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Theorem hausdiag 20591
Description: A topology is Hausdorff iff the diagonal set is closed in the topology's product with itself. EDITORIAL: very clumsy proof, can probably be shortened substantially. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hausdiag.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausdiag  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )

Proof of Theorem hausdiag
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hausdiag.x . . 3  |-  X  = 
U. J
21ishaus 20269 . 2  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3 txtop 20515 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( J  tX  J
)  e.  Top )
43anidms 649 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  tX  J )  e. 
Top )
5 f1oi 5866 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  X ) : X -1-1-onto-> X
6 f1of 5831 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  X ) : X -1-1-onto-> X  ->  (  _I  |`  X ) : X --> X )
7 fssxp 5758 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  X ) : X --> X  ->  (  _I  |`  X )  C_  ( X  X.  X
) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  X )  C_  ( X  X.  X )
91, 1txuni 20538 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( X  X.  X
)  =  U. ( J  tX  J ) )
109anidms 649 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  X.  X )  = 
U. ( J  tX  J ) )
118, 10syl5sseq 3518 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (  _I  |`  X )  C_  U. ( J  tX  J
) )
12 eqid 2429 . . . . . 6  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
1312iscld2 19974 . . . . 5  |-  ( ( ( J  tX  J
)  e.  Top  /\  (  _I  |`  X ) 
C_  U. ( J  tX  J ) )  -> 
( (  _I  |`  X )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <-> 
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J ) ) )
144, 11, 13syl2anc 665 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
(  _I  |`  X )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <-> 
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J ) ) )
15 eltx 20514 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. e  e.  ( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
1615anidms 649 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. e  e.  ( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
17 eldif 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e. 
U. ( J  tX  J )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) )
1810eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  U. ( J  tX  J )  =  ( X  X.  X
) )
1918eleq2d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
e  e.  U. ( J  tX  J )  <->  e  e.  ( X  X.  X
) ) )
2019anbi1d 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  U. ( J  tX  J )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) ) )
2117, 20syl5bb 260 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  (
e  e.  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) ) )
2221imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( ( e  e.  ( X  X.  X )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
23 impexp 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( e  e.  ( X  X.  X )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
2422, 23syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) ) )
2524ralbidv2 2867 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. e  e.  ( X  X.  X
) ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
26 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( e  e.  (  _I  |`  X )  <->  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X ) ) )
2726notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  <->  -.  <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X ) ) )
28 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( e  e.  ( c  X.  d
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d ) ) )
2928anbi1d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
30292rexbidv 2953 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) )
3127, 30imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
3231ralxp 4996 . . . . . 6  |-  ( A. e  e.  ( X  X.  X ) ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) )
3325, 32syl6bb 264 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <.
a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
34 vex 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
3534opelres 5130 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
( <. a ,  b
>.  e.  _I  /\  a  e.  X ) )
36 df-br 4427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  _I  b  <->  <. a ,  b >.  e.  _I  )
3734ideq 5007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  _I  b  <->  a  =  b )
3836, 37bitr3i 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  _I  <->  a  =  b )
39 iba 505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  X  ->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  <->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
) ) )
4039adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  _I  <->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
) ) )
4138, 40syl5rbbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
)  <->  a  =  b ) )
4235, 41syl5bb 260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =  b ) )
4342adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =  b ) )
4443necon3bbid 2678 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( -.  <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =/=  b ) )
45 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  J  ->  c  C_ 
U. J )
46 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  J  ->  d  C_ 
U. J )
47 xpss12 4960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  C_  U. J  /\  d  C_  U. J )  ->  ( c  X.  d )  C_  ( U. J  X.  U. J
) )
4845, 46, 47syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  ->  ( c  X.  d
)  C_  ( U. J  X.  U. J ) )
491, 1xpeq12i 4876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  X.  X )  =  ( U. J  X.  U. J )
5048, 49syl6sseqr 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  ->  ( c  X.  d
)  C_  ( X  X.  X ) )
5150adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( c  X.  d )  C_  ( X  X.  X ) )
5210ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( X  X.  X )  =  U. ( J  tX  J ) )
5351, 52sseqtrd 3506 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( c  X.  d )  C_  U. ( J  tX  J ) )
54 reldisj 3842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  X.  d ) 
C_  U. ( J  tX  J )  ->  (
( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/)  <->  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) ) )
56 df-res 4866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  _I  |`  X )  =  (  _I  i^i  ( X  X.  _V ) )
5756ineq2i 3667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V )
) )
58 inass 3678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V ) ) )
59 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( c  X.  d
)
6059, 51syl5ss 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  X
) )
61 ssv 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  C_  _V
62 xpss2 4964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( X  X.  X )  C_  ( X  X.  _V )
)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  X.  X )  C_  ( X  X.  _V )
6460, 63syl6ss 3482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  _V )
)
65 df-ss 3456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  _V ) 
<->  ( ( ( c  X.  d )  i^i 
_I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i 
_I  ) )
6664, 65sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  _I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )
)
6758, 66syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V )
) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )
)
6857, 67syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  ) )
6968eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  )  =  (/) ) )
70 opelxp 4884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
a ,  a >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  a  e.  d ) )
71 df-br 4427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a ( c  X.  d
) a  <->  <. a ,  a >.  e.  (
c  X.  d ) )
72 elin 3655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( c  i^i  d )  <->  ( a  e.  c  /\  a  e.  d ) )
7370, 71, 723bitr4i 280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a ( c  X.  d
) a  <->  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7473notbii 297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  a ( c  X.  d ) a  <->  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7574albii 1687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  -.  a ( c  X.  d ) a  <->  A. a  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
76 intirr 5238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. a  -.  a
( c  X.  d
) a )
77 eq0 3783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  <->  A. a  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7875, 76, 773bitr4i 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  =  (/)  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) )
7969, 78syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )
8055, 79bitr3d 258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
8180anbi2d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) ) )  <->  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
82 opelxp 4884 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) )
8382anbi1i 699 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <-> 
( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )
84 df-3an 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) )  <->  ( (
a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )
8581, 83, 843bitr4g 291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( ( <. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <-> 
( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
86852rexbidva 2952 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
8744, 86imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
88872ralbidva 2874 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
8933, 88bitrd 256 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
9014, 16, 893bitrrd 283 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )  <->  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
9190pm5.32i 641 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
922, 91bitri 252 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   <.cop 4008   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    _I cid 4764    X. cxp 4852    |` cres 4856   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Topctop 19848   Clsdccld 19962   Hauscha 20255    tX ctx 20506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-topgen 15301  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cld 19965  df-haus 20262  df-tx 20508
This theorem is referenced by:  hauseqlcld  20592  tgphaus  21062  qtophaus  28502
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