MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun2 Structured version   Unicode version

Theorem hashun2 12499
Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 3848 . . . 4  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
21fveq2i 5852 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( # `  ( A  u.  B
) )
3 diffi 7786 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
4 disjdif 3844 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
5 hashun 12498 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
64, 5mp3an3 1315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
73, 6sylan2 472 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
82, 7syl5eqr 2457 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
93adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  e.  Fin )
10 hashcl 12475 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( B  \  A ) )  e. 
NN0 )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  NN0 )
1211nn0red 10894 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  RR )
13 hashcl 12475 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1413adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
1514nn0red 10894 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
16 hashcl 12475 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
1716adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0red 10894 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
19 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
20 difss 3570 . . . . 5  |-  ( B 
\  A )  C_  B
21 ssdomg 7599 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  \  A
)  C_  B  ->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2219, 20, 21mpisyl 21 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  ~<_  B )
23 hashdom 12495 . . . . 5  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
249, 23sylancom 665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2522, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
) )
2612, 15, 18, 25leadd2dd 10207 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( B  \  A
) ) )  <_ 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
278, 26eqbrtrd 4415 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    \ cdif 3411    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ~<_ cdom 7552   Fincfn 7554    + caddc 9525    <_ cle 9659   NN0cn0 10836   #chash 12452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-hash 12453
This theorem is referenced by:  hashunlei  12532  hashfun  12544  prmreclem4  14646  fta1glem2  22859  fta1lem  22995  vieta1lem2  22999
  Copyright terms: Public domain W3C validator