Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hauseqcn Structured version   Unicode version

Theorem hauseqcn 27702
 Description: In a Hausdorff topology, two continuous functions which agree on a dense set agree everywhere. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
hauseqcn.x
hauseqcn.k
hauseqcn.f
hauseqcn.g
hauseqcn.e
hauseqcn.a
hauseqcn.c
Assertion
Ref Expression
hauseqcn

Proof of Theorem hauseqcn
StepHypRef Expression
1 hauseqcn.x . . 3
2 hauseqcn.f . . . . . 6
3 cntop1 19609 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
5 dmin 5216 . . . . . 6
6 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
7 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
86, 7cnf 19615 . . . . . . . . 9
9 fdm 5741 . . . . . . . . 9
102, 8, 93syl 20 . . . . . . . 8
11 hauseqcn.g . . . . . . . . 9
126, 7cnf 19615 . . . . . . . . 9
13 fdm 5741 . . . . . . . . 9
1411, 12, 133syl 20 . . . . . . . 8
1510, 14ineq12d 3706 . . . . . . 7
16 inidm 3712 . . . . . . 7
1715, 16syl6eq 2524 . . . . . 6
185, 17syl5sseq 3557 . . . . 5
19 hauseqcn.e . . . . . 6
20 ffn 5737 . . . . . . . 8
212, 8, 203syl 20 . . . . . . 7
22 ffn 5737 . . . . . . . 8
2311, 12, 223syl 20 . . . . . . 7
24 hauseqcn.a . . . . . . . 8
2524, 1syl6sseq 3555 . . . . . . 7
26 fnreseql 5998 . . . . . . 7
2721, 23, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . 6
2819, 27mpbid 210 . . . . 5
296clsss 19423 . . . . 5
304, 18, 28, 29syl3anc 1228 . . . 4
31 hauseqcn.c . . . 4
32 hauseqcn.k . . . . . 6
3332, 2, 11hauseqlcld 20015 . . . . 5
34 cldcls 19411 . . . . 5
3533, 34syl 16 . . . 4
3630, 31, 353sstr3d 3551 . . 3
371, 36syl5eqssr 3554 . 2
38 fneqeql2 5997 . . 3
3921, 23, 38syl2anc 661 . 2
4037, 39mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1379   wcel 1767   cin 3480   wss 3481  cuni 4251   cdm 5005   cres 5007   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  ctop 19263  ccld 19385  ccl 19387   ccn 19593  cha 19677 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434  df-topgen 14716  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cld 19388  df-cls 19390  df-cn 19596  df-haus 19684  df-tx 19931 This theorem is referenced by:  rrhre  27824
 Copyright terms: Public domain W3C validator