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Theorem hausnei 19697
Description: Neighborhood property of a Hausdorff space. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausnei  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  P  =/=  Q ) )  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    m, n, J    P, m, n    Q, m, n
Allowed substitution hints:    X( m, n)

Proof of Theorem hausnei
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist0.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
21ishaus 19691 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) ) )
32simprbi 464 . . . . 5  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
4 neeq1 2748 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  (
x  =/=  y  <->  P  =/=  y ) )
5 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  P  ->  (
x  e.  n  <->  P  e.  n ) )
653anbi1d 1303 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
762rexbidv 2985 . . . . . . 7  |-  ( x  =  P  ->  ( E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
84, 7imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( x  =  P  ->  (
( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( P  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
9 neeq2 2750 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  ( P  =/=  y  <->  P  =/=  Q ) )
10 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Q  ->  (
y  e.  m  <->  Q  e.  m ) )
11103anbi2d 1304 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Q  ->  (
( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
12112rexbidv 2985 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Q  ->  ( E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) )  <->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m )  =  (/) ) ) )
139, 12imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  Q  ->  (
( P  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  y  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )  <-> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
148, 13rspc2v 3228 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( x  e.  n  /\  y  e.  m  /\  (
n  i^i  m )  =  (/) ) )  -> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
153, 14syl5 32 . . . 4  |-  ( ( P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  ( J  e.  Haus  -> 
( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) )
1615ex 434 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  ( Q  e.  X  ->  ( J  e.  Haus  ->  ( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) ) )
1716com3r 79 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( P  e.  X  ->  ( Q  e.  X  ->  ( P  =/=  Q  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) ) ) ) )
18173imp2 1211 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  P  =/=  Q ) )  ->  E. n  e.  J  E. m  e.  J  ( P  e.  n  /\  Q  e.  m  /\  ( n  i^i  m
)  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480   (/)c0 3790   U.cuni 4251   Topctop 19263   Hauscha 19677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-uni 4252  df-haus 19684
This theorem is referenced by:  haust1  19721  cnhaus  19723  lmmo  19749  hauscmplem  19774  pthaus  20007  txhaus  20016  xkohaus  20022  hausflimi  20349  hauspwpwf1  20356
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