Theorem hatomistici 11934

Description: CH is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140.

Hypothesis

Ref	Expression
hatomistic.1	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
hatomistici	|- A = ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem hatomistici

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 2692	. . . . 5 |- {x e. Atoms | x C_ A} C_ Atoms
2		atssch 11915	. . . . 5 |- Atoms C_ CH
3	1, 2	sstri 2626	. . . 4 |- {x e. Atoms | x C_ A} C_ CH
4		chsupcl 10941	. . . 4 |- ({x e. Atoms | x C_ A} C_ CH -> ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) e. CH)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) e. CH
6		hatomistic.1	. . . 4 |- A e. CH
7	6	chshii 10730	. . 3 |- A e. SH
8		atelch 11916	. . . . . . . 8 |- (y e. Atoms -> y e. CH)
9	8	anim1i 361	. . . . . . 7 |- ((y e. Atoms /\ y C_ A) -> (y e. CH /\ y C_ A))
10		sseq1 2637	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (x C_ A <-> y C_ A))
11	10	elrab 2414	. . . . . . 7 |- (y e. {x e. Atoms | x C_ A} <-> (y e. Atoms /\ y C_ A))
12	10	elrab 2414	. . . . . . 7 |- (y e. {x e. CH | x C_ A} <-> (y e. CH /\ y C_ A))
13	9, 11, 12	3imtr4i 236	. . . . . 6 |- (y e. {x e. Atoms | x C_ A} -> y e. {x e. CH | x C_ A})
14	13	ssriv 2621	. . . . 5 |- {x e. Atoms | x C_ A} C_ {x e. CH | x C_ A}
15		ssrab2 2692	. . . . . 6 |- {x e. CH | x C_ A} C_ CH
16		chsupss 10943	. . . . . 6 |- (({x e. Atoms | x C_ A} C_ CH /\ {x e. CH | x C_ A} C_ CH) -> ({x e. Atoms | x C_ A} C_ {x e. CH | x C_ A} -> ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) C_ ( \/H ` {x e. CH | x C_ A})))
17	3, 15, 16	mp2an 761	. . . . 5 |- ({x e. Atoms | x C_ A} C_ {x e. CH | x C_ A} -> ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) C_ ( \/H ` {x e. CH | x C_ A}))
18	14, 17	ax-mp 7	. . . 4 |- ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) C_ ( \/H ` {x e. CH | x C_ A})
19		chsupid 10944	. . . . 5 |- (A e. CH -> ( \/H ` {x e. CH | x C_ A}) = A)
20	6, 19	ax-mp 7	. . . 4 |- ( \/H ` {x e. CH | x C_ A}) = A
21	18, 20	sseqtri 2649	. . 3 |- ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) C_ A
22		elssuni 3206	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. {x e. Atoms | x C_ A} -> y C_ U.{x e. Atoms | x C_ A})
23	11, 22	sylbir 218	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. Atoms /\ y C_ A) -> y C_ U.{x e. Atoms | x C_ A})
24		chsupunss 10949	. . . . . . . . . . . 12 |- ({x e. Atoms | x C_ A} C_ CH -> U.{x e. Atoms | x C_ A} C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))
25	3, 24	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- U.{x e. Atoms | x C_ A} C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})
26		sstr2 2623	. . . . . . . . . . 11 |- (y C_ U.{x e. Atoms | x C_ A} -> (U.{x e. Atoms | x C_ A} C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) -> y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})))
27	25, 26	mpi 55	. . . . . . . . . 10 |- (y C_ U.{x e. Atoms | x C_ A} -> y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))
28	23, 27	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((y e. Atoms /\ y C_ A) -> y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))
29	28	ex 402	. . . . . . . 8 |- (y e. Atoms -> (y C_ A -> y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})))
30		atn0 11917	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. Atoms -> y =/= 0H)
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. Atoms /\ y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})) -> y =/= 0H)
32		chle0 11000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. CH -> (y C_ 0H <-> y = 0H))
33	8, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. Atoms -> (y C_ 0H <-> y = 0H))
34		ssin 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) <-> y C_ (( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
35	5	chocini 11010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) = 0H
36	35	sseq2i 2642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y C_ (( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) <-> y C_ 0H)
37	34, 36	bitr2i 191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y C_ 0H <-> (y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
38	33, 37	syl5bbr 593	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. Atoms -> ((y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) <-> y = 0H))
39	38	biimpa 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. Atoms /\ (y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})))) -> y = 0H)
40	39	expr 418	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. Atoms /\ y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})) -> (y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})) -> y = 0H))
41	40	necon3ad 2037	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. Atoms /\ y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})) -> (y =/= 0H -> -. y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
42	31, 41	mpd 29	. . . . . . . . 9 |- ((y e. Atoms /\ y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})) -> -. y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})))
43	42	ex 402	. . . . . . . 8 |- (y e. Atoms -> (y C_ ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) -> -. y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
44	29, 43	syld 30	. . . . . . 7 |- (y e. Atoms -> (y C_ A -> -. y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
45		imnan 261	. . . . . . 7 |- ((y C_ A -> -. y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) <-> -. (y C_ A /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
46	44, 45	sylib 215	. . . . . 6 |- (y e. Atoms -> -. (y C_ A /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
47		ssin 2814	. . . . . . 7 |- ((y C_ A /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) <-> y C_ (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
48	47	notbii 204	. . . . . 6 |- (-. (y C_ A /\ y C_ (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) <-> -. y C_ (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
49	46, 48	sylib 215	. . . . 5 |- (y e. Atoms -> -. y C_ (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
50	49	nrex 2192	. . . 4 |- -. E.y e. Atoms y C_ (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})))
51	5	choccli 10818	. . . . . . 7 |- (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})) e. CH
52	6, 51	chincli 11016	. . . . . 6 |- (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) e. CH
53	52	hatomici 11931	. . . . 5 |- ((A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) =/= 0H -> E.y e. Atoms y C_ (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))))
54	53	necon1bi 2048	. . . 4 |- (-. E.y e. Atoms y C_ (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) -> (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) = 0H)
55	50, 54	ax-mp 7	. . 3 |- (A i^i (_|_` ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}))) = 0H
56	5, 7, 21, 55	omlsii 10878	. 2 |- ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A}) = A
57	56	eqcomi 1888	1 |- A = ( \/H ` {x e. Atoms | x C_ A})

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106  {crab 2108   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  CHcch 10430  _|_cort 10431   \/H chsup 10435  0Hc0h 10436  Atomscat 10465

This theorem is referenced by:  chpssati 11935

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-span 10907  df-chsup 10909  df-cv 11851  df-at 11910

Copyright terms: Public domain