HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hatomistici Structured version   Unicode version

Theorem hatomistici 27950
Description:  CH is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hatomistic.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
hatomistici  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem hatomistici
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3482 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ HAtoms
2 atssch 27931 . . . . 5  |- HAtoms  C_  CH
31, 2sstri 3409 . . . 4  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH
4 chsupcl 26928 . . . 4  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  CH )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  CH
6 hatomistic.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
76chshii 26815 . . 3  |-  A  e.  SH
8 atelch 27932 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  e.  CH )
98anim1i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  (
y  e.  CH  /\  y  C_  A ) )
10 sseq1 3421 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
1110elrab 3164 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A ) )
1210elrab 3164 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. 
CH  /\  y  C_  A ) )
139, 11, 123imtr4i 269 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  e.  { x  e.  CH  |  x  C_  A } )
1413ssriv 3404 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }
15 ssrab2 3482 . . . . . 6  |-  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  C_  CH
16 chsupss 26930 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  CH 
/\  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  C_  CH )  ->  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
{ x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  C_  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
) ) )
173, 15, 16mp2an 676 . . . . 5  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } ) )
1814, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } )
19 chsupid 27000 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  ->  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A )
206, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A
2118, 20sseqtri 3432 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  A
22 elssuni 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
2311, 22sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_ 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)
24 chsupunss 26932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
2623, 25syl6ss 3412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
2726ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
28 atne0 27933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  =/=  0H )
2928adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
y  =/=  0H )
30 ssin 3620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  y  C_  (
(  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
315chocini 27042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =  0H
3231sseq2i 3425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  0H )
3330, 32bitr2i 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  0H  <->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
34 chle0 27031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CH  ->  (
y  C_  0H  <->  y  =  0H ) )
358, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  0H 
<->  y  =  0H ) )
3633, 35syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( ( y 
C_  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  =  0H ) )
3736biimpa 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  (
y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )  ->  y  =  0H )
3837expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  y  =  0H ) )
3938necon3ad 2608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  =/=  0H  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4029, 39mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
4140ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
4227, 41syld 45 . . . . . . 7  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
43 imnan 423 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4442, 43sylib 199 . . . . . 6  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
45 ssin 3620 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4644, 45sylnib 305 . . . . 5  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4746nrex 2813 . . . 4  |-  -.  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
485choccli 26895 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  e.  CH
496, 48chincli 27048 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  e.  CH
5049hatomici 27947 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =/=  0H  ->  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
5150necon1bi 2623 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  ->  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H )
5247, 51ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H
535, 7, 21, 52omlsii 26991 . 2  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  =  A
5453eqcomi 2431 1  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2593   E.wrex 2709   {crab 2712    i^i cin 3371    C_ wss 3372   U.cuni 4155   ` cfv 5537   CHcch 26517   _|_cort 26518    \/H chsup 26522   0Hc0h 26523  HAtomscat 26553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cc 8809  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563  ax-hilex 26587  ax-hfvadd 26588  ax-hvcom 26589  ax-hvass 26590  ax-hv0cl 26591  ax-hvaddid 26592  ax-hfvmul 26593  ax-hvmulid 26594  ax-hvmulass 26595  ax-hvdistr1 26596  ax-hvdistr2 26597  ax-hvmul0 26598  ax-hfi 26667  ax-his1 26670  ax-his2 26671  ax-his3 26672  ax-his4 26673  ax-hcompl 26790
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-lm 20180  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cfil 22160  df-cau 22161  df-cmet 22162  df-grpo 25854  df-gid 25855  df-ginv 25856  df-gdiv 25857  df-ablo 25945  df-subgo 25965  df-vc 26100  df-nv 26146  df-va 26149  df-ba 26150  df-sm 26151  df-0v 26152  df-vs 26153  df-nmcv 26154  df-ims 26155  df-dip 26272  df-ssp 26296  df-ph 26389  df-cbn 26440  df-hnorm 26556  df-hba 26557  df-hvsub 26559  df-hlim 26560  df-hcau 26561  df-sh 26795  df-ch 26809  df-oc 26840  df-ch0 26841  df-span 26897  df-chsup 26899  df-cv 27867  df-at 27926
This theorem is referenced by:  chpssati  27951
  Copyright terms: Public domain W3C validator