MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashresfn Structured version   Unicode version

Theorem hashresfn 12522
Description: Restriction of the domain of the size function. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashresfn  |-  ( #  |`  A )  Fn  A

Proof of Theorem hashresfn
StepHypRef Expression
1 hashf 12521 . . 3  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2 ffn 5742 . . 3  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
3 fnresin2 5705 . . 3  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( #  |`  ( A  i^i  _V ) )  Fn  ( A  i^i  _V ) )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-  ( #  |`  ( A  i^i  _V ) )  Fn  ( A  i^i  _V )
5 inv1 3789 . . . 4  |-  ( A  i^i  _V )  =  A
65reseq2i 5117 . . 3  |-  ( #  |`  ( A  i^i  _V ) )  =  (
#  |`  A )
7 fneq12 5683 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  ( A  i^i  _V ) )  =  ( #  |`  A )  /\  ( A  i^i  _V )  =  A )  ->  ( ( #  |`  ( A  i^i  _V ) )  Fn  ( A  i^i  _V )  <->  ( #  |`  A )  Fn  A ) )
86, 5, 7mp2an 676 . 2  |-  ( (
#  |`  ( A  i^i  _V ) )  Fn  ( A  i^i  _V )  <->  ( #  |`  A )  Fn  A )
94, 8mpbi 211 1  |-  ( #  |`  A )  Fn  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    = wceq 1437   _Vcvv 3081    u. cun 3434    i^i cin 3435   {csn 3996    |` cres 4851    Fn wfn 5592   -->wf 5593   +oocpnf 9672   NN0cn0 10869   #chash 12514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-hash 12515
This theorem is referenced by:  hashgval2  12556  coinfliplem  29306  coinflipspace  29308
  Copyright terms: Public domain W3C validator