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Theorem hausllycmp 19097
Description: A compact Hausdorff space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausllycmp  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )

Proof of Theorem hausllycmp
Dummy variables  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 18934 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  J  e.  Top )
3 eqid 2442 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. J
4 eqid 2442 . . . . . 6  |-  { z  e.  J  |  E. v  e.  J  (
y  e.  v  /\  ( ( cls `  J
) `  v )  C_  ( U. J  \ 
z ) ) }  =  { z  e.  J  |  E. v  e.  J  ( y  e.  v  /\  (
( cls `  J
) `  v )  C_  ( U. J  \ 
z ) ) }
5 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Haus )
6 difssd 3483 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( U. J  \  x
)  C_  U. J )
7 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Comp )
81ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  J  e.  Top )
9 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  x  e.  J )
103opncld 18636 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( U. J  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
12 cmpcld 19004 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  ( U. J  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( Jt  ( U. J  \  x ) )  e. 
Comp )
137, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( Jt  ( U. J  \  x
) )  e.  Comp )
14 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  x )
15 elssuni 4120 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
1615ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  x  C_ 
U. J )
17 dfss4 3583 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  U. J  <->  ( U. J  \  ( U. J  \  x ) )  =  x )
1816, 17sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( U. J  \  ( U. J  \  x
) )  =  x )
1914, 18eleqtrrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  y  e.  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) )
203, 4, 5, 6, 13, 19hauscmplem 19008 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  (
( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) ) )
2118sseq2d 3383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( ( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) )  <->  ( ( cls `  J ) `  u )  C_  x
) )
2221anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  (
( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) )  <-> 
( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )
2322rexbidv 2735 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  ( U. J  \ 
( U. J  \  x ) ) )  <->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )
2420, 23mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  (
( cls `  J
) `  u )  C_  x ) )
258adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  J  e.  Top )
26 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  e.  J
)
27 simprrl 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  y  e.  u
)
28 opnneip 18722 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  y  e.  u )  ->  u  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
30 elssuni 4120 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  J  ->  u  C_ 
U. J )
3130ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  C_  U. J
)
323sscls 18659 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  C_  U. J )  ->  u  C_  (
( cls `  J
) `  u )
)
3325, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  u  C_  (
( cls `  J
) `  u )
)
343clsss3 18662 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  C_  U. J )
3525, 31, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  C_  U. J )
363ssnei2 18719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )  /\  (
u  C_  ( ( cls `  J ) `  u )  /\  (
( cls `  J
) `  u )  C_ 
U. J ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
3725, 29, 33, 35, 36syl22anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
38 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  C_  x )
39 vex 2974 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4039elpw2 4455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  u )  e.  ~P x  <->  ( ( cls `  J ) `  u )  C_  x
)
4138, 40sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ~P x
)
4237, 41elind 3539 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
437adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  J  e.  Comp )
443clscld 18650 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  C_  U. J )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4525, 31, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  u
)  e.  ( Clsd `  J ) )
46 cmpcld 19004 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
( cls `  J
) `  u )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  u )
)  e.  Comp )
4743, 45, 46syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 u ) )  e.  Comp )
48 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( cls `  J ) `  u
)  ->  ( Jt  v
)  =  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  u )
) )
4948eleq1d 2508 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( cls `  J ) `  u
)  ->  ( ( Jt  v )  e.  Comp  <->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  u )
)  e.  Comp )
)
5049rspcev 3072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  u )  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x )  /\  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  u
) )  e.  Comp )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
5142, 47, 50syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x ) )  /\  ( u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( ( cls `  J
) `  u )  C_  x ) ) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
5224, 51rexlimddv 2844 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  x
) )  ->  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
5352ralrimivva 2807 . 2  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. v  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
54 isnlly 19072 . 2  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. v  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  v )  e.  Comp )
)
552, 53, 54sylanbrc 664 1  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  J  e.  Comp )  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    \ cdif 3324    i^i cin 3326    C_ wss 3327   ~Pcpw 3859   {csn 3876   U.cuni 4090   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   ↾t crest 14358   Topctop 18497   Clsdccld 18619   clsccl 18621   neicnei 18700   Hauscha 18911   Compccmp 18988  𝑛Locally cnlly 19068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-fin 7313  df-fi 7660  df-rest 14360  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cld 18622  df-cls 18624  df-nei 18701  df-haus 18918  df-cmp 18989  df-nlly 19070
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