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Theorem hauscmplem 19884
Description: Lemma for hauscmp 19885. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hauscmp.1  |-  X  = 
U. J
hauscmplem.2  |-  O  =  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
hauscmplem.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
hauscmplem.4  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
hauscmplem.5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
hauscmplem.6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X 
\  S ) )
Assertion
Ref Expression
hauscmplem  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, A    w, J, y, z    ph, w, y, z   
w, S, y, z   
z, O    w, X, y, z
Allowed substitution hints:    O( y, w)

Proof of Theorem hauscmplem
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hauscmplem.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
2 haustop 19810 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Haus  ->  J  e. 
Top )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
43ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  J  e.  Top )
5 hauscmp.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
65topopn 19393 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  X  e.  J )
8 hauscmplem.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( X 
\  S ) )
98eldifad 3473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
109ad3antrrr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  A  e.  X )
115clstop 19548 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  X )  =  X )
124, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `  X )  =  X )
13 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  S  C_  U. x
)
14 unieq 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
15 uni0 4261 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
1614, 15syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  U. x  =  (/) )
1813, 17sseqtrd 3525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  S  C_  (/) )
19 ss0 3802 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  (/)  ->  S  =  (/) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  S  =  (/) )
2120difeq2d 3607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( X  \  S )  =  ( X  \  (/) ) )
22 dif0 3884 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  (/) )  =  X
2321, 22syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( X  \  S )  =  X )
2412, 23eqtr4d 2487 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `  X )  =  ( X  \  S ) )
25 eqimss 3541 . . . . 5  |-  ( ( ( cls `  J
) `  X )  =  ( X  \  S )  ->  (
( cls `  J
) `  X )  C_  ( X  \  S
) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  ( ( cls `  J ) `  X )  C_  ( X  \  S ) )
27 eleq2 2516 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  X ) )
28 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( z  =  X  ->  (
( cls `  J
) `  z )  =  ( ( cls `  J ) `  X
) )
2928sseq1d 3516 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
)  <->  ( ( cls `  J ) `  X
)  C_  ( X  \  S ) ) )
3027, 29anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  ( X  \  S ) )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( cls `  J
) `  X )  C_  ( X  \  S
) ) ) )
3130rspcev 3196 . . . 4  |-  ( ( X  e.  J  /\  ( A  e.  X  /\  ( ( cls `  J
) `  X )  C_  ( X  \  S
) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
327, 10, 26, 31syl12anc 1227 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
33 elin 3672 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P O  /\  x  e.  Fin ) )
34 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
35 elpwi 4006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P O  ->  x  C_  O )
3635sseld 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P O  -> 
( z  e.  x  ->  z  e.  O ) )
37 difeq2 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  z  ->  ( X  \  y )  =  ( X  \  z
) )
3837sseq2d 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
)  <->  ( ( cls `  J ) `  w
)  C_  ( X  \  z ) ) )
3938anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) )  <->  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
4039rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) )  <->  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
41 hauscmplem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
4240, 41elrab2 3245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  O  <->  ( z  e.  J  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
4342simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  O  ->  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) )
4436, 43syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P O  -> 
( z  e.  x  ->  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
4544ralrimiv 2855 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~P O  ->  A. z  e.  x  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) )
46 eleq2 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  ( A  e.  w  <->  A  e.  ( f `  z
) ) )
47 fveq2 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  =  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
) )
4847sseq1d 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
)  <->  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
)  C_  ( X  \  z ) ) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( f `  z )  ->  (
( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) )  <->  ( A  e.  ( f `  z
)  /\  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  C_  ( X  \  z ) ) ) )
5049ac6sfi 7766 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. z  e.  x  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  z
) ) )  ->  E. f ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
5134, 45, 50syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P O  /\  x  e.  Fin )  ->  E. f ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
5233, 51sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  ->  E. f
( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z
)  /\  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  C_  ( X  \  z ) ) ) )
5352ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  E. f ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )
543ad3antrrr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
55 frn 5727 . . . . . . . 8  |-  ( f : x --> J  ->  ran  f  C_  J )
5655ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ran  f  C_  J )
57 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  =/=  (/) )
58 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) )  -> 
f : x --> J )
59 dm0rn0 5209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  f  =  (/)  <->  ran  f  =  (/) )
60 fdm 5725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : x --> J  ->  dom  f  =  x
)
6160eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : x --> J  -> 
( dom  f  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
6259, 61syl5rbbr 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : x --> J  -> 
( x  =  (/)  <->  ran  f  =  (/) ) )
6362necon3bid 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( f : x --> J  -> 
( x  =/=  (/)  <->  ran  f  =/=  (/) ) )
6463biimpac 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  f : x --> J )  ->  ran  f  =/=  (/) )
6557, 58, 64syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ran  f  =/=  (/) )
6633simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
6766ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  x  e.  Fin )
68 ffn 5721 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : x --> J  -> 
f  Fn  x )
69 dffn4 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  <->  f :
x -onto-> ran  f )
7068, 69sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( f : x --> J  -> 
f : x -onto-> ran  f )
7170adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) )  -> 
f : x -onto-> ran  f )
72 fofi 7808 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  f : x -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
7367, 71, 72syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
74 fiinopn 19388 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ran  f  C_  J  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e. 
Fin )  ->  |^| ran  f  e.  J )
)
7574imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  f  C_  J  /\  ran  f  =/=  (/)  /\  ran  f  e.  Fin )
)  ->  |^| ran  f  e.  J )
7654, 56, 65, 73, 75syl13anc 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^| ran  f  e.  J )
77 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  A  e.  ( f `  z
) )
7877ralimi 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z
) )
7978ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z ) )
808ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A  e.  ( X  \  S ) )
81 eliin 4321 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( X  \  S )  ->  ( A  e.  |^|_ z  e.  x  ( f `  z )  <->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z
) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( A  e. 
|^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  <->  A. z  e.  x  A  e.  ( f `  z ) ) )
8379, 82mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A  e.  |^|_ z  e.  x  (
f `  z )
)
8468ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  f  Fn  x
)
85 fnrnfv 5904 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  ->  ran  f  =  { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( f `  z ) } )
8685inteqd 4276 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  x  ->  |^| ran  f  =  |^| { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( f `  z ) } )
87 fvex 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 z )  e. 
_V
8887dfiin2 4350 . . . . . . . . 9  |-  |^|_ z  e.  x  ( f `  z )  =  |^| { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( f `  z
) }
8986, 88syl6eqr 2502 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  x  ->  |^| ran  f  =  |^|_ z  e.  x  ( f `  z ) )
9084, 89syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^| ran  f  = 
|^|_ z  e.  x  ( f `  z
) )
9183, 90eleqtrrd 2534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A  e.  |^| ran  f )
9257adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  x  =/=  (/) )
933ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  J  e.  Top )
94 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : x --> J  /\  z  e.  x )  ->  ( f `  z
)  e.  J )
9594adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  e.  J
)
96 elssuni 4264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  z )  e.  J  ->  (
f `  z )  C_ 
U. J )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  C_  U. J
)
9897, 5syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  C_  X
)
995clscld 19526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( f `  z
)  C_  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
10093, 98, 99syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
101100ralrimiva 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  ->  A. z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
102101adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  A. z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
103 iincld 19518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  A. z  e.  x  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  e.  (
Clsd `  J )
)
10492, 102, 103syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
1055sscls 19535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( f `  z
)  C_  X )  ->  ( f `  z
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
10693, 98, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin )
)  /\  ( S  C_ 
U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  /\  z  e.  x
)  ->  ( f `  z )  C_  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
107106ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  ->  A. z  e.  x  ( f `  z
)  C_  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
108 ssel 3483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  z ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
)  ->  ( y  e.  ( f `  z
)  ->  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) ) )
109108ral2imi 2831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  x  (
f `  z )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  -> 
( A. z  e.  x  y  e.  ( f `  z )  ->  A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) ) )
110 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
111 eliin 4321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( f `  z )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( f `  z
) ) )
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  |^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( f `  z ) )
113 eliin 4321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) ) )
114110, 113ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
115109, 112, 1143imtr4g 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  x  (
f `  z )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  -> 
( y  e.  |^|_ z  e.  x  (
f `  z )  ->  y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) ) )
116115ssrdv 3495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  (
f `  z )  C_  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( f `  z ) 
C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
117107, 116syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  f : x --> J )  ->  |^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
) )
118117adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( f `  z
)  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  (
f `  z )
) )
11990, 118eqsstrd 3523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^| ran  f  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )
1205clsss2 19551 . . . . . . . 8  |-  ( (
|^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  |^| ran  f  C_ 
|^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
121104, 119, 120syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) ) )
122 ssel 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
)  ->  ( y  e.  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  -> 
y  e.  ( X 
\  z ) ) )
123122adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  (
y  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( f `  z ) )  -> 
y  e.  ( X 
\  z ) ) )
124123ral2imi 2831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  ( A. z  e.  x  y  e.  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  ->  A. z  e.  x  y  e.  ( X  \  z
) ) )
125 eliin 4321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z )  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( X  \  z
) ) )
126110, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
)  <->  A. z  e.  x  y  e.  ( X  \  z ) )
127124, 114, 1263imtr4g 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  (
y  e.  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  ->  y  e.  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
) ) )
128127ssrdv 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `  z )  /\  (
( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J ) `  ( f `  z
) )  C_  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z ) )
129128ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z ) )
130 iindif2 4384 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =/=  (/)  ->  |^|_ z  e.  x  ( X  \ 
z )  =  ( X  \  U_ z  e.  x  z )
)
13192, 130syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
)  =  ( X 
\  U_ z  e.  x  z ) )
132 simplrl 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  S  C_  U. x
)
133 uniiun 4368 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. x  =  U_ z  e.  x  z
134133sseq2i 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  U. x  <->  S  C_  U_ z  e.  x  z )
135 sscon 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  U_ z  e.  x  z  ->  ( X  \  U_ z  e.  x  z )  C_  ( X  \  S ) )
136134, 135sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( S 
C_  U. x  ->  ( X  \  U_ z  e.  x  z )  C_  ( X  \  S ) )
137132, 136syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( X  \  U_ z  e.  x  z )  C_  ( X  \  S ) )
138131, 137eqsstrd 3523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( X  \  z
)  C_  ( X  \  S ) )
139129, 138sstrd 3499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  |^|_ z  e.  x  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  S ) )
140121, 139sstrd 3499 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  ( X  \  S ) )
141 eleq2 2516 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( A  e.  z  <-> 
A  e.  |^| ran  f ) )
142 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( ( cls `  J
) `  z )  =  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f ) )
143142sseq1d 3516 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( ( ( cls `  J ) `  z
)  C_  ( X  \  S )  <->  ( ( cls `  J ) `  |^| ran  f )  C_  ( X  \  S ) ) )
144141, 143anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( z  =  |^| ran  f  ->  ( ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J ) `
 z )  C_  ( X  \  S ) )  <->  ( A  e. 
|^| ran  f  /\  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  f
)  C_  ( X  \  S ) ) ) )
145144rspcev 3196 . . . . . 6  |-  ( (
|^| ran  f  e.  J  /\  ( A  e. 
|^| ran  f  /\  ( ( cls `  J
) `  |^| ran  f
)  C_  ( X  \  S ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
14676, 91, 140, 145syl12anc 1227 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  /\  (
f : x --> J  /\  A. z  e.  x  ( A  e.  ( f `
 z )  /\  ( ( cls `  J
) `  ( f `  z ) )  C_  ( X  \  z
) ) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
14753, 146exlimddv 1713 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  ( S  C_  U. x  /\  x  =/=  (/) ) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
148147anassrs 648 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_  U. x
)  /\  x  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  (
( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
14932, 148pm2.61dane 2761 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) )  /\  S  C_ 
U. x )  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
1501adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Haus )
151 hauscmplem.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
152151sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  X )
1539adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  X )
154 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  S  ->  x  e.  S )
1558eldifbd 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  S
)
156 nelne2 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  S  /\  -.  A  e.  S
)  ->  x  =/=  A )
157154, 155, 156syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  =/=  A )
1585hausnei 19807 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  (
x  e.  X  /\  A  e.  X  /\  x  =/=  A ) )  ->  E. y  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) ) )
159150, 152, 153, 157, 158syl13anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w )  =  (/) ) )
160 3anass 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) ) ) )
161 elssuni 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_ 
U. J )
162161, 5syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  J  ->  w  C_  X )
163162adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  w  C_  X )
164 incom 3676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  i^i  w )  =  ( w  i^i  y
)
165164eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  i^i  w )  =  (/)  <->  ( w  i^i  y )  =  (/) )
166 reldisj 3856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  X  ->  (
( w  i^i  y
)  =  (/)  <->  w  C_  ( X  \  y ) ) )
167165, 166syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  X  ->  (
( y  i^i  w
)  =  (/)  <->  w  C_  ( X  \  y ) ) )
168163, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( y  i^i  w
)  =  (/)  <->  w  C_  ( X  \  y ) ) )
169150, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  J  e.  Top )
1705opncld 19512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
171169, 170sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
172171adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
) )
1735clsss2 19551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  \  y
)  e.  ( Clsd `  J )  /\  w  C_  ( X  \  y
) )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) )
174173ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  \  y )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( w  C_  ( X  \  y
)  ->  ( ( cls `  J ) `  w )  C_  ( X  \  y ) ) )
175172, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
w  C_  ( X  \  y )  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) )
176168, 175sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( y  i^i  w
)  =  (/)  ->  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) )
177176anim2d 565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
178177anim2d 565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( y  i^i  w )  =  (/) ) )  ->  (
x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
179160, 178syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J
)  /\  w  e.  J )  ->  (
( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
180179reximdva 2918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
181 r19.42v 2998 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) )  <->  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
182180, 181syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  -> 
( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J ) `
 w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
183182reximdva 2918 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( E. y  e.  J  E. w  e.  J  ( x  e.  y  /\  A  e.  w  /\  ( y  i^i  w
)  =  (/) )  ->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) ) )
184159, 183mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
18541unieqi 4243 . . . . . . . 8  |-  U. O  =  U. { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }
186185eleq2i 2521 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. O  <->  x  e.  U. { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) } )
187 elunirab 4246 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
188186, 187bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. O  <->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  (
( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) ) )
189184, 188sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  U. O )
190189ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  ->  x  e.  U. O
) )
191190ssrdv 3495 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U. O )
192 ssrab2 3570 . . . . . 6  |-  { y  e.  J  |  E. w  e.  J  ( A  e.  w  /\  ( ( cls `  J
) `  w )  C_  ( X  \  y
) ) }  C_  J
19341, 192eqsstri 3519 . . . . 5  |-  O  C_  J
194 elpw2g 4600 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Haus  ->  ( O  e.  ~P J  <->  O  C_  J
) )
1951, 194syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( O  e.  ~P J 
<->  O  C_  J )
)
196193, 195mpbiri 233 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  ~P J
)
197 hauscmplem.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
1985cmpsub 19878 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) ) )
199198biimp3a 1329 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  ( Jt  S )  e.  Comp )  ->  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) )
2003, 151, 197, 199syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) )
201 unieq 4242 . . . . . . 7  |-  ( z  =  O  ->  U. z  =  U. O )
202201sseq2d 3517 . . . . . 6  |-  ( z  =  O  ->  ( S  C_  U. z  <->  S  C_  U. O
) )
203 pweq 4000 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  O  ->  ~P z  =  ~P O
)
204203ineq1d 3684 . . . . . . 7  |-  ( z  =  O  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P O  i^i  Fin ) )
205204rexeqdv 3047 . . . . . 6  |-  ( z  =  O  ->  ( E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) S  C_  U. x  <->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) )
206202, 205imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( z  =  O  ->  (
( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) S  C_  U. x
)  <->  ( S  C_  U. O  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) ) )
207206rspcva 3194 . . . 4  |-  ( ( O  e.  ~P J  /\  A. z  e.  ~P  J ( S  C_  U. z  ->  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) S  C_  U. x ) )  -> 
( S  C_  U. O  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) )
208196, 200, 207syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  C_  U. O  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
) )
209191, 208mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ( ~P O  i^i  Fin ) S  C_  U. x
)
210149, 209r19.29a 2985 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  J  ( A  e.  z  /\  ( ( cls `  J
) `  z )  C_  ( X  \  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234   |^|cint 4271   U_ciun 4315   |^|_ciin 4316   dom cdm 4989   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   ↾t crest 14800   Topctop 19372   Clsdccld 19495   clsccl 19497   Hauscha 19787   Compccmp 19864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14802  df-topgen 14823  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-cld 19498  df-cls 19500  df-haus 19794  df-cmp 19865
This theorem is referenced by:  hauscmp  19885  hausllycmp  19973
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