MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashss Structured version   Unicode version

Theorem hashss 12270
Description: The size of a subset is less then or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashss  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( # `  B )  <_  ( # `  A
) )

Proof of Theorem hashss
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7457 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( B  C_  A  ->  B  ~<_  A ) )
21com12 31 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A  e.  Fin  ->  B  ~<_  A ) )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( A  e.  Fin  ->  B  ~<_  A ) )
43impcom 430 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  B  ~<_  A )
5 ssfi 7636 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
65adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
7 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  A  e.  Fin )
8 hashdom 12246 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  <->  B  ~<_  A )
)
96, 7, 8syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  ( ( # `
 B )  <_ 
( # `  A )  <-> 
B  ~<_  A ) )
104, 9mpbird 232 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  e.  V  /\  B  C_  A ) )  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) )
1110ex 434 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
12 hashinf 12211 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
13 ssexg 4538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  B  e.  _V )
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
15 hashxrcl 12230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  _V  ->  ( # `
 B )  e. 
RR* )
16 pnfge 11213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  RR*  ->  ( # `  B
)  <_ +oo )
1714, 15, 163syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( # `  B )  <_ +oo )
1817ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `
 B )  <_ +oo ) )
1918adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  A
)  = +oo  /\  A  e.  V )  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_ +oo )
)
20 breq2 4396 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( ( # `
 B )  <_ 
( # `  A )  <-> 
( # `  B )  <_ +oo ) )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  A
)  = +oo  /\  A  e.  V )  ->  ( ( # `  B
)  <_  ( # `  A
)  <->  ( # `  B
)  <_ +oo )
)
2219, 21sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  = +oo  /\  A  e.  V )  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2322expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  = +oo  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `
 B )  <_ 
( # `  A ) ) ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A )  = +oo  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) ) )
2512, 24mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( B  C_  A  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2625impancom 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( -.  A  e. 
Fin  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2726com12 31 . 2  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  ->  ( # `  B
)  <_  ( # `  A
) ) )
2811, 27pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  C_  A )  -> 
( # `  B )  <_  ( # `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    C_ wss 3428   class class class wbr 4392   ` cfv 5518    ~<_ cdom 7410   Fincfn 7412   +oocpnf 9518   RR*cxr 9520    <_ cle 9522   #chash 12206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-hash 12207
This theorem is referenced by:  nehash2  23081  nbhashuvtx1  30673  isnzr2hash  30914
  Copyright terms: Public domain W3C validator