MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashwwlkext Structured version   Unicode version

Theorem hashwwlkext 24948
Description: Number of walks (as words) extended by an edge as sum over the prefixes. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlkextprop.x  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
wwlkextprop.y  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
Assertion
Ref Expression
hashwwlkext  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 { x  e.  X  |  E. y  e.  Y  ( (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  Y  ( # `  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) } ) )
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, P    w, V    y, E    x, N, y, w    y, P    y, X    y, Y    x, M, y    x, V, y    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    P( x)    E( x)    M( w)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem hashwwlkext
StepHypRef Expression
1 wwlkextprop.y . . 3  |-  Y  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( w `  0 )  =  P }
2 wwlknfi 24940 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  N )  e.  Fin )
3 ssrab2 3571 . . . 4  |-  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  C_  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)
4 ssfi 7733 . . . 4  |-  ( ( ( ( V WWalksN  E
) `  N )  e.  Fin  /\  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  C_  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  e.  Fin )
52, 3, 4sylancl 660 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  { w  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  |  ( w ` 
0 )  =  P }  e.  Fin )
61, 5syl5eqel 2546 . 2  |-  ( V  e.  Fin  ->  Y  e.  Fin )
7 wwlkextprop.x . . . . 5  |-  X  =  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )
8 wwlknfi 24940 . . . . 5  |-  ( V  e.  Fin  ->  (
( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
97, 8syl5eqel 2546 . . . 4  |-  ( V  e.  Fin  ->  X  e.  Fin )
10 rabfi 7737 . . . 4  |-  ( X  e.  Fin  ->  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  e.  Fin )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( V  e.  Fin  ->  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) }  e.  Fin )
1211adantr 463 . 2  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  y  e.  Y )  ->  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  (
y `  0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E ) }  e.  Fin )
137, 1disjxwwlkn 24947 . . 3  |- Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) }
1413a1i 11 . 2  |-  ( V  e.  Fin  -> Disj  y  e.  Y  { x  e.  X  |  ( ( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) } )
156, 12, 14hashrabrex 13719 1  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 { x  e.  X  |  E. y  e.  Y  ( (
x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y `  0
)  =  P  /\  { ( lastS  `  y ) ,  ( lastS  `  x ) }  e.  ran  E
) } )  = 
sum_ y  e.  Y  ( # `  { x  e.  X  |  (
( x substr  <. 0 ,  M >. )  =  y  /\  ( y ` 
0 )  =  P  /\  { ( lastS  `  y
) ,  ( lastS  `  x
) }  e.  ran  E ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   {cpr 4018   <.cop 4022  Disj wdisj 4410   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   #chash 12387   lastS clsw 12519   substr csubstr 12522   sum_csu 13590   WWalksN cwwlkn 24880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-word 12526  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-wwlk 24881  df-wwlkn 24882
This theorem is referenced by:  rusgranumwlks  25158
  Copyright terms: Public domain W3C validator