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Theorem hashxplem 12495
Description: Lemma for hashxp 12496. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1  |-  B  e. 
Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 5022 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5876 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( x  X.  B
) )  =  (
# `  ( (/)  X.  B
) ) )
3 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
43oveq1d 6311 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) ) )
52, 4eqeq12d 2479 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
6 xpeq1 5022 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5876 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  (
y  X.  B ) ) )
8 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
98oveq1d 6311 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2479 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
11 xpeq1 5022 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5876 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  X.  B ) )  =  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) ) )
13 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
1413oveq1d 6311 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2479 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
16 xpeq1 5022 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5876 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  ( A  X.  B ) ) )
18 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
1918oveq1d 6311 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2479 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
21 hashxplem.1 . . . 4  |-  B  e. 
Fin
22 hashcl 12431 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
2322nn0cnd 10875 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  CC )
2423mul02d 9795 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( # `  B ) )  =  0 )
2521, 24ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0  x.  ( # `  B
) )  =  0
26 hash0 12440 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2726oveq1i 6306 . . 3  |-  ( (
# `  (/) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( 0  x.  ( # `  B ) )
28 0xp 5089 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2928fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  (
# `  (/) )
3029, 26eqtri 2486 . . 3  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  0
3125, 27, 303eqtr4ri 2497 . 2  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) )
32 oveq1 6303 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
3332adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
34 xpundir 5062 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) )  =  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )
36 xpfi 7809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3721, 36mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin )
38 inxp 5145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
39 disjsn 4092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4039biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140xpeq1d 5031 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
42 0xp 5089 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
4438, 43syl5eq 2510 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
45 snfi 7615 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
46 xpfi 7809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4745, 21, 46mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  e.  Fin
48 hashun 12453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
4947, 48mp3an2 1312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5037, 44, 49syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
51 snex 4697 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  _V
5221elexi 3119 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
5351, 52xpcomen 7627 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  ( B  X.  { z } )
54 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
5552, 54xpsnen 7620 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { z } )  ~~  B
5653, 55entri 7588 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  B
57 hashen 12423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
5847, 21, 57mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
)
5956, 58mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( # `  B
)
6059oveq2i 6307 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)
6150, 60syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6235, 61syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6362adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
64 hashunsng 12463 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6665oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B ) ) )
67 hashcl 12431 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6867nn0cnd 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e.  CC )
69 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
70 nn0cn 10826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  B )  e.  CC
72 adddir 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( # `
 B )  e.  CC )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7369, 71, 72mp3an23 1316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  y )  e.  CC  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7468, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7571mulid2i 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  ( # `  B
) )  =  (
# `  B )
7675oveq2i 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) )
7774, 76syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7877adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7966, 78eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8079adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8133, 63, 803eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
8281ex 434 . 2  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( # `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 7779 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470   (/)c0 3793   {csn 4032   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   NN0cn0 10816   #chash 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409
This theorem is referenced by:  hashxp  12496
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