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Theorem hashxplem 12602
Description: Lemma for hashxp 12603. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1  |-  B  e. 
Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4863 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5881 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( x  X.  B
) )  =  (
# `  ( (/)  X.  B
) ) )
3 fveq2 5877 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
43oveq1d 6316 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) ) )
52, 4eqeq12d 2444 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
6 xpeq1 4863 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5881 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  (
y  X.  B ) ) )
8 fveq2 5877 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
98oveq1d 6316 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2444 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
11 xpeq1 4863 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5881 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  X.  B ) )  =  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) ) )
13 fveq2 5877 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
1413oveq1d 6316 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2444 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
16 xpeq1 4863 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5881 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  ( A  X.  B ) ) )
18 fveq2 5877 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
1918oveq1d 6316 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2444 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
21 hashxplem.1 . . . 4  |-  B  e. 
Fin
22 hashcl 12537 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
2322nn0cnd 10927 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  CC )
2423mul02d 9831 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( # `  B ) )  =  0 )
2521, 24ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0  x.  ( # `  B
) )  =  0
26 hash0 12547 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2726oveq1i 6311 . . 3  |-  ( (
# `  (/) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( 0  x.  ( # `  B ) )
28 0xp 4930 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2928fveq2i 5880 . . . 4  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  (
# `  (/) )
3029, 26eqtri 2451 . . 3  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  0
3125, 27, 303eqtr4ri 2462 . 2  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) )
32 oveq1 6308 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
3332adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
34 xpundir 4903 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5880 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) )  =  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )
36 xpfi 7844 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3721, 36mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin )
38 inxp 4982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
39 disjsn 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4039biimpri 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140xpeq1d 4872 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
42 0xp 4930 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
4438, 43syl5eq 2475 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
45 snfi 7653 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
46 xpfi 7844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4745, 21, 46mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  e.  Fin
48 hashun 12560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
4947, 48mp3an2 1348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5037, 44, 49syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
51 snex 4658 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  _V
5221elexi 3091 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
5351, 52xpcomen 7665 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  ( B  X.  { z } )
54 vex 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
5552, 54xpsnen 7658 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { z } )  ~~  B
5653, 55entri 7626 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  B
57 hashen 12529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
5847, 21, 57mp2an 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
)
5956, 58mpbir 212 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( # `  B
)
6059oveq2i 6312 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)
6150, 60syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6235, 61syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6362adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
64 hashunsng 12570 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6665oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B ) ) )
67 hashcl 12537 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6867nn0cnd 10927 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e.  CC )
69 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
70 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  B )  e.  CC
72 adddir 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( # `
 B )  e.  CC )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7369, 71, 72mp3an23 1352 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  y )  e.  CC  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7468, 73syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7571mulid2i 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  ( # `  B
) )  =  (
# `  B )
7675oveq2i 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) )
7774, 76syl6eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7877adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7966, 78eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8079adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8133, 63, 803eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
8281ex 435 . 2  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( # `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 7814 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    u. cun 3434    i^i cin 3435   (/)c0 3761   {csn 3996   class class class wbr 4420    X. cxp 4847   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    ~~ cen 7570   Fincfn 7573   CCcc 9537   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   NN0cn0 10869   #chash 12514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12515
This theorem is referenced by:  hashxp  12603
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