 5, 11tsmslem1 21074 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  B
)
13 tsmscl.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
14 haustsms.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
159, 14tpsuni 19884 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  TopSp  ->  B  =  U. J )
1613, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =  U. J
)
1716adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  B  =  U. J )
1812, 17eleqtrd 2519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) )  e.  U. J )
19 eqid 2429 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G 
gsumg  ( F  |`  z ) ) )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z
) ) )
2018, 19fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> U. J
)
21 eqid 2429 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
2221hausflf 20943 . . 3  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) )  e.  ( Fil `  ( ~P A  i^i  Fin )
)  /\  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) --> U. J
)  ->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) )
231, 8, 20, 22syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) )
249, 14, 2, 4, 10, 5, 11tsmsval 21076 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G tsums  F )  =  ( ( J 
fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) )
2524eleq2d 2499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( G tsums  F )  <->  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) ) )
2625mobidv 2289 . 2  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( G tsums  F
)  <->  E* x  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ~P A  i^i  Fin ) filGen ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  { z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |  y  C_  z } ) ) ) `
 ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( G  gsumg  ( F  |`  z ) ) ) ) ) )
2723, 26mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( G tsums  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   E*wmo 2267   {crab 2786    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   U.cuni 4222    |-> cmpt 4484   ran crn 4855    |` cres 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   Basecbs 15084   TopOpenctopn 15279    gsumg cgsu 15298  CMndccmn 17365   fBascfbas 18893   filGencfg 18894   TopSpctps 19850   Hauscha 20255   Filcfil 20791    fLimf cflf 20881   tsums ctsu 21071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-top 19852  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-nei 20045  df-haus 20262  df-fil 20792  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tsms 21072
This theorem is referenced by:  haustsms2  21082  taylf  23181
  Copyright terms: Public domain W3C validator