Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Unicode version

Theorem hashun3 12420
 Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 7751 . . . . . . 7
21adantl 466 . . . . . 6
3 simpl 457 . . . . . . 7
4 inss1 3718 . . . . . . 7
5 ssfi 7740 . . . . . . 7
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . 6
7 sslin 3724 . . . . . . . . 9
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8
9 incom 3691 . . . . . . . . 9
10 disjdif 3899 . . . . . . . . 9
119, 10eqtri 2496 . . . . . . . 8
12 sseq0 3817 . . . . . . . 8
138, 11, 12mp2an 672 . . . . . . 7
1413a1i 11 . . . . . 6
15 hashun 12418 . . . . . 6
162, 6, 14, 15syl3anc 1228 . . . . 5
17 incom 3691 . . . . . . . . 9
1817uneq2i 3655 . . . . . . . 8
19 uncom 3648 . . . . . . . 8
20 inundif 3905 . . . . . . . 8
2118, 19, 203eqtri 2500 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
2322fveq2d 5870 . . . . 5
2416, 23eqtr3d 2510 . . . 4
25 hashcl 12396 . . . . . . 7
2625adantl 466 . . . . . 6
2726nn0cnd 10854 . . . . 5
28 hashcl 12396 . . . . . . 7
296, 28syl 16 . . . . . 6
3029nn0cnd 10854 . . . . 5
31 hashcl 12396 . . . . . . 7
322, 31syl 16 . . . . . 6
3332nn0cnd 10854 . . . . 5
3427, 30, 33subadd2d 9949 . . . 4
3524, 34mpbird 232 . . 3
3635oveq2d 6300 . 2
37 hashcl 12396 . . . . 5
3837adantr 465 . . . 4
3938nn0cnd 10854 . . 3
4039, 27, 30addsubassd 9950 . 2
41 undif2 3903 . . . 4
4241fveq2i 5869 . . 3
4310a1i 11 . . . 4
44 hashun 12418 . . . 4
453, 2, 43, 44syl3anc 1228 . . 3
4642, 45syl5eqr 2522 . 2
4736, 40, 463eqtr4rd 2519 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cdif 3473   cun 3474   cin 3475   wss 3476  c0 3785  cfv 5588  (class class class)co 6284  cfn 7516   caddc 9495   cmin 9805  cn0 10795  chash 12373 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-hash 12374 This theorem is referenced by:  incexclem  13611
 Copyright terms: Public domain W3C validator