MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashrabrsn Structured version   Unicode version

Theorem hashrabrsn 12239
Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashrabrsn  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ph }
)  e.  NN0
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem hashrabrsn
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . 2  |-  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { x  e.  { A }  |  ph }
2 rabrsn 4043 . 2  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { x  e.  { A }  |  ph }  ->  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/)  \/  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } ) )
3 fveq2 5789 . . . 4  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/) 
->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  =  ( # `  (/) ) )
4 hash0 12236 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
5 0nn0 10695 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
64, 5eqeltri 2535 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  e.  NN0
73, 6syl6eqel 2547 . . 3  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/) 
->  ( # `  {
x  e.  { A }  |  ph } )  e.  NN0 )
8 fveq2 5789 . . . 4  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A }  ->  ( # `
 { x  e. 
{ A }  |  ph } )  =  (
# `  { A } ) )
9 hashsng 12237 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  =  1 )
10 1nn0 10696 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
119, 10syl6eqel 2547 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( # `
 { A }
)  e.  NN0 )
12 snprc 4037 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
13 fveq2 5789 . . . . . . 7  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( # `  { A } )  =  (
# `  (/) ) )
1413, 6syl6eqel 2547 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( # `  { A } )  e.  NN0 )
1512, 14sylbi 195 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
# `  { A } )  e.  NN0 )
1611, 15pm2.61i 164 . . . 4  |-  ( # `  { A } )  e.  NN0
178, 16syl6eqel 2547 . . 3  |-  ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A }  ->  ( # `
 { x  e. 
{ A }  |  ph } )  e.  NN0 )
187, 17jaoi 379 . 2  |-  ( ( { x  e.  { A }  |  ph }  =  (/)  \/  { x  e.  { A }  |  ph }  =  { A } )  ->  ( # `
 { x  e. 
{ A }  |  ph } )  e.  NN0 )
191, 2, 18mp2b 10 1  |-  ( # `  { x  e.  { A }  |  ph }
)  e.  NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    \/ wo 368    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3068   (/)c0 3735   {csn 3975   ` cfv 5516   0cc0 9383   1c1 9384   NN0cn0 10680   #chash 12204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-hash 12205
This theorem is referenced by:  vdgr1d  23708  vdgr1b  23709  vdgr1a  23711
  Copyright terms: Public domain W3C validator