MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun2 Structured version   Unicode version

Theorem hashun2 12129
Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 3743 . . . 4  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
21fveq2i 5682 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( # `  ( A  u.  B
) )
3 diffi 7531 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  A )  e. 
Fin )
4 disjdif 3739 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/)
5 hashun 12128 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin  /\  ( A  i^i  ( B  \  A ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
64, 5mp3an3 1296 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( B  \  A )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
73, 6sylan2 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( B  \  A ) ) ) )
82, 7syl5eqr 2479 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
# `  A )  +  ( # `  ( B  \  A ) ) ) )
93adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  e.  Fin )
10 hashcl 12109 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( B  \  A ) )  e. 
NN0 )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  NN0 )
1211nn0red 10624 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  e.  RR )
13 hashcl 12109 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1413adantl 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
1514nn0red 10624 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
16 hashcl 12109 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
1716adantr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
1817nn0red 10624 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
19 simpr 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
20 difss 3471 . . . . 5  |-  ( B 
\  A )  C_  B
21 ssdomg 7343 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( B  \  A
)  C_  B  ->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2219, 20, 21mpisyl 18 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  \  A
)  ~<_  B )
23 hashdom 12125 . . . . 5  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
249, 23sylancom 660 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
)  <->  ( B  \  A )  ~<_  B ) )
2522, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( B  \  A ) )  <_  ( # `  B
) )
2612, 15, 18, 25leadd2dd 9941 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( B  \  A
) ) )  <_ 
( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
278, 26eqbrtrd 4300 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  ( A  u.  B )
)  <_  ( ( # `
 A )  +  ( # `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ~<_ cdom 7296   Fincfn 7298    + caddc 9272    <_ cle 9406   NN0cn0 10566   #chash 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424  df-hash 12087
This theorem is referenced by:  hashunlei  12158  hashfun  12182  prmreclem4  13962  fta1glem2  21522  fta1lem  21657  vieta1lem2  21661
  Copyright terms: Public domain W3C validator