Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hausmapdom Structured version   Unicode version

Theorem hausmapdom 19063
 Description: If is a first-countable Hausdorff space, then the cardinality of the closure of a set is bounded by to the power . In particular, a first-countable Hausdorff space with a dense subset has cardinality at most , and a separable first-countable Hausdorff space has cardinality at most . (Compare hauspwpwdom 19520 to see a weaker result if the assumption of first-countability is omitted.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1
Assertion
Ref Expression
hausmapdom

Proof of Theorem hausmapdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . . . . . 8
211stcelcls 19024 . . . . . . 7
323adant1 1001 . . . . . 6
4 uniexg 6376 . . . . . . . . . . . 12
543ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . 11
61, 5syl5eqel 2525 . . . . . . . . . 10
7 simp3 985 . . . . . . . . . 10
86, 7ssexd 4436 . . . . . . . . 9
9 nnex 10324 . . . . . . . . 9
10 elmapg 7223 . . . . . . . . 9
118, 9, 10sylancl 657 . . . . . . . 8
1211anbi1d 699 . . . . . . 7
1312exbidv 1685 . . . . . 6
143, 13bitr4d 256 . . . . 5
15 df-rex 2719 . . . . 5
1614, 15syl6bbr 263 . . . 4
17 vex 2973 . . . . 5
1817elima 5171 . . . 4
1916, 18syl6bbr 263 . . 3
2019eqrdv 2439 . 2
21 ovex 6115 . . 3
22 lmfun 18944 . . . 4
23223ad2ant1 1004 . . 3
24 imadomg 8697 . . 3
2521, 23, 24mpsyl 63 . 2
2620, 25eqbrtrd 4309 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 960   wceq 1364  wex 1591   wcel 1761  wrex 2714  cvv 2970   wss 3325  cuni 4088   class class class wbr 4289  cima 4839   wfun 5409  wf 5411  cfv 5415  (class class class)co 6090   cmap 7210   cdom 7304  cn 10318  ccl 18581  clm 18789  cha 18871  c1stc 19000 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-ac2 8628  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-acn 8108  df-ac 8282  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-top 18462  df-topon 18465  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-lm 18792  df-haus 18878  df-1stc 19002 This theorem is referenced by:  hauspwdom  19064
 Copyright terms: Public domain W3C validator