MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashp1i Structured version   Unicode version

Theorem hashp1i 12580
Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1  |-  A  e. 
om
hashp1i.2  |-  B  =  suc  A
hashp1i.3  |-  ( # `  A )  =  M
hashp1i.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashp1i  |-  ( # `  B )  =  N

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4  |-  B  =  suc  A
2 df-suc 5445 . . . 4  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
31, 2eqtri 2451 . . 3  |-  B  =  ( A  u.  { A } )
43fveq2i 5881 . 2  |-  ( # `  B )  =  (
# `  ( A  u.  { A } ) )
5 hashp1i.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
6 nnfi 7768 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
8 nnord 6711 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
9 ordirr 5457 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
105, 8, 9mp2b 10 . . . 4  |-  -.  A  e.  A
11 hashunsng 12571 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
125, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
137, 10, 12mp2an 676 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 )
14 hashp1i.3 . . . . 5  |-  ( # `  A )  =  M
1514oveq1i 6312 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  ( M  +  1 )
16 hashp1i.4 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  =  N
1715, 16eqtri 2451 . . 3  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  N
1813, 17eqtri 2451 . 2  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  N
194, 18eqtri 2451 1  |-  ( # `  B )  =  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868    u. cun 3434   {csn 3996   Ord word 5438   suc csuc 5441   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   omcom 6703   Fincfn 7574   1c1 9541    + caddc 9543   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-hash 12516
This theorem is referenced by:  hash1  12581  hash2  12582  hash3  12583  hash4  12584
  Copyright terms: Public domain W3C validator