Theorem hausflimi 20988

Description: One direction of hausflim 20989. A filter in a Hausdorff space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausflimi	|- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J

Proof of Theorem hausflimi

Dummy variables v u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> J e. Haus )
2		simprll 771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. ( J fLim F ) )
3		eqid 2450	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
4	3	flimelbas 20976	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J fLim F ) -> x e. U. J )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. U. J )
6		simprlr 772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. ( J fLim F ) )
7	3	flimelbas 20976	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( J fLim F ) -> y e. U. J )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. U. J )
9		simprr 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x =/= y )
10	3	hausnei 20337	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
11	1, 5, 8, 9, 10	syl13anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
12		df-3an 986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
13		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) )
14		hausflimlem 20987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
15	14	3expa 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
16	13, 15	sylanl1 655	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
17	16	a1d 26	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( x =/= y -> ( u i^i v ) =/= (/) ) )
18	17	necon4d 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> x = y ) )
19	18	expimpd 607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
20	12, 19	syl5bi 221	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
21	20	rexlimdvva 2885	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
22	11, 21	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x = y )
23	22	expr 619	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( x =/= y -> x = y ) )
24	23	necon1bd 2641	. . . . 5 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( -. x = y -> x = y ) )
25	24	pm2.18d 115	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> x = y )
26	25	ex 436	. . 3 |- ( J e. Haus -> ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
27	26	alrimivv 1773	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
28		eleq1 2516	. . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( J fLim F ) <-> y e. ( J fLim F ) ) )
29	28	mo4 2345	. 2 |- ( E* x x e. ( J fLim F ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
30	27, 29	sylibr 216	1 |- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   A.wal 1441   = wceq 1443   e. wcel 1886   E*wmo 2299   =/= wne 2621   E.wrex 2737   i^i cin 3402   (/)c0 3730   U.cuni 4197  (class class class)co 6288   Hauscha 20317   fLim cflim 20942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-fbas 18960  df-top 19914  df-nei 20107  df-haus 20324  df-fil 20854  df-flim 20947

This theorem is referenced by:  hausflim  20989  hausflf  21005  cmetss  22277  minveclem4a  22365  minveclem4aOLD  22377