Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashrabsn1 Structured version   Unicode version

Theorem hashrabsn1 30245
Description: If the size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is 1, the condition of the class abstraction must hold for the singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashrabsn1  |-  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem hashrabsn1
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { x  e.  { A }  |  ph }
2 rabrsn 3957 . 2  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { x  e.  { A }  |  ph }  ->  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/)  \/  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } ) )
3 fveq2 5703 . . . . 5  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/) 
->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  =  ( # `  (/) ) )
43eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/) 
->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  <->  ( # `  (/) )  =  1 ) )
5 hash0 12147 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
65eqeq1i 2450 . . . . 5  |-  ( (
# `  (/) )  =  1  <->  0  =  1 )
7 0ne1 10401 . . . . . 6  |-  0  =/=  1
8 eqneqall 2717 . . . . . 6  |-  ( 0  =  1  ->  (
0  =/=  1  ->  [. A  /  x ]. ph ) )
97, 8mpi 17 . . . . 5  |-  ( 0  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
106, 9sylbi 195 . . . 4  |-  ( (
# `  (/) )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
114, 10syl6bi 228 . . 3  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/) 
->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
)
12 snidg 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { A } )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } )  ->  A  e.  { A } )
14 eleq2 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A }  ->  ( A  e.  { x  e.  { A }  |  ph }  <->  A  e.  { A } ) )
1514adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } )  -> 
( A  e.  {
x  e.  { A }  |  ph }  <->  A  e.  { A } ) )
1613, 15mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } )  ->  A  e.  { x  e.  { A }  |  ph } )
17 nfcv 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x { A }
1817elrabsf 3237 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  { x  e. 
{ A }  |  ph }  <->  ( A  e. 
{ A }  /\  [. A  /  x ]. ph ) )
1918simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x  e. 
{ A }  |  ph }  ->  [. A  /  x ]. ph )
2016, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } )  ->  [. A  /  x ]. ph )
2120a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } )  -> 
( ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
)
2221ex 434 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A }  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
23 snprc 3951 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
24 eqeq2 2452 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( { x  e. 
{ A }  |  ph }  =  { A } 
<->  { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/) ) )
25 ax-1ne0 9363 . . . . . . . . . 10  |-  1  =/=  0
26 eqneqall 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =  0  ->  (
1  =/=  0  ->  [. A  /  x ]. ph ) )
2725, 26mpi 17 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  =  0  ->  [. A  /  x ]. ph )
2827eqcoms 2446 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
296, 28sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  (/) )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
304, 29syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/) 
->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
)
3124, 30syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( { x  e. 
{ A }  |  ph }  =  { A }  ->  ( ( # `  { x  e.  { A }  |  ph }
)  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
3223, 31sylbi 195 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A }  ->  ( ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
) )
3322, 32pm2.61i 164 . . 3  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A }  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph ) )
3411, 33jaoi 379 . 2  |-  ( ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/)  \/  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } )  ->  (
( # `  { x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph ) )
351, 2, 34mp2b 10 1  |-  ( (
# `  { x  e.  { A }  |  ph } )  =  1  ->  [. A  /  x ]. ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   {crab 2731   _Vcvv 2984   [.wsbc 3198   (/)c0 3649   {csn 3889   ` cfv 5430   0cc0 9294   1c1 9295   #chash 12115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-hash 12116
This theorem is referenced by:  rusgrasn  30569
  Copyright terms: Public domain W3C validator