Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Unicode version

Theorem hashun3 12562
 Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 7805 . . . . . . 7
21adantl 467 . . . . . 6
3 simpl 458 . . . . . . 7
4 inss1 3682 . . . . . . 7
5 ssfi 7794 . . . . . . 7
63, 4, 5sylancl 666 . . . . . 6
7 sslin 3688 . . . . . . . . 9
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8
9 incom 3655 . . . . . . . . 9
10 disjdif 3867 . . . . . . . . 9
119, 10eqtri 2451 . . . . . . . 8
12 sseq0 3794 . . . . . . . 8
138, 11, 12mp2an 676 . . . . . . 7
1413a1i 11 . . . . . 6
15 hashun 12560 . . . . . 6
162, 6, 14, 15syl3anc 1264 . . . . 5
17 incom 3655 . . . . . . . . 9
1817uneq2i 3617 . . . . . . . 8
19 uncom 3610 . . . . . . . 8
20 inundif 3873 . . . . . . . 8
2118, 19, 203eqtri 2455 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
2322fveq2d 5881 . . . . 5
2416, 23eqtr3d 2465 . . . 4
25 hashcl 12537 . . . . . . 7
2625adantl 467 . . . . . 6
2726nn0cnd 10927 . . . . 5
28 hashcl 12537 . . . . . . 7
296, 28syl 17 . . . . . 6
3029nn0cnd 10927 . . . . 5
31 hashcl 12537 . . . . . . 7
322, 31syl 17 . . . . . 6
3332nn0cnd 10927 . . . . 5
3427, 30, 33subadd2d 10005 . . . 4
3524, 34mpbird 235 . . 3
3635oveq2d 6317 . 2
37 hashcl 12537 . . . . 5
3837adantr 466 . . . 4
3938nn0cnd 10927 . . 3
4039, 27, 30addsubassd 10006 . 2
41 undif2 3871 . . . 4
4241fveq2i 5880 . . 3
4310a1i 11 . . . 4
44 hashun 12560 . . . 4
453, 2, 43, 44syl3anc 1264 . . 3
4642, 45syl5eqr 2477 . 2
4736, 40, 463eqtr4rd 2474 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1868   cdif 3433   cun 3434   cin 3435   wss 3436  c0 3761  cfv 5597  (class class class)co 6301  cfn 7573   caddc 9542   cmin 9860  cn0 10869  chash 12514 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-hash 12515 This theorem is referenced by:  incexclem  13879
 Copyright terms: Public domain W3C validator