MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Unicode version

Theorem hashsng 12419
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 10901 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 en2sn 7597 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  1  e.  ZZ )  ->  { A }  ~~  { 1 } )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  { 1 } )
4 snfi 7598 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
5 snfi 7598 . . . 4  |-  { 1 }  e.  Fin
6 hashen 12401 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { 1 }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } )
83, 7sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  ( # `  { 1 } ) )
9 1nn0 10818 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
10 hashfz1 12400 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1 )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1
12 fzsn 11735 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1312fveq2d 5860 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 ( 1 ... 1 ) )  =  ( # `  {
1 } ) )
1411, 13syl5reqr 2499 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
151, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
168, 15syl6eq 2500 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   {csn 4014   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ~~ cen 7515   Fincfn 7518   1c1 9496   NN0cn0 10802   ZZcz 10871   ...cfz 11682   #chash 12386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-hash 12387
This theorem is referenced by:  hashen1  12420  hashrabrsn  12421  hashrabsn01  12422  hashunsng  12440  hashprg  12441  elprchashprn2  12442  hashdifsn  12458  hashsnlei  12459  hash1snb  12460  hashmap  12474  hashfun  12476  hashbclem  12482  hashbc  12483  hashf1  12487  hash2prde  12497  hash2pwpr  12500  hashge2el2dif  12502  brfi1indlem  12512  s1len  12598  ackbijnn  13621  phicl2  14279  dfphi2  14285  vdwlem8  14487  ramcl  14528  cshwshashnsame  14569  symg1hash  16398  pgp0  16594  odcau  16602  sylow2a  16617  sylow3lem6  16630  prmcyg  16874  gsumsnfd  16956  ablfac1eulem  17101  ablfac1eu  17102  pgpfaclem2  17111  0ring01eqbi  17899  rng1nnzr  17900  fta1glem2  22544  fta1blem  22546  fta1lem  22679  vieta1lem2  22683  vieta1  22684  vmappw  23366  usgraedgprv  24352  usgra1v  24366  uvtxnm1nbgra  24470  constr1trl  24566  1pthonlem1  24567  1pthonlem2  24568  1pthon  24569  vdgr1d  24879  vdgr1b  24880  rusgranumwlkb0  24929  usgreghash2spotv  25042  esumcst  28048  cntnevol  28176  coinflippv  28399  ccatmulgnn0dir  28473  ofcccat  28475  derang0  28590  usgedgnlp  32248
  Copyright terms: Public domain W3C validator