MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hashsng 12580
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 10995 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 en2sn 7674 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  1  e.  ZZ )  ->  { A }  ~~  { 1 } )
31, 2mpan2 682 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  { 1 } )
4 snfi 7675 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
5 snfi 7675 . . . 4  |-  { 1 }  e.  Fin
6 hashen 12561 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { 1 }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } ) )
74, 5, 6mp2an 683 . . 3  |-  ( (
# `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } )
83, 7sylibr 217 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  ( # `  { 1 } ) )
9 1nn0 10913 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
10 hashfz1 12560 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1 )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1
12 fzsn 11868 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1312fveq2d 5891 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 ( 1 ... 1 ) )  =  ( # `  {
1 } ) )
1411, 13syl5reqr 2510 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
151, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
168, 15syl6eq 2511 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1454    e. wcel 1897   {csn 3979   class class class wbr 4415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    ~~ cen 7591   Fincfn 7594   1c1 9565   NN0cn0 10897   ZZcz 10965   ...cfz 11812   #chash 12546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-hash 12547
This theorem is referenced by:  hashen1  12581  hashrabrsn  12582  hashrabsn01  12583  hashunsng  12602  hashprg  12603  elprchashprn2  12604  hashdifsn  12622  hashsnlei  12624  hash1snb  12625  hashmap  12639  hashfun  12641  hashbclem  12647  hashbc  12648  hashf1  12652  hash2prde  12663  hash2pwpr  12667  hashge2el2dif  12669  brfi1indlem  12681  s1len  12779  ackbijnn  13934  phicl2  14764  dfphi2  14770  vdwlem8  14986  ramcl  15035  cshwshashnsame  15122  symg1hash  17084  pgp0  17296  odcau  17304  sylow2a  17319  sylow3lem6  17332  prmcyg  17576  gsumsnfd  17632  ablfac1eulem  17753  ablfac1eu  17754  pgpfaclem2  17763  0ring01eqbi  18545  rng1nnzr  18546  fta1glem2  23165  fta1blem  23167  fta1lem  23308  vieta1lem2  23312  vieta1  23313  vmappw  24091  usgraedgprv  25151  usgra1v  25165  uvtxnm1nbgra  25270  constr1trl  25366  1pthonlem1  25367  1pthonlem2  25368  1pthon  25369  vdgr1d  25679  vdgr1b  25680  rusgranumwlkb0  25729  usgreghash2spotv  25842  esumcst  28932  cntnevol  29098  coinflippv  29364  ccatmulgnn0dir  29476  ofcccat  29478  derang0  29940  poimirlem25  32009  poimirlem26  32010  poimirlem27  32011  poimirlem28  32012  usgr1vr  39378  uvtxanm1nbgr  39526  lfgrwlkprop  39721  usgedgnlp  39994  0ringdif  40142  c0snmhm  40187
  Copyright terms: Public domain W3C validator