MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsslei Structured version   Unicode version

Theorem hashsslei 12582
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Transfer boundedness to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashsslei.b  |-  B  C_  A
hashsslei.a  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  N )
hashsslei.n  |-  N  e. 
NN0
Assertion
Ref Expression
hashsslei  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  N )

Proof of Theorem hashsslei
StepHypRef Expression
1 hashsslei.a . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  /\  ( # `
 A )  <_  N )
21simpli 459 . . 3  |-  A  e. 
Fin
3 hashsslei.b . . 3  |-  B  C_  A
4 ssfi 7789 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 676 . 2  |-  B  e. 
Fin
6 ssdomg 7613 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
72, 3, 6mp2 9 . . . 4  |-  B  ~<_  A
8 hashdom 12544 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
)
95, 2, 8mp2an 676 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
107, 9mpbir 212 . . 3  |-  ( # `  B )  <_  ( # `
 A )
111simpri 463 . . 3  |-  ( # `  A )  <_  N
12 hashcl 12524 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
135, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  B )  e.  NN0
1413nn0rei 10869 . . . 4  |-  ( # `  B )  e.  RR
15 hashcl 12524 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
162, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  A )  e.  NN0
1716nn0rei 10869 . . . 4  |-  ( # `  A )  e.  RR
18 hashsslei.n . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
1918nn0rei 10869 . . . 4  |-  N  e.  RR
2014, 17, 19letri 9752 . . 3  |-  ( ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  /\  ( # `  A
)  <_  N )  ->  ( # `  B
)  <_  N )
2110, 11, 20mp2an 676 . 2  |-  ( # `  B )  <_  N
225, 21pm3.2i 456 1  |-  ( B  e.  Fin  /\  ( # `
 B )  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1867    C_ wss 3433   class class class wbr 4417   ` cfv 5592    ~<_ cdom 7566   Fincfn 7568    <_ cle 9665   NN0cn0 10858   #chash 12501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-hash 12502
This theorem is referenced by:  kur14lem9  29766
  Copyright terms: Public domain W3C validator