MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashss Structured version   Unicode version

Theorem hashss 12478
Description: The size of a subset is less then or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashss  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( # `  B )  <_  ( # `  A
) )

Proof of Theorem hashss
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7580 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21com12 31 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  B  ~<_  A ) )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( A  e.  Fin  ->  B  ~<_  A ) )
43impcom 430 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  B  ~<_  A )
5 ssfi 7759 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
65adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
7 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  A  e.  Fin )
8 hashdom 12450 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
)
96, 7, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  ( ( # `
 B )  <_ 
( # `  A )  <-> 
B  ~<_  A ) )
104, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) )
1110ex 434 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
12 hashinf 12413 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
13 ssexg 4602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
15 hashxrcl 12432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  _V  ->  ( # `
 B )  e. 
RR* )
16 pnfge 11364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  RR*  ->  ( # `  B
)  <_ +oo )
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( # `  B )  <_ +oo )
1817ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `
 B )  <_ +oo ) )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  A
)  = +oo  /\  A  e.  V )  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_ +oo )
)
20 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( ( # `
 B )  <_ 
( # `  A )  <-> 
( # `  B )  <_ +oo ) )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  A
)  = +oo  /\  A  e.  V )  ->  ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  <->  ( # `  B
)  <_ +oo )
)
2219, 21sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  = +oo  /\  A  e.  V )  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2322expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  = +oo  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `
 B )  <_ 
( # `  A ) ) ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  = +oo  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) ) )
2512, 24mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2625impancom 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2726com12 31 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2811, 27pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( # `  B )  <_  ( # `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   ` cfv 5594    ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    <_ cle 9646   #chash 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409
This theorem is referenced by:  isnzr2hash  18039  nehash2  24025  nbhashuvtx1  25042  hashssle  31700  fourierdlem102  32194  fourierdlem114  32206
  Copyright terms: Public domain W3C validator