Theorem hausflimi 20211

Description: One direction of hausflim 20212. A filter in a Hausdorff space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausflimi	|- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J

Proof of Theorem hausflimi

Dummy variables v u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> J e. Haus )
2		simprll 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. ( J fLim F ) )
3		eqid 2462	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
4	3	flimelbas 20199	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J fLim F ) -> x e. U. J )
5	2, 4	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. U. J )
6		simprlr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. ( J fLim F ) )
7	3	flimelbas 20199	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( J fLim F ) -> y e. U. J )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. U. J )
9		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x =/= y )
10	3	hausnei 19590	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
11	1, 5, 8, 9, 10	syl13anc 1225	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
12		df-3an 970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
13		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) )
14		hausflimlem 20210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
15	14	3expa 1191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
16	13, 15	sylanl1 650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
17	16	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( x =/= y -> ( u i^i v ) =/= (/) ) )
18	17	necon4d 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> x = y ) )
19	18	expimpd 603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
20	12, 19	syl5bi 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
21	20	rexlimdvva 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
22	11, 21	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x = y )
23	22	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( x =/= y -> x = y ) )
24	23	necon1bd 2680	. . . . 5 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( -. x = y -> x = y ) )
25	24	pm2.18d 111	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> x = y )
26	25	ex 434	. . 3 |- ( J e. Haus -> ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
27	26	alrimivv 1691	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
28		eleq1 2534	. . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( J fLim F ) <-> y e. ( J fLim F ) ) )
29	28	mo4 2334	. 2 |- ( E* x x e. ( J fLim F ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
30	27, 29	sylibr 212	1 |- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   A.wal 1372   = wceq 1374   e. wcel 1762   E*wmo 2271   =/= wne 2657   E.wrex 2810   i^i cin 3470   (/)c0 3780   U.cuni 4240  (class class class)co 6277   Hauscha 19570   fLim cflim 20165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-fbas 18182  df-top 19161  df-nei 19360  df-haus 19577  df-fil 20077  df-flim 20170

This theorem is referenced by:  hausflim  20212  hausflf  20228  cmetss  21483  minveclem4a  21575