MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausnei Structured version   Unicode version

Theorem hausnei 18773
Description: Neighborhood property of a Hausdorff space. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausnei  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  P  =/=  Q ) )  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    m, n, J    P, m, n    Q, m, n
Allowed substitution hints:    X( m, n)

Proof of Theorem hausnei
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist0.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
21ishaus 18767 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
32simprbi 461 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
4 neeq1 2606 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  (
x  =/=  y  <->  P  =/=  y ) )
5 eleq1 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  n  <->  P  e.  n ) )
653anbi1d 1286 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
762rexbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  ( E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
84, 7imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( P  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
9 neeq2 2607 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  ( P  =/=  y  <->  P  =/=  Q ) )
10 eleq1 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Q  ->  (
y  e.  m  <->  Q  e.  m ) )
11103anbi2d 1287 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Q  ->  (
( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
12112rexbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  ( E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
139, 12imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
( P  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
148, 13rspc2v 3068 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )  -> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
153, 14syl5 32 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  ( J  e.  Haus  -> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
1615ex 434 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  ( Q  e.  X  ->  ( J  e.  Haus  ->  ( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) ) )
1716com3r 79 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( P  e.  X  ->  ( Q  e.  X  ->  ( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) ) )
18173imp2 1195 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  P  =/=  Q ) )  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3315   (/)c0 3625   U.cuni 4079   Topctop 18339   Hauscha 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-uni 4080  df-haus 18760
This theorem is referenced by:  haust1  18797  cnhaus  18799  lmmo  18825  hauscmplem  18850  pthaus  19052  txhaus  19061  xkohaus  19067  hausflimi  19394  hauspwpwf1  19401
  Copyright terms: Public domain W3C validator