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Theorem hausgraph 31380
Description: The graph of a continuous function into a Hausdorff space is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausgraph  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )

Proof of Theorem hausgraph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6743 . . . . . . . . 9  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J
2 ffn 5656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
4 fvco2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
)  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
53, 4mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
65adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) ) )
7 fvres 5805 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 1st `  a ) )
87fveq2d 5795 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
98adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( F `  (
( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) )  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
106, 9eqtrd 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( F `
 ( 1st `  a
) ) )
11 fvres 5805 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ( U. J  X.  U. K )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1211adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  =  ( 2nd `  a ) )
1310, 12eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  a  e.  ( U. J  X.  U. K ) )  -> 
( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) `  a )  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) `  a
)  <->  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a ) ) )
1413rabbidva 3042 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) }  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
15 eqid 2396 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
16 eqid 2396 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1715, 16cnf 19856 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
1817adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F : U. J --> U. K
)
19 fco 5666 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. J )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
2018, 1, 19sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K )
21 ffn 5656 . . . . 5  |-  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
23 f2ndres 6744 . . . . 5  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K
24 ffn 5656 . . . . 5  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) : ( U. J  X.  U. K ) --> U. K  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )
26 fndmin 5913 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  Fn  ( U. J  X.  U. K )  /\  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  Fn  ( U. J  X.  U. K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
2722, 25, 26sylancl 660 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) ) `  a
)  =  ( ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) `  a ) } )
28 fgraphxp 31379 . . . 4  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
2918, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  { a  e.  ( U. J  X.  U. K )  |  ( F `  ( 1st `  a ) )  =  ( 2nd `  a
) } )
3014, 27, 293eqtr4rd 2448 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  =  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) ) )
31 simpl 455 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
32 cntop1 19850 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
3332adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3415toptopon 19542 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3533, 34sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
36 haustop 19941 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3731, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
3816toptopon 19542 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3937, 38sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
40 tx1cn 20218 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  J
) )
4135, 39, 40syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  J ) )
42 cnco 19876 . . . 4  |-  ( ( ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K
) ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4341, 42sylancom 665 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
44 tx2cn 20219 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  K
) )
4535, 39, 44syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  K ) )
4631, 43, 45hauseqlcld 20255 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  dom  ( ( F  o.  ( 1st  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  i^i  ( 2nd  |`  ( U. J  X.  U. K ) ) )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K
) ) )
4730, 46eqeltrd 2484 1  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   {crab 2750    i^i cin 3405   U.cuni 4180    X. cxp 4928   dom cdm 4930    |` cres 4932    o. ccom 4934    Fn wfn 5508   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   1stc1st 6719   2ndc2nd 6720   Topctop 19502  TopOnctopon 19503   Clsdccld 19625    Cn ccn 19834   Hauscha 19918    tX ctx 20169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-ral 2751  df-rex 2752  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-map 7362  df-topgen 14874  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-cld 19628  df-cn 19837  df-haus 19925  df-tx 20171
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