MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsdom Unicode version

Theorem hashsdom 11610
Description: Strict dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashsdom  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <  ( # `  B
)  <->  A  ~<  B ) )

Proof of Theorem hashsdom
StepHypRef Expression
1 hashcl 11594 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
2 hashcl 11594 . . . 4  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
3 nn0re 10186 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
4 nn0re 10186 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
5 ltlen 9131 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR )  -> 
( ( # `  A
)  <  ( # `  B
)  <->  ( ( # `  A )  <_  ( # `
 B )  /\  ( # `  B )  =/=  ( # `  A
) ) ) )
63, 4, 5syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  A
)  <  ( # `  B
)  <->  ( ( # `  A )  <_  ( # `
 B )  /\  ( # `  B )  =/=  ( # `  A
) ) ) )
71, 2, 6syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <  ( # `  B
)  <->  ( ( # `  A )  <_  ( # `
 B )  /\  ( # `  B )  =/=  ( # `  A
) ) ) )
8 hashdom 11608 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
9 eqcom 2406 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  =  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
10 hashen 11586 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  =  ( # `  B )  <->  A  ~~  B ) )
119, 10syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  =  ( # `  A )  <->  A  ~~  B ) )
1211necon3abid 2600 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  =/=  ( # `  A )  <->  -.  A  ~~  B ) )
138, 12anbi12d 692 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( ( # `  A )  <_  ( # `
 B )  /\  ( # `  B )  =/=  ( # `  A
) )  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  A  ~~  B ) ) )
147, 13bitrd 245 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <  ( # `  B
)  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  A  ~~  B ) ) )
15 brsdom 7089 . 2  |-  ( A 
~<  B  <->  ( A  ~<_  B  /\  -.  A  ~~  B ) )
1614, 15syl6bbr 255 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  A
)  <  ( # `  B
)  <->  A  ~<  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   Fincfn 7068   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077   NN0cn0 10177   #chash 11573
This theorem is referenced by:  fzsdom2  11648  vdwlem12  13315  odcau  15193  pgpssslw  15203  pgpfaclem2  15595  ppiltx  20913  erdszelem10  24839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574
  Copyright terms: Public domain W3C validator