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Theorem hashun3 12168
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 7564 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
21adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  e.  Fin )
3 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
4 inss1 3591 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
5 ssfi 7554 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B ) 
C_  A )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  Fin )
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B
)  e.  Fin )
7 sslin 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
C_  A  ->  (
( B  \  A
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  ( ( B  \  A )  i^i  A
) )
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) )  C_  (
( B  \  A
)  i^i  A )
9 incom 3564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  \  A )  i^i  A )  =  ( A  i^i  ( B  \  A ) )
10 disjdif 3772 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
119, 10eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  i^i  A )  =  (/)
12 sseq0 3690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) ) 
C_  ( ( B 
\  A )  i^i 
A )  /\  (
( B  \  A
)  i^i  A )  =  (/) )  ->  (
( B  \  A
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )
138, 11, 12mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/)
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( B  \  A )  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )
15 hashun 12166 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  e.  Fin  /\  (
( B  \  A
)  i^i  ( A  i^i  B ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( (
# `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )
162, 6, 14, 15syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( B  \  A
)  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( (
# `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )
17 incom 3564 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
1817uneq2i 3528 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( B  \  A
)  u.  ( B  i^i  A ) )
19 uncom 3521 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  ( ( B  i^i  A
)  u.  ( B 
\  A ) )
20 inundif 3778 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
2118, 19, 203eqtri 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  B
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( B  \  A )  u.  ( A  i^i  B ) )  =  B )
2322fveq2d 5716 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( B  \  A
)  u.  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  B ) )
2416, 23eqtr3d 2477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  B ) )
25 hashcl 12147 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
2726nn0cnd 10659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
28 hashcl 12147 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( A  i^i  B ) )  e.  NN0 )
296, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  i^i  B ) )  e.  NN0 )
3029nn0cnd 10659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  i^i  B ) )  e.  CC )
31 hashcl 12147 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( B  \  A ) )  e. 
NN0 )
322, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  NN0 )
3332nn0cnd 10659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  CC )
3427, 30, 33subadd2d 9759 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  ( B  \  A ) )  <-> 
( ( # `  ( B  \  A ) )  +  ( # `  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( # `  B ) ) )
3524, 34mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( # `  ( B  \  A ) ) )
3635oveq2d 6128 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( B  \  A
) ) ) )
37 hashcl 12147 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
3837adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
3938nn0cnd 10659 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  CC )
4039, 27, 30addsubassd 9760 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
)  -  ( # `  ( A  i^i  B
) ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( (
# `  B )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) ) )
41 undif2 3776 . . . 4  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
4241fveq2i 5715 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( # `  ( A  u.  B
) )
4310a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )
44 hashun 12166 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
453, 2, 43, 44syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
4642, 45syl5eqr 2489 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
4736, 40, 463eqtr4rd 2486 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) )  -  ( # `  ( A  i^i  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331    + caddc 9306    - cmin 9616   NN0cn0 10600   #chash 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-hash 12125
This theorem is referenced by:  incexclem  13320
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