MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashp1i Structured version   Unicode version

Theorem hashp1i 12455
Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1  |-  A  e. 
om
hashp1i.2  |-  B  =  suc  A
hashp1i.3  |-  ( # `  A )  =  M
hashp1i.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashp1i  |-  ( # `  B )  =  N

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4  |-  B  =  suc  A
2 df-suc 4873 . . . 4  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
31, 2eqtri 2483 . . 3  |-  B  =  ( A  u.  { A } )
43fveq2i 5851 . 2  |-  ( # `  B )  =  (
# `  ( A  u.  { A } ) )
5 hashp1i.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
6 nnfi 7703 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
8 nnord 6681 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
9 ordirr 4885 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
105, 8, 9mp2b 10 . . . 4  |-  -.  A  e.  A
11 hashunsng 12446 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
125, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
137, 10, 12mp2an 670 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 )
14 hashp1i.3 . . . . 5  |-  ( # `  A )  =  M
1514oveq1i 6280 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  ( M  +  1 )
16 hashp1i.4 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  =  N
1715, 16eqtri 2483 . . 3  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  N
1813, 17eqtri 2483 . 2  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  N
194, 18eqtri 2483 1  |-  ( # `  B )  =  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459   {csn 4016   Ord word 4866   suc csuc 4869   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   omcom 6673   Fincfn 7509   1c1 9482    + caddc 9484   #chash 12390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12391
This theorem is referenced by:  hash1  12456  hash2  12457  hash3  12458  hash4  12459
  Copyright terms: Public domain W3C validator