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Theorem hauseqlcld 19879
Description: In a Hausdorff topology, the equalizer of two continuous functions is closed (thus, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere). (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauseqlcld.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
hauseqlcld.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
hauseqlcld.g  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
Assertion
Ref Expression
hauseqlcld  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )

Proof of Theorem hauseqlcld
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauseqlcld.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnf 19510 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
51, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
65ffvelrnda 6019 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( F `  b )  e.  U. K )
76biantrud 507 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  ( <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  _I  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) ) )
8 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 b )  e. 
_V
98ideq 5153 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )
10 df-br 4448 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  b )  _I  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
119, 10bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  b )  =  ( G `  b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  _I  )
128opelres 5277 . . . . . . 7  |-  ( <.
( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
)  <->  ( <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _I  /\  ( F `  b
)  e.  U. K
) )
137, 11, 123bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  <. ( F `
 b ) ,  ( G `  b
) >.  e.  (  _I  |`  U. K ) ) )
14 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  a )  =  ( F `  b ) )
15 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( G `  a )  =  ( G `  b ) )
1614, 15opeq12d 4221 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
17 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  =  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)
18 opex 4711 . . . . . . . . 9  |-  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >.  e.  _V
1916, 17, 18fvmpt 5948 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  U. J  -> 
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b ) >. )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  =  <. ( F `  b ) ,  ( G `  b )
>. )
2120eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K )  <->  <. ( F `  b
) ,  ( G `
 b ) >.  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2213, 21bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  b  e.  U. J )  ->  (
( F `  b
)  =  ( G `
 b )  <->  ( (
a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) )
2322pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( b  e. 
U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
24 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
255, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  U. J
)
26 hauseqlcld.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  ( J  Cn  K ) )
272, 3cnf 19510 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( J  Cn  K )  ->  G : U. J --> U. K
)
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G : U. J --> U. K )
29 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( G : U. J --> U. K  ->  G  Fn  U. J
)
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  U. J
)
31 fndmin 5986 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  U. J  /\  G  Fn  U. J
)  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) } )
3225, 30, 31syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } )
3332eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  { b  e.  U. J  | 
( F `  b
)  =  ( G `
 b ) } ) )
34 rabid 3038 . . . . 5  |-  ( b  e.  { b  e. 
U. J  |  ( F `  b )  =  ( G `  b ) }  <->  ( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) )
3533, 34syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
( b  e.  U. J  /\  ( F `  b )  =  ( G `  b ) ) ) )
36 opex 4711 . . . . . 6  |-  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >.  e.  _V
3736, 17fnmpti 5707 . . . . 5  |-  ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J
38 elpreima 5999 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  U. J  |-> 
<. ( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
)  Fn  U. J  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
3937, 38mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  e.  ( `' ( a  e. 
U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a ) >. ) " (  _I  |`  U. K
) )  <->  ( b  e.  U. J  /\  (
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) `  b )  e.  (  _I  |`  U. K
) ) ) )
4023, 35, 393bitr4d 285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( b  e.  dom  ( F  i^i  G )  <-> 
b  e.  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) ) )
4140eqrdv 2464 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  =  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. ) " (  _I  |`  U. K ) ) )
422, 17txcnmpt 19857 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  G  e.  ( J  Cn  K ) )  -> 
( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
431, 26, 42syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) ) )
44 hauseqlcld.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Haus )
453hausdiag 19878 . . . . 5  |-  ( K  e.  Haus  <->  ( K  e. 
Top  /\  (  _I  |` 
U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) ) )
4645simprbi 464 . . . 4  |-  ( K  e.  Haus  ->  (  _I  |`  U. K )  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K ) ) )
4744, 46syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )
48 cnclima 19532 . . 3  |-  ( ( ( a  e.  U. J  |->  <. ( F `  a ) ,  ( G `  a )
>. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  K ) )  /\  (  _I  |`  U. K
)  e.  ( Clsd `  ( K  tX  K
) ) )  -> 
( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
4943, 47, 48syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( a  e.  U. J  |->  <.
( F `  a
) ,  ( G `
 a ) >.
) " (  _I  |`  U. K ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
5041, 49eqeltrd 2555 1  |-  ( ph  ->  dom  ( F  i^i  G )  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818    i^i cin 3475   <.cop 4033   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Topctop 19158   Clsdccld 19280    Cn ccn 19488   Hauscha 19572    tX ctx 19793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419  df-topgen 14692  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cld 19283  df-cn 19491  df-haus 19579  df-tx 19795
This theorem is referenced by:  hauseqcn  27510  hausgraph  30777
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