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Theorem hausflimi 20211
Description: One direction of hausflim 20212. A filter in a Hausdorff space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausflimi  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J

Proof of Theorem hausflimi
Dummy variables  v  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  J  e.  Haus )
2 simprll 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F
) )
3 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
43flimelbas 20199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  fLim  F )  ->  x  e.  U. J )
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  U. J )
6 simprlr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  ( J  fLim  F
) )
73flimelbas 20199 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( J  fLim  F )  ->  y  e.  U. J )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  U. J )
9 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =/=  y )
103hausnei 19590 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
111, 5, 8, 9, 10syl13anc 1225 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
12 df-3an 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
13 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )
14 hausflimlem 20210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
15143expa 1191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  /\  ( x  e.  u  /\  y  e.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  =/=  (/) )
1613, 15sylanl1 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
1716a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
1817necon4d 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  =  (/)  ->  x  =  y ) )
1918expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  x  =  y ) )
2012, 19syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2120rexlimdvva 2957 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2211, 21mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =  y )
2322expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  x  =  y ) )
2423necon1bd 2680 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  x  =  y ) )
2524pm2.18d 111 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  ->  x  =  y )
2625ex 434 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( ( x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
2726alrimivv 1691 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
28 eleq1 2534 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  y  e.  ( J  fLim  F ) ) )
2928mo4 2334 . 2  |-  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  F )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  ->  x  =  y ) )
3027, 29sylibr 212 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968   A.wal 1372    = wceq 1374    e. wcel 1762   E*wmo 2271    =/= wne 2657   E.wrex 2810    i^i cin 3470   (/)c0 3780   U.cuni 4240  (class class class)co 6277   Hauscha 19570    fLim cflim 20165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-fbas 18182  df-top 19161  df-nei 19360  df-haus 19577  df-fil 20077  df-flim 20170
This theorem is referenced by:  hausflim  20212  hausflf  20228  cmetss  21483  minveclem4a  21575
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