Theorem hausflimi 20981

Description: One direction of hausflim 20982. A filter in a Hausdorff space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausflimi	|- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J

Proof of Theorem hausflimi

Dummy variables v u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> J e. Haus )
2		simprll 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. ( J fLim F ) )
3		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
4	3	flimelbas 20969	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J fLim F ) -> x e. U. J )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. U. J )
6		simprlr 771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. ( J fLim F ) )
7	3	flimelbas 20969	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( J fLim F ) -> y e. U. J )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. U. J )
9		simprr 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x =/= y )
10	3	hausnei 20330	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
11	1, 5, 8, 9, 10	syl13anc 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
12		df-3an 984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
13		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) )
14		hausflimlem 20980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
15	14	3expa 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
16	13, 15	sylanl1 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
17	16	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( x =/= y -> ( u i^i v ) =/= (/) ) )
18	17	necon4d 2651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> x = y ) )
19	18	expimpd 606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
20	12, 19	syl5bi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
21	20	rexlimdvva 2924	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
22	11, 21	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x = y )
23	22	expr 618	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( x =/= y -> x = y ) )
24	23	necon1bd 2642	. . . . 5 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( -. x = y -> x = y ) )
25	24	pm2.18d 114	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> x = y )
26	25	ex 435	. . 3 |- ( J e. Haus -> ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
27	26	alrimivv 1764	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
28		eleq1 2494	. . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( J fLim F ) <-> y e. ( J fLim F ) ) )
29	28	mo4 2313	. 2 |- ( E* x x e. ( J fLim F ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
30	27, 29	sylibr 215	1 |- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1868   E*wmo 2266   =/= wne 2618   E.wrex 2776   i^i cin 3435   (/)c0 3761   U.cuni 4216  (class class class)co 6301   Hauscha 20310   fLim cflim 20935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-fbas 18954  df-top 19907  df-nei 20100  df-haus 20317  df-fil 20847  df-flim 20940

This theorem is referenced by:  hausflim  20982  hausflf  20998  cmetss  22270  minveclem4a  22358  minveclem4aOLD  22370