MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun2 Structured version   Unicode version

Theorem hashun2 12406
Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 3896 . . . 4  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
21fveq2i 5860 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( # `  ( A  u.  B
) )
3 diffi 7740 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
4 disjdif 3892 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
5 hashun 12405 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
64, 5mp3an3 1308 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
73, 6sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
82, 7syl5eqr 2515 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
93adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  e.  Fin )
10 hashcl 12383 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( B  \  A ) )  e. 
NN0 )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  NN0 )
1211nn0red 10842 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  RR )
13 hashcl 12383 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1413adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
1514nn0red 10842 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
16 hashcl 12383 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0red 10842 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
19 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
20 difss 3624 . . . . 5  |-  ( B 
\  A )  C_  B
21 ssdomg 7551 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  \  A
)  C_  B  ->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2219, 20, 21mpisyl 18 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  ~<_  B )
23 hashdom 12402 . . . . 5  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
249, 23sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2522, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
) )
2612, 15, 18, 25leadd2dd 10156 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( B  \  A
) ) )  <_ 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
278, 26eqbrtrd 4460 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3466    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ~<_ cdom 7504   Fincfn 7506    + caddc 9484    <_ cle 9618   NN0cn0 10784   #chash 12360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361
This theorem is referenced by:  hashunlei  12435  hashfun  12448  prmreclem4  14285  fta1glem2  22295  fta1lem  22430  vieta1lem2  22434
  Copyright terms: Public domain W3C validator