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Theorem hausnei 18954
Description: Neighborhood property of a Hausdorff space. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausnei  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  P  =/=  Q ) )  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    m, n, J    P, m, n    Q, m, n
Allowed substitution hints:    X( m, n)

Proof of Theorem hausnei
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist0.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
21ishaus 18948 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
32simprbi 464 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
4 neeq1 2644 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  (
x  =/=  y  <->  P  =/=  y ) )
5 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  n  <->  P  e.  n ) )
653anbi1d 1293 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
762rexbidv 2779 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  ( E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
84, 7imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( P  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
9 neeq2 2646 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  ( P  =/=  y  <->  P  =/=  Q ) )
10 eleq1 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Q  ->  (
y  e.  m  <->  Q  e.  m ) )
11103anbi2d 1294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Q  ->  (
( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
12112rexbidv 2779 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  ( E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
139, 12imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
( P  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
148, 13rspc2v 3100 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )  -> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
153, 14syl5 32 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  ( J  e.  Haus  -> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
1615ex 434 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  ( Q  e.  X  ->  ( J  e.  Haus  ->  ( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) ) )
1716com3r 79 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( P  e.  X  ->  ( Q  e.  X  ->  ( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) ) )
18173imp2 1202 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  P  =/=  Q ) )  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    i^i cin 3348   (/)c0 3658   U.cuni 4112   Topctop 18520   Hauscha 18934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-uni 4113  df-haus 18941
This theorem is referenced by:  haust1  18978  cnhaus  18980  lmmo  19006  hauscmplem  19031  pthaus  19233  txhaus  19242  xkohaus  19248  hausflimi  19575  hauspwpwf1  19582
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