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Theorem hausnei2 20145
Description: The Hausdorff condition still holds if one considers general neighborhoods instead of open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
hausnei2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    v, u, x, y, J   
u, X, v, x, y

Proof of Theorem hausnei2
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ishaus2 20143 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
2 topontop 19717 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
3 simp1 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  ->  J  e.  Top )
43adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  J  e.  Top )
5 simp2 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  ->  m  e.  J )
65adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  m  e.  J
)
7 simp1 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  x  e.  m )
87adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  x  e.  m
)
9 opnneip 19911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  x  e.  m )  ->  m  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
) )
104, 6, 8, 9syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  m  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
11 simp3 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  ->  n  e.  J )
1211adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  n  e.  J
)
13 simp2 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  -> 
y  e.  n )
1413adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  y  e.  n
)
15 opnneip 19911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  n  e.  J  /\  y  e.  n )  ->  n  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
164, 12, 14, 15syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
17 simp3 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  -> 
( m  i^i  n
)  =  (/) )
1817adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  ( m  i^i  n )  =  (/) )
19 ineq1 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  m  ->  (
u  i^i  v )  =  ( m  i^i  v ) )
2019eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  m  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( m  i^i  v )  =  (/) ) )
21 ineq2 3634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  n  ->  (
m  i^i  v )  =  ( m  i^i  n ) )
2221eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  n  ->  (
( m  i^i  v
)  =  (/)  <->  ( m  i^i  n )  =  (/) ) )
2320, 22rspc2ev 3170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  /\  n  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } )  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
2410, 16, 18, 23syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  /\  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) )
2524ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  m  e.  J  /\  n  e.  J )  ->  ( ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
26253expib 1200 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( m  e.  J  /\  n  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
2726rexlimdvv 2901 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
28 neii2 19900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  J ) `  { x } ) )  ->  E. m  e.  J  ( {
x }  C_  m  /\  m  C_  u ) )
2928ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
u  e.  ( ( nei `  J ) `
 { x }
)  ->  E. m  e.  J  ( {
x }  C_  m  /\  m  C_  u ) ) )
30 neii2 19900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  v  e.  ( ( nei `  J ) `  { y } ) )  ->  E. n  e.  J  ( {
y }  C_  n  /\  n  C_  v ) )
3130ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
v  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } )  ->  E. n  e.  J  ( {
y }  C_  n  /\  n  C_  v ) ) )
32 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
3332snss 4095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  m  <->  { x }  C_  m )
3433anbi1i 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  <->  ( {
x }  C_  m  /\  m  C_  u ) )
35 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  y  e. 
_V
3635snss 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  n  <->  { y }  C_  n )
3736anbi1i 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  n  /\  n  C_  v )  <->  ( {
y }  C_  n  /\  n  C_  v ) )
38 simp1l 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  /\  ( y  e.  n  /\  n  C_  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  x  e.  m )
39 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  /\  ( y  e.  n  /\  n  C_  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  y  e.  n )
40 ss2in 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  C_  u  /\  n  C_  v )  -> 
( m  i^i  n
)  C_  ( u  i^i  v ) )
41 ssn0 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( m  i^i  n
)  C_  ( u  i^i  v )  /\  (
m  i^i  n )  =/=  (/) )  ->  (
u  i^i  v )  =/=  (/) )
4241ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  i^i  n ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
( m  i^i  n
)  =/=  (/)  ->  (
u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
4342necon4d 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( m  i^i  n ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  ->  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( m  C_  u  /\  n  C_  v )  -> 
( ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
4544ad2ant2l 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  /\  ( y  e.  n  /\  n  C_  v ) )  -> 
( ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
46453impia 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  /\  ( y  e.  n  /\  n  C_  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  (
m  i^i  n )  =  (/) )
4738, 39, 463jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  /\  ( y  e.  n  /\  n  C_  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  (
x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
48473exp 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  -> 
( ( y  e.  n  /\  n  C_  v )  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  ->  (
x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
4937, 48syl5bir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  -> 
( ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v )  -> 
( ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
5049com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  ( ( x  e.  m  /\  m  C_  u )  -> 
( ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v )  -> 
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
5150imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
x  e.  m  /\  m  C_  u ) )  ->  ( ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v )  ->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
52513adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
x  e.  m  /\  m  C_  u ) )  ->  ( ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v )  ->  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
5352reximdv 2877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  (
x  e.  m  /\  m  C_  u ) )  ->  ( E. n  e.  J  ( {
y }  C_  n  /\  n  C_  v )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
54533exp 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  ->  (
( x  e.  m  /\  m  C_  u )  ->  ( E. n  e.  J  ( {
y }  C_  n  /\  n  C_  v )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) ) )
5554com34 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  ->  ( E. n  e.  J  ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v
)  ->  ( (
x  e.  m  /\  m  C_  u )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) ) )
56553imp 1191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  E. n  e.  J  ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v
) )  ->  (
( x  e.  m  /\  m  C_  u )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
5734, 56syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  E. n  e.  J  ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v
) )  ->  (
( { x }  C_  m  /\  m  C_  u )  ->  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
5857reximdv 2877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/)  /\  E. n  e.  J  ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v
) )  ->  ( E. m  e.  J  ( { x }  C_  m  /\  m  C_  u
)  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
59583exp 1196 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  ->  ( E. n  e.  J  ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v
)  ->  ( E. m  e.  J  ( { x }  C_  m  /\  m  C_  u
)  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) ) )
6059com24 87 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. m  e.  J  ( { x }  C_  m  /\  m  C_  u
)  ->  ( E. n  e.  J  ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v
)  ->  ( (
u  i^i  v )  =  (/)  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) ) )
6160impd 429 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( E. m  e.  J  ( { x }  C_  m  /\  m  C_  u )  /\  E. n  e.  J  ( { y }  C_  n  /\  n  C_  v
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  =  (/)  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
6229, 31, 61syl2and 481 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )  -> 
( ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
6362rexlimdvv 2901 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. u  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/)  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
6427, 63impbid 191 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) )
6564imbi2d 314 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  <-> 
( x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
66652ralbidv 2847 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
672, 66syl 17 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
681, 67bitrd 253 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) E. v  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) ( u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   ` cfv 5568   Topctop 19684  TopOnctopon 19685   neicnei 19889   Hauscha 20100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-top 19689  df-topon 19692  df-nei 19890  df-haus 20107
This theorem is referenced by:  hausflim  20772
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