MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashp1i Structured version   Unicode version

Theorem hashp1i 12280
Description: Size of a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
hashp1i.1  |-  A  e. 
om
hashp1i.2  |-  B  =  suc  A
hashp1i.3  |-  ( # `  A )  =  M
hashp1i.4  |-  ( M  +  1 )  =  N
Assertion
Ref Expression
hashp1i  |-  ( # `  B )  =  N

Proof of Theorem hashp1i
StepHypRef Expression
1 hashp1i.2 . . . 4  |-  B  =  suc  A
2 df-suc 4834 . . . 4  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
31, 2eqtri 2483 . . 3  |-  B  =  ( A  u.  { A } )
43fveq2i 5803 . 2  |-  ( # `  B )  =  (
# `  ( A  u.  { A } ) )
5 hashp1i.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
6 nnfi 7615 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  A  e. 
Fin
8 nnord 6595 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
9 ordirr 4846 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
105, 8, 9mp2b 10 . . . 4  |-  -.  A  e.  A
11 hashunsng 12273 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  e.  Fin  /\ 
-.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
125, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  A  e.  A
)  ->  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
137, 10, 12mp2an 672 . . 3  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( # `  A
)  +  1 )
14 hashp1i.3 . . . . 5  |-  ( # `  A )  =  M
1514oveq1i 6211 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  ( M  +  1 )
16 hashp1i.4 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  =  N
1715, 16eqtri 2483 . . 3  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  =  N
1813, 17eqtri 2483 . 2  |-  ( # `  ( A  u.  { A } ) )  =  N
194, 18eqtri 2483 1  |-  ( # `  B )  =  N
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3435   {csn 3986   Ord word 4827   suc csuc 4830   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   omcom 6587   Fincfn 7421   1c1 9395    + caddc 9397   #chash 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-hash 12222
This theorem is referenced by:  hash1  12281  hash2  12282  hash3  12283  hash4  12284
  Copyright terms: Public domain W3C validator