MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Unicode version

Theorem hashsng 12132
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 10672 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 en2sn 7385 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  1  e.  ZZ )  ->  { A }  ~~  { 1 } )
31, 2mpan2 666 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  { 1 } )
4 snfi 7386 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
5 snfi 7386 . . . 4  |-  { 1 }  e.  Fin
6 hashen 12114 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { 1 }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } ) )
74, 5, 6mp2an 667 . . 3  |-  ( (
# `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } )
83, 7sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  ( # `  { 1 } ) )
9 1nn0 10591 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
10 hashfz1 12113 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1 )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1
12 fzsn 11496 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1312fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 ( 1 ... 1 ) )  =  ( # `  {
1 } ) )
1411, 13syl5reqr 2488 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
151, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
168, 15syl6eq 2489 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1761   {csn 3874   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ~~ cen 7303   Fincfn 7306   1c1 9279   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ...cfz 11433   #chash 12099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12133  hashunsng  12150  hashprg  12151  elprchashprn2  12152  hashdifsn  12165  hashsnlei  12166  hash1snb  12167  hash2prde  12175  hash2pwpr  12178  hashge2el2dif  12180  hashmap  12193  hashfun  12195  hashbclem  12201  hashbc  12202  hashf1  12206  brfi1indlem  12214  s1len  12292  ackbijnn  13287  phicl2  13839  dfphi2  13845  vdwlem8  14045  ramcl  14086  cshwshashnsame  14126  symg1hash  15893  pgp0  16088  odcau  16096  sylow2a  16111  sylow3lem6  16124  prmcyg  16363  gsumsn  16441  gsumsnd  16442  ablfac1eulem  16563  ablfac1eu  16564  pgpfaclem2  16573  fta1glem2  21581  fta1blem  21583  fta1lem  21716  vieta1lem2  21720  vieta1  21721  vmappw  22397  usgraedgprv  23214  usgra1v  23227  uvtxnm1nbgra  23321  constr1trl  23406  1pthonlem1  23407  1pthonlem2  23408  1pthon  23409  vdgr1d  23492  vdgr1b  23493  gsumsn2  26160  gsumsnf  26163  esumcst  26434  cntnevol  26562  coinflippv  26780  ccatmulgnn0dir  26854  ofcccat  26856  derang0  26971  hashrabsn01  30141  rusgranumwlkb0  30480  usgreghash2spotv  30568  hashen1  30645  gsumsndf  30663  rng1nnzr  30850
  Copyright terms: Public domain W3C validator