Theorem haustlmu 15906

Description: Limits are unique in a Hausdorff space.

Hypothesis

Ref	Expression
haustlmu.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
haustlmu	|- (J e. Haus -> E*x F(~~>t` J)x)

Distinct variable groups:   x,F   x,J   x,X

Proof of Theorem haustlmu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 9063	. . . . 5 |- (J e. Haus -> J e. Top)
2		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
3		haustlmu.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
4	3	tlmbr 15904	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ x e. _V) -> (F(~~>t` J)x <-> (F:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u)))
5	2, 4	mpan2 760	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (F(~~>t` J)x <-> (F:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u)))
6		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
7	3	tlmbr 15904	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ y e. _V) -> (F(~~>t` J)y <-> (F:NN-->X /\ y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))
8	6, 7	mpan2 760	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (F(~~>t` J)y <-> (F:NN-->X /\ y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))
9	5, 8	anbi12d 690	. . . . 5 |- (J e. Top -> ((F(~~>t` J)x /\ F(~~>t` J)y) <-> ((F:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) /\ (F:NN-->X /\ y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))))
10	1, 9	syl 12	. . . 4 |- (J e. Haus -> ((F(~~>t` J)x /\ F(~~>t` J)y) <-> ((F:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) /\ (F:NN-->X /\ y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))))
11	3	hausnei 9061	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) -> E.p e. J E.q e. J (x e. p /\ y e. q /\ (p i^i q) = (/)))
12		opnneip 9009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ p e. J /\ x e. p) -> p e. ((nei` J)` {x}))
13	12	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (J e. Top -> ((p e. J /\ x e. p) -> p e. ((nei` J)` {x})))
14		opnneip 9009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ q e. J /\ y e. q) -> q e. ((nei` J)` {y}))
15	14	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (J e. Top -> ((q e. J /\ y e. q) -> q e. ((nei` J)` {y})))
16	13, 15	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (J e. Top -> (((p e. J /\ x e. p) /\ (q e. J /\ y e. q)) -> (p e. ((nei` J)` {x}) /\ q e. ((nei` J)` {y}))))
17	1, 16	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (J e. Haus -> (((p e. J /\ x e. p) /\ (q e. J /\ y e. q)) -> (p e. ((nei` J)` {x}) /\ q e. ((nei` J)` {y}))))
18	17	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) -> (((p e. J /\ x e. p) /\ (q e. J /\ y e. q)) -> (p e. ((nei` J)` {x}) /\ q e. ((nei` J)` {y}))))
19		reeanv 2249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (E.a e. NN E.c e. NN (A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p /\ A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q) <-> (E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p /\ E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q))
20		uzaddcl 7618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((a e. (ZZ>=` a) /\ c e. NN0) -> (a + c) e. (ZZ>=` a))
21		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (a e. NN -> a e. ZZ)
22		uzid 7596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (a e. ZZ -> a e. (ZZ>=` a))
23	21, 22	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (a e. NN -> a e. (ZZ>=` a))
24		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (c e. NN -> c e. NN0)
25	20, 23, 24	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> (a + c) e. (ZZ>=` a))
26		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (b = (a + c) -> (F` b) = (F` (a + c)))
27	26	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (b = (a + c) -> ((F` b) e. p <-> (F` (a + c)) e. p))
28	27	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((a + c) e. (ZZ>=` a) -> (A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p -> (F` (a + c)) e. p))
29	25, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> (A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p -> (F` (a + c)) e. p))
30		addcom 6458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((a e. CC /\ c e. CC) -> (a + c) = (c + a))
31		nncn 7113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (a e. NN -> a e. CC)
32		nncn 7113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (c e. NN -> c e. CC)
33	30, 31, 32	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> (a + c) = (c + a))
34		uzaddcl 7618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((c e. (ZZ>=` c) /\ a e. NN0) -> (c + a) e. (ZZ>=` c))
35		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (c e. NN -> c e. ZZ)
36		uzid 7596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (c e. ZZ -> c e. (ZZ>=` c))
37	35, 36	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (c e. NN -> c e. (ZZ>=` c))
38		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- (a e. NN -> a e. NN0)
39	34, 37, 38	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((c e. NN /\ a e. NN) -> (c + a) e. (ZZ>=` c))
40	39	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> (c + a) e. (ZZ>=` c))
41	33, 40	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> (a + c) e. (ZZ>=` c))
42		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (d = (a + c) -> (F` d) = (F` (a + c)))
43	42	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (d = (a + c) -> ((F` d) e. q <-> (F` (a + c)) e. q))
44	43	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((a + c) e. (ZZ>=` c) -> (A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q -> (F` (a + c)) e. q))
45	41, 44	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> (A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q -> (F` (a + c)) e. q))
46	29, 45	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> ((A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p /\ A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q) -> ((F` (a + c)) e. p /\ (F` (a + c)) e. q)))
47		inelcm 2928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((F` (a + c)) e. p /\ (F` (a + c)) e. q) -> (p i^i q) =/= (/))
48	46, 47	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((a e. NN /\ c e. NN) -> ((A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p /\ A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q) -> (p i^i q) =/= (/)))
49	48	r19.23aivv 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (E.a e. NN E.c e. NN (A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p /\ A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q) -> (p i^i q) =/= (/))
50	19, 49	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p /\ E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q) -> (p i^i q) =/= (/))
51		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (u = p -> ((F` b) e. u <-> (F` b) e. p))
52	51	rexralbidv 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (u = p -> (E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u <-> E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p))
53	52	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((p e. ((nei` J)` {x}) /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) -> E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. p)
54		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (v = q -> ((F` d) e. v <-> (F` d) e. q))
55	54	rexralbidv 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (v = q -> (E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v <-> E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q))
56	55	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((q e. ((nei` J)` {y}) /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v) -> E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. q)
57	50, 53, 56	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((p e. ((nei` J)` {x}) /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) /\ (q e. ((nei` J)` {y}) /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)) -> (p i^i q) =/= (/))
58	57	an4s 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((p e. ((nei` J)` {x}) /\ q e. ((nei` J)` {y})) /\ (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)) -> (p i^i q) =/= (/))
59	58	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((p e. ((nei` J)` {x}) /\ q e. ((nei` J)` {y})) -> ((A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v) -> (p i^i q) =/= (/)))
60	59	necon2bd 2057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((p e. ((nei` J)` {x}) /\ q e. ((nei` J)` {y})) -> ((p i^i q) = (/) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))
61	18, 60	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) -> (((p e. J /\ x e. p) /\ (q e. J /\ y e. q)) -> ((p i^i q) = (/) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))))
62		an4 564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((p e. J /\ q e. J) /\ (x e. p /\ y e. q)) <-> ((p e. J /\ x e. p) /\ (q e. J /\ y e. q)))
63	61, 62	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) -> (((p e. J /\ q e. J) /\ (x e. p /\ y e. q)) -> ((p i^i q) = (/) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))))
64	63	expdimp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) /\ (p e. J /\ q e. J)) -> ((x e. p /\ y e. q) -> ((p i^i q) = (/) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))))
65	64	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) /\ (p e. J /\ q e. J)) -> (x e. p -> (y e. q -> ((p i^i q) = (/) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))))
66	65	3impd 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) /\ (p e. J /\ q e. J)) -> ((x e. p /\ y e. q /\ (p i^i q) = (/)) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))
67	66	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) -> ((p e. J /\ q e. J) -> ((x e. p /\ y e. q /\ (p i^i q) = (/)) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))))
68	67	r19.23advv 2218	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) -> (E.p e. J E.q e. J (x e. p /\ y e. q /\ (p i^i q) = (/)) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))
69	11, 68	mpd 29	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X /\ x =/= y)) -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))
70	69	3exp2 1086	. . . . . . . . 9 |- (J e. Haus -> (x e. X -> (y e. X -> (x =/= y -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))))
71	70	imp32 390	. . . . . . . 8 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X)) -> (x =/= y -> -. (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))
72	71	necon4ad 2071	. . . . . . 7 |- ((J e. Haus /\ (x e. X /\ y e. X)) -> ((A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v) -> x = y))
73	72	expimpd 404	. . . . . 6 |- (J e. Haus -> (((x e. X /\ y e. X) /\ (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)) -> x = y))
74		an4 564	. . . . . 6 |- (((x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) /\ (y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)) <-> ((x e. X /\ y e. X) /\ (A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)))
75	73, 74	syl5ib 223	. . . . 5 |- (J e. Haus -> (((x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) /\ (y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)) -> x = y))
76		3simpc 874	. . . . 5 |- ((F:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) -> (x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u))
77		3simpc 874	. . . . 5 |- ((F:NN-->X /\ y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v) -> (y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v))
78	75, 76, 77	syl2ani 515	. . . 4 |- (J e. Haus -> (((F:NN-->X /\ x e. X /\ A.u e. ((nei` J)` {x})E.a e. NN A.b e. (ZZ>=` a)(F` b) e. u) /\ (F:NN-->X /\ y e. X /\ A.v e. ((nei` J)` {y})E.c e. NN A.d e. (ZZ>=` c)(F` d) e. v)) -> x = y))
79	10, 78	sylbid 220	. . 3 |- (J e. Haus -> ((F(~~>t` J)x /\ F(~~>t` J)y) -> x = y))
80	79	19.21aivv 1665	. 2 |- (J e. Haus -> A.xA.y((F(~~>t` J)x /\ F(~~>t` J)y) -> x = y))
81		breq2 3342	. . 3 |- (x = y -> (F(~~>t` J)x <-> F(~~>t` J)y))
82	81	mo4 1799	. 2 |- (E*x F(~~>t` J)x <-> A.xA.y((F(~~>t` J)x /\ F(~~>t` J)y) -> x = y))
83	80, 82	sylibr 217	1 |- (J e. Haus -> E*x F(~~>t` J)x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  Topctop 8857  neicnei 8988  Hauscha 9058  ~~>tctlm 15901

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-nei 8989  df-haus 9059  df-tlm 15902

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