MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Unicode version

Theorem hashsng 12136
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 10676 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2 en2sn 7389 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  1  e.  ZZ )  ->  { A }  ~~  { 1 } )
31, 2mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  ~~  { 1 } )
4 snfi 7390 . . . 4  |-  { A }  e.  Fin
5 snfi 7390 . . . 4  |-  { 1 }  e.  Fin
6 hashen 12118 . . . 4  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { 1 }  e.  Fin )  -> 
( ( # `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } ) )
74, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# `  { A } )  =  (
# `  { 1 } )  <->  { A }  ~~  { 1 } )
83, 7sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  ( # `  { 1 } ) )
9 1nn0 10595 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
10 hashfz1 12117 . . . . 5  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1 )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( # `  ( 1 ... 1
) )  =  1
12 fzsn 11500 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
1312fveq2d 5695 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 ( 1 ... 1 ) )  =  ( # `  {
1 } ) )
1411, 13syl5reqr 2490 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( # `
 { 1 } )  =  1 )
151, 14ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  { 1 } )  =  1
168, 15syl6eq 2491 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3877   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ~~ cen 7307   Fincfn 7310   1c1 9283   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ...cfz 11437   #chash 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-hash 12104
This theorem is referenced by:  hashrabrsn  12137  hashunsng  12154  hashprg  12155  elprchashprn2  12156  hashdifsn  12169  hashsnlei  12170  hash1snb  12171  hash2prde  12179  hash2pwpr  12182  hashge2el2dif  12184  hashmap  12197  hashfun  12199  hashbclem  12205  hashbc  12206  hashf1  12210  brfi1indlem  12218  s1len  12296  ackbijnn  13291  phicl2  13843  dfphi2  13849  vdwlem8  14049  ramcl  14090  cshwshashnsame  14130  symg1hash  15900  pgp0  16095  odcau  16103  sylow2a  16118  sylow3lem6  16131  prmcyg  16370  gsumsn  16449  gsumsnd  16450  ablfac1eulem  16573  ablfac1eu  16574  pgpfaclem2  16583  fta1glem2  21638  fta1blem  21640  fta1lem  21773  vieta1lem2  21777  vieta1  21778  vmappw  22454  usgraedgprv  23295  usgra1v  23308  uvtxnm1nbgra  23402  constr1trl  23487  1pthonlem1  23488  1pthonlem2  23489  1pthon  23490  vdgr1d  23573  vdgr1b  23574  gsumsn2  26243  gsumsnf  26244  esumcst  26514  cntnevol  26642  coinflippv  26866  ccatmulgnn0dir  26940  ofcccat  26942  derang0  27057  hashrabsn01  30232  rusgranumwlkb0  30571  usgreghash2spotv  30659  hashen1  30737  gsumsndf  30763  rng1nnzr  31026
  Copyright terms: Public domain W3C validator