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Theorem hauseqlcld 20673
Description: In a Hausdorff topology, the equalizer of two continuous functions is closed (thus, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauseqlcld.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
hauseqlcld.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
hauseqlcld.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
hauseqlcld  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem hauseqlcld
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauseqlcld.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnf 20274 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
65ffvelrnda 6027 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( F `  b )  e.  U. K )
76biantrud 510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  _I  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) ) )
8 fvex 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 b )  e. 
_V
98ideq 4990 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )
10 df-br 4406 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
119, 10bitr3i 255 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  b )  =  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
128opelres 5113 . . . . . . 7  |-  ( <.
( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
)  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) )
137, 11, 123bitr4g 292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  (  _I  |`  U. K ) ) )
14 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
15 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( G `  a )  =  ( G `  b ) )
1614, 15opeq12d 4177 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
17 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  =  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)
18 opex 4667 . . . . . . . . 9  |-  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _V
1916, 17, 18fvmpt 5953 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  U. J  -> 
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
2019adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b )
>. )
2120eleq1d 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K )  <->  <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2213, 21bitr4d 260 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  ( (
a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2322pm5.32da 647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( b  e. 
U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
24 ffn 5733 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
255, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  U. J
)
26 hauseqlcld.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
272, 3cnf 20274 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  G : U. J --> U. K
)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
29 ffn 5733 . . . . . . . 8  |-  ( G : U. J --> U. K  ->  G  Fn  U. J
)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  U. J
)
31 fndmin 5994 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  G  Fn  U. J
)  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) } )
3225, 30, 31syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } )
3332eleq2d 2516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } ) )
34 rabid 2969 . . . . 5  |-  ( b  e.  { b  e. 
U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) }  <->  ( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) )
3533, 34syl6bb 265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) ) )
36 opex 4667 . . . . . 6  |-  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  e.  _V
3736, 17fnmpti 5711 . . . . 5  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J
38 elpreima 6007 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
3937, 38mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
4023, 35, 393bitr4d 289 . . 3  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) ) )
4140eqrdv 2451 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) )
422, 17txcnmpt 20651 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
431, 26, 42syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
44 hauseqlcld.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
453hausdiag 20672 . . . . 5  |-  ( K  e.  Haus  <->  ( K  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) ) )
4645simprbi 466 . . . 4  |-  ( K  e.  Haus  ->  (  _I  |`  U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) )
4744, 46syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )
48 cnclima 20296 . . 3  |-  ( ( ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) )  /\  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4943, 47, 48syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5041, 49eqeltrd 2531 1  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   {crab 2743    i^i cin 3405   <.cop 3976   U.cuni 4201   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    _I cid 4747   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Topctop 19929   Clsdccld 20043    Cn ccn 20252   Hauscha 20336    tX ctx 20587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-map 7479  df-topgen 15354  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cld 20046  df-cn 20255  df-haus 20343  df-tx 20589
This theorem is referenced by:  hauseqcn  28713  hausgraph  36101
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