MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Unicode version

Theorem hashsng 12393
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 10883 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 en2sn 7585 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  1  e.  ZZ )  ->  { A }  ~~  { 1 } )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  { 1 } )
4 snfi 7586 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
5 snfi 7586 . . . 4  |-  { 1 }  e.  Fin
6 hashen 12375 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { 1 }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } )
83, 7sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  ( # `  { 1 } ) )
9 1nn0 10800 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
10 hashfz1 12374 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1 )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1
12 fzsn 11714 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1312fveq2d 5861 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 ( 1 ... 1 ) )  =  ( # `  {
1 } ) )
1411, 13syl5reqr 2516 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
151, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
168, 15syl6eq 2517 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   {csn 4020   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ~~ cen 7503   Fincfn 7506   1c1 9482   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ...cfz 11661   #chash 12360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361
This theorem is referenced by:  hashen1  12394  hashrabrsn  12395  hashrabsn01  12396  hashunsng  12414  hashprg  12415  elprchashprn2  12416  hashdifsn  12429  hashsnlei  12430  hash1snb  12431  hashmap  12446  hashfun  12448  hashbclem  12454  hashbc  12455  hashf1  12459  hash2prde  12469  hash2pwpr  12472  hashge2el2dif  12474  brfi1indlem  12484  s1len  12567  ackbijnn  13592  phicl2  14146  dfphi2  14152  vdwlem8  14354  ramcl  14395  cshwshashnsame  14435  symg1hash  16208  pgp0  16405  odcau  16413  sylow2a  16428  sylow3lem6  16441  prmcyg  16680  gsumsnfd  16762  ablfac1eulem  16906  ablfac1eu  16907  pgpfaclem2  16916  fta1glem2  22295  fta1blem  22297  fta1lem  22430  vieta1lem2  22434  vieta1  22435  vmappw  23111  usgraedgprv  24038  usgra1v  24052  uvtxnm1nbgra  24156  constr1trl  24252  1pthonlem1  24253  1pthonlem2  24254  1pthon  24255  vdgr1d  24565  vdgr1b  24566  rusgranumwlkb0  24615  usgreghash2spotv  24729  gsumsn2  27418  esumcst  27697  cntnevol  27825  coinflippv  28048  ccatmulgnn0dir  28122  ofcccat  28124  derang0  28239  usgedgnlp  31812  gsumsndf  31893  rng1nnzr  32041
  Copyright terms: Public domain W3C validator