Theorem hausfillim 10303

Description: A condition for a topology to be Hausdorff in terms of filters. A topology is Hausdorff iff every filter has at most one limit point. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
hausfillim.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
hausfillim	|- (J e. Top -> (J e. Haus <-> A.f e. Fil (X = U.f -> E*x x e. ((fLim1` J)` f))))

Distinct variable groups:   x,f,J   f,X,x

Proof of Theorem hausfillim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hausfillim.1	. . 3 |- X = U.J
2	1	hausnei2 10222	. 2 |- (J e. Top -> (J e. Haus <-> A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/))))
3		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U.f = U.f
4	1, 3	flimelbas 10300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> x e. X)
5	4	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> (x e. ((fLim1` J)` f) -> x e. X))
6	1, 3	flimelbas 10300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> y e. X)
7	6	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> (y e. ((fLim1` J)` f) -> y e. X))
8	5, 7	anim12d 617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> (x e. X /\ y e. X)))
9	8	imp 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> (x e. X /\ y e. X))
10		neeq1 2024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = x -> (z =/= w <-> x =/= w))
11		sneq 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = x -> {z} = {x})
12	11	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = x -> ((nei` J)` {z}) = ((nei` J)` {x}))
13	12	rexeqdv 2270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = x -> (E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) <-> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)))
14	10, 13	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = x -> ((z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) <-> (x =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/))))
15		neeq2 2025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = y -> (x =/= w <-> x =/= y))
16		sneq 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (w = y -> {w} = {y})
17	16	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w = y -> ((nei` J)` {w}) = ((nei` J)` {y}))
18	17	rexeqdv 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = y -> (E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) <-> E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)))
19	18	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = y -> (E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) <-> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)))
20	15, 19	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = y -> ((x =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) <-> (x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/))))
21	14, 20	rcla42v 2384	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. X /\ y e. X) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> (x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/))))
22	9, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> (x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/))))
23		filesn 10268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f e. Fil -> -. (/) e. f)
24	23	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> -. (/) e. f)
25	24	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ (x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)))) -> -. (/) e. f)
26		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x =/= y -> ((x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)) -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)))
27		simp3 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y})) /\ (u i^i v) = (/)) -> (u i^i v) = (/))
28		simpll2 916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y}))) -> f e. Fil)
29	1, 3	flimnei 10301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ x e. ((fLim1` J)` f) /\ u e. ((nei` J)` {x})) -> u e. f)
30	29	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ x e. ((fLim1` J)` f)) /\ u e. ((nei` J)` {x})) -> u e. f)
31	30	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ x e. ((fLim1` J)` f)) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y}))) -> u e. f)
32	31	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y}))) -> u e. f)
33	1, 3	flimnei 10301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ y e. ((fLim1` J)` f) /\ v e. ((nei` J)` {y})) -> v e. f)
34	33	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ v e. ((nei` J)` {y})) -> v e. f)
35	34	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y}))) -> v e. f)
36	35	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y}))) -> v e. f)
37		filint 10269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((f e. Fil /\ u e. f /\ v e. f) -> (u i^i v) e. f)
38	28, 32, 36, 37	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y}))) -> (u i^i v) e. f)
39	38	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y})) /\ (u i^i v) = (/)) -> (u i^i v) e. f)
40	27, 39	eqeltrrd 1972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) /\ (u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y})) /\ (u i^i v) = (/)) -> (/) e. f)
41	40	3exp 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> ((u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y})) -> ((u i^i v) = (/) -> (/) e. f)))
42	41	com3l 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((u e. ((nei` J)` {x}) /\ v e. ((nei` J)` {y})) -> ((u i^i v) = (/) -> (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> (/) e. f)))
43	42	r19.23aivv 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/) -> (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> (/) e. f))
44	26, 43	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x =/= y -> ((x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)) -> (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> (/) e. f)))
45	44	com13 37	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> ((x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)) -> (x =/= y -> (/) e. f)))
46	45	impr 422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ (x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)))) -> (x =/= y -> (/) e. f))
47		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x =/= y <-> -. x = y)
48	46, 47	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ (x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)))) -> (-. x = y -> (/) e. f))
49	25, 48	mt3d 129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ (x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)))) -> x = y)
50	49	expr 418	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> ((x =/= y -> E.u e. ((nei` J)` {x})E.v e. ((nei` J)` {y})(u i^i v) = (/)) -> x = y))
51	22, 50	syld 30	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ (x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f))) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> x = y))
52	51	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> x = y)))
53	52	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
54	53	19.21adv 1666	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> A.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
55	54	19.21adv 1666	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
56	55	3expib 1070	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> ((f e. Fil /\ X = U.f) -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))))
57	56	com23 36	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> ((f e. Fil /\ X = U.f) -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))))
58	57	exp4a 409	. . . . 5 |- (J e. Top -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> (f e. Fil -> (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))))
59	58	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (J e. Top -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) -> A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))))
60		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((nei` J)` {z}) e. _V
61		fvex 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((nei` J)` {w}) e. _V
62	60, 61	unex 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) e. _V
63	62	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) e. _V)
64		fsubbas 10281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) e. _V -> (( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) e. fBas <-> ((((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
65	63, 64	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> (( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) e. fBas <-> ((((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
66		snssi 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z e. X -> {z} C_ X)
67	66	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. X /\ w e. X) -> {z} C_ X)
68	67	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> {z} C_ X)
69	1	tpnei 9010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (J e. Top -> ({z} C_ X <-> X e. ((nei` J)` {z})))
70	69	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> ({z} C_ X <-> X e. ((nei` J)` {z})))
71	68, 70	mpbid 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> X e. ((nei` J)` {z}))
72		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (X e. ((nei` J)` {z}) -> ((nei` J)` {z}) =/= (/))
73	71, 72	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> ((nei` J)` {z}) =/= (/))
74	73	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ((nei` J)` {z}) =/= (/))
75		ssun1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((nei` J)` {z}) C_ (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))
76		ssn0 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((nei` J)` {z}) C_ (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) /\ ((nei` J)` {z}) =/= (/)) -> (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) =/= (/))
77	75, 76	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((nei` J)` {z}) =/= (/) -> (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) =/= (/))
78	74, 77	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) =/= (/))
79		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) =/= (/)) -> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) =/= (/))
80		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((u i^i v) =/= (/) <-> -. (u i^i v) = (/))
81	80	2ralbii 2129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) =/= (/) <-> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))
82	79, 81	sylan2br 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) =/= (/))
83		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- z e. _V
84	83	snnz 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- {z} =/= (/)
85	1	neifil 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((J e. Top /\ {z} C_ X /\ {z} =/= (/)) -> ((nei` J)` {z}) e. Fil)
86	84, 85	mp3an3 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((J e. Top /\ {z} C_ X) -> ((nei` J)` {z}) e. Fil)
87	86, 66	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ z e. X) -> ((nei` J)` {z}) e. Fil)
88	87	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> ((nei` J)` {z}) e. Fil)
89		filfbas 10276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((nei` J)` {z}) e. Fil -> ((nei` J)` {z}) e. fBas)
90	88, 89	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> ((nei` J)` {z}) e. fBas)
91		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- w e. _V
92	91	snnz 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- {w} =/= (/)
93	1	neifil 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((J e. Top /\ {w} C_ X /\ {w} =/= (/)) -> ((nei` J)` {w}) e. Fil)
94	92, 93	mp3an3 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((J e. Top /\ {w} C_ X) -> ((nei` J)` {w}) e. Fil)
95		snssi 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (w e. X -> {w} C_ X)
96	94, 95	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ w e. X) -> ((nei` J)` {w}) e. Fil)
97		filfbas 10276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((nei` J)` {w}) e. Fil -> ((nei` J)` {w}) e. fBas)
98	96, 97	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((J e. Top /\ w e. X) -> ((nei` J)` {w}) e. fBas)
99	98	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> ((nei` J)` {w}) e. fBas)
100	90, 99	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> (((nei` J)` {z}) e. fBas /\ ((nei` J)` {w}) e. fBas))
101	100	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (((nei` J)` {z}) e. fBas /\ ((nei` J)` {w}) e. fBas))
102		fbunfip 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((nei` J)` {z}) e. fBas /\ ((nei` J)` {w}) e. fBas) -> ((/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) <-> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) =/= (/)))
103	101, 102	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> ((/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) <-> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) =/= (/)))
104	103	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ((/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) <-> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) =/= (/)))
105	82, 104	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> (/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))
106	65, 78, 105	mpbir2and 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) e. fBas)
107		fgfil 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) e. fBas -> (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil)
108	106, 107	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil)
109	108	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil))
110	1	unnei 9011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((J e. Top /\ {z} C_ X) -> U.((nei` J)` {z}) = X)
111	110, 66	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((J e. Top /\ z e. X) -> U.((nei` J)` {z}) = X)
112	111	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> U.((nei` J)` {z}) = X)
113	1	unnei 9011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((J e. Top /\ {w} C_ X) -> U.((nei` J)` {w}) = X)
114	113, 95	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((J e. Top /\ w e. X) -> U.((nei` J)` {w}) = X)
115	114	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> U.((nei` J)` {w}) = X)
116	112, 115	uneq12d 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})) = (X u. X))
117		unidm 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (X u. X) = X
118	116, 117	syl6req 1945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X)) -> X = (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})))
119	118	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> X = (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})))
120	119	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> X = (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})))
121		fiuni 10219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) e. _V -> U.(((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) = U.( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))
122		uniun 3196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- U.(((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) = (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w}))
123	121, 122	syl5eqr 1942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) e. _V -> (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})) = U.( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))
124	62, 123	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})) = U.( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))
125	124	fgbas 10286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) e. fBas -> (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})) = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
126	106, 125	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> (U.((nei` J)` {z}) u. U.((nei` J)` {w})) = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
127	120, 126	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
128	127	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
129		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))
130	1, 129	isfillim 10298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) -> (z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) <-> (z e. X /\ ((nei` J)` {z}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
131	130	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> (z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) <-> (z e. X /\ ((nei` J)` {z}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
132		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> z e. X)
133	132	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> z e. X)
134		abfi2 10216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ((((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) e. _V -> (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) C_ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))
135	62, 134	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})) C_ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))
136	75, 135	sstri 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((nei` J)` {z}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))
137	136	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> ((nei` J)` {z}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))
138		fbssfg 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- (( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) e. fBas -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
139	106, 138	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
140	139	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
141	140	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- (J e. Top -> (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
142	141	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- (J e. Top -> ((((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
143	142	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) -> ((((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
144	143	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
145	137, 144	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> ((nei` J)` {z}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
146	131, 133, 145	mpbir2and 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
147	146	exp520 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (J e. Top -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))))
148	147	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (J e. Top -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))))
149	148	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (J e. Top -> (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))))
150	149	3impib 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))))
151	150	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))))
152	151	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))))
153	152	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))
154	153	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
155	154	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) -> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
156	1, 129	isfillim 10298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) -> (w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) <-> (w e. X /\ ((nei` J)` {w}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
157	156	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> (w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) <-> (w e. X /\ ((nei` J)` {w}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
158		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> w e. X)
159	158	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> w e. X)
160		ssun2 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ((nei` J)` {w}) C_ (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))
161	160, 135	sstri 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ((nei` J)` {w}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))
162	161	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> ((nei` J)` {w}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))
163	162, 144	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> ((nei` J)` {w}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
164	157, 159, 163	mpbir2and 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((J e. Top /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
165	164	exp520 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (J e. Top -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))))
166	165	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (J e. Top -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))))
167	166	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (J e. Top -> (((z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))))
168	167	3impib 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))))
169	168	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))))
170	169	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))))
171	170	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))
172	171	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
173	172	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) -> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
174		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z =/= w <-> -. z = w)
175	174	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z =/= w -> -. z = w)
176	175	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> -. z = w)
177	176	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> -. z = w)
178	177	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) -> -. z = w)
179		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x = z -> (x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) <-> z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
180	179	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x = z -> ((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) <-> (z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))
181		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x = z -> (x = y <-> z = y))
182	181	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x = z -> (-. x = y <-> -. z = y))
183	180, 182	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x = z -> (((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y) <-> ((z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. z = y)))
184		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y = w -> (y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) <-> w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
185	184	anbi2d 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y = w -> ((z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) <-> (z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))
186		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y = w -> (z = y <-> z = w))
187	186	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y = w -> (-. z = y <-> -. z = w))
188	185, 187	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = w -> (((z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. z = y) <-> ((z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. z = w)))
189	183, 188	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((x = z /\ y = w) -> (((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y) <-> ((z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. z = w)))
190	83, 91, 189	cla42ev 2372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((z e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ w e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. z = w) -> E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y))
191	155, 173, 178, 190	syl21anc 1099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) -> E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y))
192	191	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y)))
193	128, 192	jcai 313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y)))
194		unieq 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> U.f = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))
195	194	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (X = U.f <-> X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
196		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> ((fLim1` J)` f) = ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))
197	196	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (x e. ((fLim1` J)` f) <-> x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
198	196	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (y e. ((fLim1` J)` f) <-> y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))))
199	197, 198	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> ((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) <-> (x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))))))
200	199	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y) <-> ((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y)))
201	200	2exbidv 1659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> (E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y) <-> E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y)))
202	195, 201	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) -> ((X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)) <-> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y))))
203	202	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w}))))) /\ y e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))))) /\ -. x = y))) -> E.f e. Fil (X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)))
204	193, 203	syldan 516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil /\ ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))) -> E.f e. Fil (X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)))
205	204	expcom 403	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) /\ A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/)) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> E.f e. Fil (X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y))))
206	205	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> ((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {z}) u. ((nei` J)` {w})))) e. Fil -> E.f e. Fil (X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)))))
207	109, 206	mpdd 57	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> E.f e. Fil (X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y))))
208		exanali 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y) <-> -. A.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))
209	208	exbii 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y) <-> E.x -. A.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))
210		exnal 1385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.x -. A.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y) <-> -. A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))
211	209, 210	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y) <-> -. A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))
212	211	anbi2i 538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)) <-> (X = U.f /\ -. A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
213		annim 257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X = U.f /\ -. A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)) <-> -. (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
214	212, 213	bitri 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)) <-> -. (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
215	214	rexbii 2128	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.f e. Fil (X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)) <-> E.f e. Fil -. (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
216		rexnal 2114	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.f e. Fil -. (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)) <-> -. A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
217	215, 216	bitri 190	. . . . . . . . . . 11 |- (E.f e. Fil (X = U.f /\ E.xE.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) /\ -. x = y)) <-> -. A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
218	207, 217	syl6ib 229	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) -> -. A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))))
219		ralnex 2113	. . . . . . . . . . 11 |- (A.u e. ((nei` J)` {z}) -. E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) <-> -. E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/))
220		ralnex 2113	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/) <-> -. E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/))
221	220	bicomi 189	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) <-> A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))
222	221	ralbii 2127	. . . . . . . . . . 11 |- (A.u e. ((nei` J)` {z}) -. E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) <-> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))
223	219, 222	bitr3i 192	. . . . . . . . . 10 |- (-. E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) <-> A.u e. ((nei` J)` {z})A.v e. ((nei` J)` {w}) -. (u i^i v) = (/))
224	218, 223	syl5ib 223	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (-. E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/) -> -. A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))))
225	224	con4d 91	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ (z e. X /\ w e. X) /\ z =/= w) -> (A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)) -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)))
226	225	3exp 1066	. . . . . . 7 |- (J e. Top -> ((z e. X /\ w e. X) -> (z =/= w -> (A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)) -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)))))
227	226	com23 36	. . . . . 6 |- (J e. Top -> (z =/= w -> ((z e. X /\ w e. X) -> (A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)) -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)))))
228	227	com24 41	. . . . 5 |- (J e. Top -> (A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)) -> ((z e. X /\ w e. X) -> (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)))))
229	228	r19.21advv 2184	. . . 4 |- (J e. Top -> (A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)) -> A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/))))
230	59, 229	impbid 574	. . 3 |- (J e. Top -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))))
231		eleq1 1957	. . . . . 6 |- (x = y -> (x e. ((fLim1` J)` f) <-> y e. ((fLim1` J)` f)))
232	231	mo4 1799	. . . . 5 |- (E*x x e. ((fLim1` J)` f) <-> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y))
233	232	imbi2i 202	. . . 4 |- ((X = U.f -> E*x x e. ((fLim1` J)` f)) <-> (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
234	233	ralbii 2127	. . 3 |- (A.f e. Fil (X = U.f -> E*x x e. ((fLim1` J)` f)) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> A.xA.y((x e. ((fLim1` J)` f) /\ y e. ((fLim1` J)` f)) -> x = y)))
235	230, 234	syl6bbr 597	. 2 |- (J e. Top -> (A.z e. X A.w e. X (z =/= w -> E.u e. ((nei` J)` {z})E.v e. ((nei` J)` {w})(u i^i v) = (/)) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> E*x x e. ((fLim1` J)` f))))
236	2, 235	bitrd 587	1 |- (J e. Top -> (J e. Haus <-> A.f e. Fil (X = U.f -> E*x x e. ((fLim1` J)` f))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E*wmo 1772   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  neicnei 8988  Hauscha 9058   fi cfi 10210  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264  fLim1cflim1 10294

This theorem is referenced by:  hausfillim2 10325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-top 8861  df-nei 8989  df-haus 9059  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-flim1 10295

Copyright terms: Public domain