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Theorem hashxplem 12194
Description: Lemma for hashxp 12195. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
hashxplem.1  |-  B  e. 
Fin
Assertion
Ref Expression
hashxplem  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )

Proof of Theorem hashxplem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq1 4853 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  X.  B )  =  ( (/)  X.  B
) )
21fveq2d 5694 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( x  X.  B
) )  =  (
# `  ( (/)  X.  B
) ) )
3 fveq2 5690 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
43oveq1d 6105 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) ) )
52, 4eqeq12d 2456 . 2  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  ( (/) 
X.  B ) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
6 xpeq1 4853 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  X.  B )  =  ( y  X.  B ) )
76fveq2d 5694 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  (
y  X.  B ) ) )
8 fveq2 5690 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
98oveq1d 6105 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2456 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
11 xpeq1 4853 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  X.  B )  =  ( ( y  u.  {
z } )  X.  B ) )
1211fveq2d 5694 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  X.  B ) )  =  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) ) )
13 fveq2 5690 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
z } ) ) )
1413oveq1d 6105 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
1512, 14eqeq12d 2456 . 2  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  ( x  X.  B
) )  =  ( ( # `  x
)  x.  ( # `  B ) )  <->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
16 xpeq1 4853 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  X.  B )  =  ( A  X.  B ) )
1716fveq2d 5694 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( x  X.  B ) )  =  ( # `  ( A  X.  B ) ) )
18 fveq2 5690 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  A
) )
1918oveq1d 6105 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  x )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
2017, 19eqeq12d 2456 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  ( x  X.  B ) )  =  ( ( # `  x )  x.  ( # `
 B ) )  <-> 
( # `  ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A )  x.  ( # `
 B ) ) ) )
21 hashxplem.1 . . . 4  |-  B  e. 
Fin
22 hashcl 12125 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
2322nn0cnd 10637 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e.  CC )
2423mul02d 9566 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
0  x.  ( # `  B ) )  =  0 )
2521, 24ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0  x.  ( # `  B
) )  =  0
26 hash0 12134 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2726oveq1i 6100 . . 3  |-  ( (
# `  (/) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( 0  x.  ( # `  B ) )
28 0xp 4916 . . . . 5  |-  ( (/)  X.  B )  =  (/)
2928fveq2i 5693 . . . 4  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  (
# `  (/) )
3029, 26eqtri 2462 . . 3  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  0
3125, 27, 303eqtr4ri 2473 . 2  |-  ( # `  ( (/)  X.  B
) )  =  ( ( # `  (/) )  x.  ( # `  B
) )
32 oveq1 6097 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
3332adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
34 xpundir 4891 . . . . . . 7  |-  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
)  =  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) )
3534fveq2i 5693 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( y  u. 
{ z } )  X.  B ) )  =  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )
36 xpfi 7582 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( y  X.  B
)  e.  Fin )
3721, 36mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
y  X.  B )  e.  Fin )
38 inxp 4971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  ( ( y  i^i  { z } )  X.  ( B  i^i  B ) )
39 disjsn 3935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4039biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140xpeq1d 4862 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (
(/)  X.  ( B  i^i  B ) ) )
42 0xp 4916 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  X.  ( B  i^i  B
) )  =  (/)
4341, 42syl6eq 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  i^i 
{ z } )  X.  ( B  i^i  B ) )  =  (/) )
4438, 43syl5eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )
45 snfi 7389 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  e.  Fin
46 xpfi 7582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z }  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( { z }  X.  B )  e.  Fin )
4745, 21, 46mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  e.  Fin
48 hashun 12144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( { z }  X.  B )  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
4947, 48mp3an2 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  X.  B
)  e.  Fin  /\  ( ( y  X.  B )  i^i  ( { z }  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( y  X.  B )  u.  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  ( {
z }  X.  B
) ) ) )
5037, 44, 49syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) ) )
51 snex 4532 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  e.  _V
5221elexi 2981 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
5351, 52xpcomen 7401 . . . . . . . . . 10  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  ( B  X.  { z } )
54 vex 2974 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
5552, 54xpsnen 7394 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  X.  { z } )  ~~  B
5653, 55entri 7362 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  X.  B
)  ~~  B
57 hashen 12117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { z }  X.  B )  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
) )
5847, 21, 57mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
z }  X.  B
) )  =  (
# `  B )  <->  ( { z }  X.  B )  ~~  B
)
5956, 58mpbir 209 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { z }  X.  B ) )  =  ( # `  B
)
6059oveq2i 6101 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( y  X.  B ) )  +  ( # `  ( { z }  X.  B ) ) )  =  ( ( # `  ( y  X.  B
) )  +  (
# `  B )
)
6150, 60syl6eq 2490 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  X.  B
)  u.  ( { z }  X.  B
) ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6235, 61syl5eq 2486 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
6362adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  X.  B ) )  +  ( # `  B ) ) )
64 hashunsng 12153 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
6554, 64ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
6665oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B ) ) )
67 hashcl 12125 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
6867nn0cnd 10637 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e.  CC )
69 ax-1cn 9339 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
70 nn0cn 10588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
7121, 22, 70mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  B )  e.  CC
72 adddir 9376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( # `
 B )  e.  CC )  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7369, 71, 72mp3an23 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  y )  e.  CC  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7468, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) ) )
7571mulid2i 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  ( # `  B
) )  =  (
# `  B )
7675oveq2i 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( 1  x.  ( # `
 B ) ) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) )
7774, 76syl6eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( # `  y
)  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7877adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( # `  y )  +  1 )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
7966, 78eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  u. 
{ z } ) )  x.  ( # `  B ) )  =  ( ( ( # `  y )  x.  ( # `
 B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8079adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( ( # `  ( y  u.  {
z } ) )  x.  ( # `  B
) )  =  ( ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  +  ( # `  B
) ) )
8133, 63, 803eqtr4d 2484 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( # `  ( y  X.  B
) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) ) )  ->  ( # `  (
( y  u.  {
z } )  X.  B ) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) )
8281ex 434 . 2  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( # `
 ( y  X.  B ) )  =  ( ( # `  y
)  x.  ( # `  B ) )  -> 
( # `  ( ( y  u.  { z } )  X.  B
) )  =  ( ( # `  (
y  u.  { z } ) )  x.  ( # `  B
) ) ) )
835, 10, 15, 20, 31, 82findcard2s 7552 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  X.  B ) )  =  ( ( # `  A
)  x.  ( # `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2971    u. cun 3325    i^i cin 3326   (/)c0 3636   {csn 3876   class class class wbr 4291    X. cxp 4837   ` cfv 5417  (class class class)co 6090    ~~ cen 7306   Fincfn 7309   CCcc 9279   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    x. cmul 9286   NN0cn0 10578   #chash 12102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-hash 12103
This theorem is referenced by:  hashxp  12195
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