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Theorem hausdiag 20272
Description: A topology is Hausdorff iff the diagonal set is closed in the topology's product with itself. EDITORIAL: very clumsy proof, can probably be shortened substantially. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hausdiag.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
hausdiag  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )

Proof of Theorem hausdiag
Dummy variables  a 
b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hausdiag.x . . 3  |-  X  = 
U. J
21ishaus 19950 . 2  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
3 txtop 20196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( J  tX  J
)  e.  Top )
43anidms 645 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  tX  J )  e. 
Top )
5 f1oi 5857 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  X ) : X -1-1-onto-> X
6 f1of 5822 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  X ) : X -1-1-onto-> X  ->  (  _I  |`  X ) : X --> X )
7 fssxp 5749 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  X ) : X --> X  ->  (  _I  |`  X )  C_  ( X  X.  X
) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  X )  C_  ( X  X.  X )
91, 1txuni 20219 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( X  X.  X
)  =  U. ( J  tX  J ) )
109anidms 645 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  X.  X )  = 
U. ( J  tX  J ) )
118, 10syl5sseq 3547 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (  _I  |`  X )  C_  U. ( J  tX  J
) )
12 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ( J  tX  J )
1312iscld2 19656 . . . . 5  |-  ( ( ( J  tX  J
)  e.  Top  /\  (  _I  |`  X ) 
C_  U. ( J  tX  J ) )  -> 
( (  _I  |`  X )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <-> 
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J ) ) )
144, 11, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
(  _I  |`  X )  e.  ( Clsd `  ( J  tX  J ) )  <-> 
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J ) ) )
15 eltx 20195 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  J  e.  Top )  ->  ( ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. e  e.  ( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
1615anidms 645 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  e.  ( J 
tX  J )  <->  A. e  e.  ( U. ( J 
tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
17 eldif 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e. 
U. ( J  tX  J )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) )
1810eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  U. ( J  tX  J )  =  ( X  X.  X
) )
1918eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
e  e.  U. ( J  tX  J )  <->  e  e.  ( X  X.  X
) ) )
2019anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  U. ( J  tX  J )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) ) )
2117, 20syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  ->  (
e  e.  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) ) ) )
2221imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( ( e  e.  ( X  X.  X )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
23 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( e  e.  ( X  X.  X )  /\  -.  e  e.  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
2422, 23syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( e  e.  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( e  e.  ( X  X.  X
)  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) ) )
2524ralbidv2 2892 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. e  e.  ( X  X.  X
) ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
26 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( e  e.  (  _I  |`  X )  <->  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X ) ) )
2726notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  <->  -.  <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X ) ) )
28 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( e  e.  ( c  X.  d
)  <->  <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d ) ) )
2928anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( e  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) ) )
30292rexbidv 2975 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) )
3127, 30imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( e  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
3231ralxp 5154 . . . . . 6  |-  ( A. e  e.  ( X  X.  X ) ( -.  e  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( e  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) )
3325, 32syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <.
a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) ) ) )
34 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
3534opelres 5289 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
( <. a ,  b
>.  e.  _I  /\  a  e.  X ) )
36 df-br 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  _I  b  <->  <. a ,  b >.  e.  _I  )
3734ideq 5165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  _I  b  <->  a  =  b )
3836, 37bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  _I  <->  a  =  b )
39 iba 503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  X  ->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  <->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  _I  <->  ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
) ) )
4138, 40syl5rbbr 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( <. a ,  b >.  e.  _I  /\  a  e.  X
)  <->  a  =  b ) )
4235, 41syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =  b ) )
4342adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =  b ) )
4443necon3bbid 2704 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( -.  <. a ,  b
>.  e.  (  _I  |`  X )  <-> 
a  =/=  b ) )
45 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  J  ->  c  C_ 
U. J )
46 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  J  ->  d  C_ 
U. J )
47 xpss12 5117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  C_  U. J  /\  d  C_  U. J )  ->  ( c  X.  d )  C_  ( U. J  X.  U. J
) )
4845, 46, 47syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  ->  ( c  X.  d
)  C_  ( U. J  X.  U. J ) )
491, 1xpeq12i 5030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  X.  X )  =  ( U. J  X.  U. J )
5048, 49syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  J  /\  d  e.  J )  ->  ( c  X.  d
)  C_  ( X  X.  X ) )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( c  X.  d )  C_  ( X  X.  X ) )
5210ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( X  X.  X )  =  U. ( J  tX  J ) )
5351, 52sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( c  X.  d )  C_  U. ( J  tX  J ) )
54 reldisj 3873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  X.  d ) 
C_  U. ( J  tX  J )  ->  (
( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/)  <->  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) ) )
56 df-res 5020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  _I  |`  X )  =  (  _I  i^i  ( X  X.  _V ) )
5756ineq2i 3693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V )
) )
58 inass 3704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V ) ) )
59 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( c  X.  d
)
6059, 51syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  X
) )
61 ssv 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  C_  _V
62 xpss2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( X  X.  X )  C_  ( X  X.  _V )
)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  X.  X )  C_  ( X  X.  _V )
6460, 63syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  _V )
)
65 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  C_  ( X  X.  _V ) 
<->  ( ( ( c  X.  d )  i^i 
_I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i 
_I  ) )
6664, 65sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  _I  )  i^i  ( X  X.  _V ) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )
)
6758, 66syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  (  _I  i^i  ( X  X.  _V )
) )  =  ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )
)
6857, 67syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d )  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  ) )
6968eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( ( c  X.  d )  i^i  _I  )  =  (/) ) )
70 opelxp 5038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
a ,  a >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  a  e.  d ) )
71 df-br 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a ( c  X.  d
) a  <->  <. a ,  a >.  e.  (
c  X.  d ) )
72 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( c  i^i  d )  <->  ( a  e.  c  /\  a  e.  d ) )
7370, 71, 723bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a ( c  X.  d
) a  <->  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7473notbii 296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  a ( c  X.  d ) a  <->  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7574albii 1641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. a  -.  a ( c  X.  d ) a  <->  A. a  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
76 intirr 5395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  =  (/)  <->  A. a  -.  a
( c  X.  d
) a )
77 eq0 3809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  i^i  d )  =  (/)  <->  A. a  -.  a  e.  ( c  i^i  d
) )
7875, 76, 773bitr4i 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( c  X.  d
)  i^i  _I  )  =  (/)  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) )
7969, 78syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( c  X.  d
)  i^i  (  _I  |`  X ) )  =  (/) 
<->  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )
8055, 79bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) )  <->  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )
8180anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( (
( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J )  \  (  _I  |`  X ) ) )  <->  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
82 opelxp 5038 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  <->  ( a  e.  c  /\  b  e.  d ) )
8382anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <-> 
( ( a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )
84 df-3an 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) )  <->  ( (
a  e.  c  /\  b  e.  d )  /\  ( c  i^i  d
)  =  (/) ) )
8581, 83, 843bitr4g 288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  /\  (
c  e.  J  /\  d  e.  J )
)  ->  ( ( <. a ,  b >.  e.  ( c  X.  d
)  /\  ( c  X.  d )  C_  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) )  <-> 
( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
86852rexbidva 2974 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  ( E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) )  <->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) )
8744, 86imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )  <->  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
88872ralbidva 2899 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( -.  <. a ,  b >.  e.  (  _I  |`  X )  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( <. a ,  b
>.  e.  ( c  X.  d )  /\  (
c  X.  d ) 
C_  ( U. ( J  tX  J )  \ 
(  _I  |`  X ) ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
8933, 88bitrd 253 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. e  e.  ( U. ( J  tX  J
)  \  (  _I  |`  X ) ) E. c  e.  J  E. d  e.  J  (
e  e.  ( c  X.  d )  /\  ( c  X.  d
)  C_  ( U. ( J  tX  J ) 
\  (  _I  |`  X ) ) )  <->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  (
c  i^i  d )  =  (/) ) ) ) )
9014, 16, 893bitrrd 280 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) )  <->  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
9190pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  (
a  =/=  b  ->  E. c  e.  J  E. d  e.  J  ( a  e.  c  /\  b  e.  d  /\  ( c  i^i  d )  =  (/) ) ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
922, 91bitri 249 1  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  (  _I  |`  X )  e.  (
Clsd `  ( J  tX  J ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   <.cop 4038   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    _I cid 4799    X. cxp 5006    |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Topctop 19521   Clsdccld 19644   Hauscha 19936    tX ctx 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-haus 19943  df-tx 20189
This theorem is referenced by:  hauseqlcld  20273  tgphaus  20741  qtophaus  28000
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