HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hatomistici Structured version   Unicode version

Theorem hatomistici 27850
Description:  CH is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Remark in [Kalmbach] p. 140. (Contributed by NM, 14-Aug-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
hatomistic.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
hatomistici  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem hatomistici
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3552 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ HAtoms
2 atssch 27831 . . . . 5  |- HAtoms  C_  CH
31, 2sstri 3479 . . . 4  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH
4 chsupcl 26828 . . . 4  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  CH )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  CH
6 hatomistic.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
76chshii 26715 . . 3  |-  A  e.  SH
8 atelch 27832 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  e.  CH )
98anim1i 570 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  (
y  e.  CH  /\  y  C_  A ) )
10 sseq1 3491 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
1110elrab 3235 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A ) )
1210elrab 3235 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  <->  ( y  e. 
CH  /\  y  C_  A ) )
139, 11, 123imtr4i 269 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  e.  { x  e.  CH  |  x  C_  A } )
1413ssriv 3474 . . . . 5  |-  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }
15 ssrab2 3552 . . . . . 6  |-  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  C_  CH
16 chsupss 26830 . . . . . 6  |-  ( ( { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  CH 
/\  { x  e. 
CH  |  x  C_  A }  C_  CH )  ->  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
{ x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  C_  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
) ) )
173, 15, 16mp2an 676 . . . . 5  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  CH  |  x  C_  A }  ->  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } ) )
1814, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  (  \/H  `  {
x  e.  CH  |  x  C_  A } )
19 chsupid 26900 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  ->  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A )
206, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  (  \/H  `  { x  e.  CH  |  x  C_  A }
)  =  A
2118, 20sseqtri 3502 . . 3  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) 
C_  A
22 elssuni 4251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  y  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
2311, 22sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_ 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)
24 chsupunss 26832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  CH  ->  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
2623, 25syl6ss 3482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  A )  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
2726ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
28 atne0 27833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e. HAtoms  ->  y  =/=  0H )
2928adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
y  =/=  0H )
30 ssin 3690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  y  C_  (
(  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
315chocini 26942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
\/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =  0H
3231sseq2i 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  0H )
3330, 32bitr2i 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  0H  <->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
34 chle0 26931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CH  ->  (
y  C_  0H  <->  y  =  0H ) )
358, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  0H 
<->  y  =  0H ) )
3633, 35syl5bbr 262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( ( y 
C_  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  =  0H ) )
3736biimpa 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  (
y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )  ->  y  =  0H )
3837expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  y  =  0H ) )
3938necon3ad 2641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  -> 
( y  =/=  0H  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4029, 39mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e. HAtoms  /\  y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
4140ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
4227, 41syld 45 . . . . . . 7  |-  ( y  e. HAtoms  ->  ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
43 imnan 423 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  A  ->  -.  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  <->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4442, 43sylib 199 . . . . . 6  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) ) )
45 ssin 3690 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  A  /\  y  C_  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  <->  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4644, 45sylnib 305 . . . . 5  |-  ( y  e. HAtoms  ->  -.  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
4746nrex 2887 . . . 4  |-  -.  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )
485choccli 26795 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )  e.  CH
496, 48chincli 26948 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  e.  CH
5049hatomici 27847 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  =/=  0H  ->  E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) ) )
5150necon1bi 2664 . . . 4  |-  ( -. 
E. y  e. HAtoms  y  C_  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )  ->  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H )
5247, 51ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) ) )  =  0H
535, 7, 21, 52omlsii 26891 . 2  |-  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  =  A
5453eqcomi 2442 1  |-  A  =  (  \/H  `  { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783   {crab 2786    i^i cin 3441    C_ wss 3442   U.cuni 4222   ` cfv 5601   CHcch 26417   _|_cort 26418    \/H chsup 26422   0Hc0h 26423  HAtomscat 26453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573  ax-hcompl 26690
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-ssp 26206  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-hlim 26460  df-hcau 26461  df-sh 26695  df-ch 26709  df-oc 26740  df-ch0 26741  df-span 26797  df-chsup 26799  df-cv 27767  df-at 27826
This theorem is referenced by:  chpssati  27851
  Copyright terms: Public domain W3C validator