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Theorem hausflimi 20606
Description: One direction of hausflim 20607. A filter in a Hausdorff space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausflimi  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, J

Proof of Theorem hausflimi
Dummy variables  v  u  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  J  e.  Haus )
2 simprll 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  ( J  fLim  F
) )
3 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
43flimelbas 20594 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( J  fLim  F )  ->  x  e.  U. J )
52, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  U. J )
6 simprlr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  ( J  fLim  F
) )
73flimelbas 20594 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( J  fLim  F )  ->  y  e.  U. J )
86, 7syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  U. J )
9 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =/=  y )
103hausnei 19955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
111, 5, 8, 9, 10syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
12 df-3an 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  <->  ( (
x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) ) )
13 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )
14 hausflimlem 20605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
15143expa 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J ) )  /\  ( x  e.  u  /\  y  e.  v
) )  ->  (
u  i^i  v )  =/=  (/) )
1613, 15sylanl1 650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) )
1716a1d 25 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  ( u  i^i  v )  =/=  (/) ) )
1817necon4d 2684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  /\  (
x  e.  u  /\  y  e.  v )
)  ->  ( (
u  i^i  v )  =  (/)  ->  x  =  y ) )
1918expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( ( x  e.  u  /\  y  e.  v )  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) )  ->  x  =  y ) )
2012, 19syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Haus  /\  ( ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  J  /\  v  e.  J
) )  ->  (
( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2120rexlimdvva 2956 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. u  e.  J  E. v  e.  J  ( x  e.  u  /\  y  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  x  =  y )
)
2211, 21mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =  y )
2322expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( x  =/=  y  ->  x  =  y ) )
2423necon1bd 2675 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  x  =  y ) )
2524pm2.18d 111 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) ) )  ->  x  =  y )
2625ex 434 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( ( x  e.  ( J 
fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
2726alrimivv 1721 . 2  |-  ( J  e.  Haus  ->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F
) )  ->  x  =  y ) )
28 eleq1 2529 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  y  e.  ( J  fLim  F ) ) )
2928mo4 2338 . 2  |-  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  F )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( J  fLim  F )  /\  y  e.  ( J  fLim  F ) )  ->  x  =  y ) )
3027, 29sylibr 212 1  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   E*wmo 2284    =/= wne 2652   E.wrex 2808    i^i cin 3470   (/)c0 3793   U.cuni 4251  (class class class)co 6296   Hauscha 19935    fLim cflim 20560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-fbas 18542  df-top 19525  df-nei 19725  df-haus 19942  df-fil 20472  df-flim 20565
This theorem is referenced by:  hausflim  20607  hausflf  20623  cmetss  21878  minveclem4a  21970
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