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Theorem hausdiag 20272
 Description: A topology is Hausdorff iff the diagonal set is closed in the topology's product with itself. EDITORIAL: very clumsy proof, can probably be shortened substantially. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hausdiag.x
Assertion
Ref Expression
hausdiag

Proof of Theorem hausdiag
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hausdiag.x . . 3
21ishaus 19950 . 2
3 txtop 20196 . . . . . 6
43anidms 645 . . . . 5
5 f1oi 5857 . . . . . . 7
6 f1of 5822 . . . . . . 7
7 fssxp 5749 . . . . . . 7
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . 6
91, 1txuni 20219 . . . . . . 7
109anidms 645 . . . . . 6
118, 10syl5sseq 3547 . . . . 5
12 eqid 2457 . . . . . 6
1312iscld2 19656 . . . . 5
144, 11, 13syl2anc 661 . . . 4
15 eltx 20195 . . . . 5
1615anidms 645 . . . 4
17 eldif 3481 . . . . . . . . . 10
1810eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . 12
1918eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11
2019anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
2117, 20syl5bb 257 . . . . . . . . 9
2221imbi1d 317 . . . . . . . 8
23 impexp 446 . . . . . . . 8
2422, 23syl6bb 261 . . . . . . 7
2524ralbidv2 2892 . . . . . 6
26 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
2726notbid 294 . . . . . . . 8
28 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
2928anbi1d 704 . . . . . . . . 9
30292rexbidv 2975 . . . . . . . 8
3127, 30imbi12d 320 . . . . . . 7
3231ralxp 5154 . . . . . 6
3325, 32syl6bb 261 . . . . 5
34 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
3534opelres 5289 . . . . . . . . . 10
36 df-br 4457 . . . . . . . . . . . 12
3734ideq 5165 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37bitr3i 251 . . . . . . . . . . 11
39 iba 503 . . . . . . . . . . . 12
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4138, 40syl5rbbr 260 . . . . . . . . . 10
4235, 41syl5bb 257 . . . . . . . . 9
4342adantl 466 . . . . . . . 8
4443necon3bbid 2704 . . . . . . 7
45 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16
47 xpss12 5117 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4845, 46, 47syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
491, 1xpeq12i 5030 . . . . . . . . . . . . . . 15
5048, 49syl6sseqr 3546 . . . . . . . . . . . . . 14
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
5210ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . . 12
54 reldisj 3873 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11
56 df-res 5020 . . . . . . . . . . . . . . 15
5756ineq2i 3693 . . . . . . . . . . . . . 14
58 inass 3704 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6059, 51syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
61 ssv 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62 xpss2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6460, 63syl6ss 3511 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 df-ss 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6664, 65sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
6758, 66syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . 14
6857, 67syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13
6968eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . 12
70 opelxp 5038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 df-br 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7370, 71, 723bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473notbii 296 . . . . . . . . . . . . . 14
7574albii 1641 . . . . . . . . . . . . 13
76 intirr 5395 . . . . . . . . . . . . 13
77 eq0 3809 . . . . . . . . . . . . 13
7875, 76, 773bitr4i 277 . . . . . . . . . . . 12
7969, 78syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
8055, 79bitr3d 255 . . . . . . . . . 10
8180anbi2d 703 . . . . . . . . 9
82 opelxp 5038 . . . . . . . . . 10
8382anbi1i 695 . . . . . . . . 9
84 df-3an 975 . . . . . . . . 9
8581, 83, 843bitr4g 288 . . . . . . . 8
86852rexbidva 2974 . . . . . . 7
8744, 86imbi12d 320 . . . . . 6
88872ralbidva 2899 . . . . 5
8933, 88bitrd 253 . . . 4
9014, 16, 893bitrrd 280 . . 3
9190pm5.32i 637 . 2
922, 91bitri 249 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973  wal 1393   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  cvv 3109   cdif 3468   cin 3470   wss 3471  c0 3793  cop 4038  cuni 4251   class class class wbr 4456   cid 4799   cxp 5006   cres 5010  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296  ctop 19521  ccld 19644  cha 19936   ctx 20187 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-haus 19943  df-tx 20189 This theorem is referenced by:  hauseqlcld  20273  tgphaus  20741  qtophaus  28000
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