Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hashnzfzclim Structured version   Unicode version

Theorem hashnzfzclim 31203
Description: As the upper bound  K of the constraint interval  ( J ... K ) in hashnzfz 31201 increases, the resulting count of multiples tends to  ( K  /  M ) —that is, there are approximately  ( K  /  M
) multiples of  M in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
hashnzfzclim.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
Distinct variable groups:    k, J    k, M    ph, k

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
5 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )
62, 4, 5hashnzfz 31201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  =  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) ) )
76oveq1d 6296 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( (  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )
87mpteq2dva 4523 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
9 nnuz 11127 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10901 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
121nncnd 10559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
131nnne0d 10587 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
1412, 13reccld 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  CC )
159eqimss2i 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
16 nnex 10549 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1715, 16climconst2 13353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  M
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1814, 10, 17sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1916mptex 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  / 
k ) ) )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  e.  _V )
21 ax-1cn 9553 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
22 divcnv 13647 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) )  ~~>  0 )
2321, 22mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k
) )  ~~>  0 )
24 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  M )  e. 
_V
2524fvconst2 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
( 1  /  M
) } ) `  x )  =  ( 1  /  M ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  =  ( 1  /  M ) )
2714adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  M )  e.  CC )
2826, 27eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  e.  CC )
29 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 1  / 
k ) ) )
30 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  /  x ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  /  x ) )
32 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
33 ovex 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
3529, 31, 32, 34fvmptd 5946 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
3632nnrecred 10588 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
3735, 36eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  e.  RR )
3837recnd 9625 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
39 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  / 
k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  k
) ) ) )
4030oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
42 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e. 
_V )
4439, 41, 32, 43fvmptd 5946 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
4526, 35oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } ) `  x )  -  (
( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k
) ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  x ) ) )
4644, 45eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  =  ( ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x ) ) )
479, 11, 18, 20, 23, 28, 38, 46climsub 13438 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  ~~>  ( ( 1  /  M )  -  0 ) )
4814subid1d 9925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  M )  -  0 )  =  ( 1  /  M ) )
4947, 48breqtrd 4461 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
5016mptex 6128 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) )  e.  _V
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) )  e.  _V )
521nnrecred 10588 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
5352adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  M )  e.  RR )
54 nnre 10550 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
5554adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
56 nnne0 10575 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
5756adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  =/=  0 )
5855, 57rereccld 10378 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
5953, 58resubcld 9994 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e.  RR )
6044, 59eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  e.  RR )
61 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  / 
k ) ) )
62 oveq1 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
k  /  M )  =  ( x  /  M ) )
6362fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( |_ `  ( k  /  M ) )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
64 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
6563, 64oveq12d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
6665adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
67 ovex 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e. 
_V )
6961, 66, 32, 68fvmptd 5946 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
701adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
7155, 70nndivred 10591 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  e.  RR )
72 reflcl 11915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  M )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  M ) )  e.  RR )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  e.  RR )
7473, 55, 57redivcld 10379 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e.  RR )
7569, 74eqeltrd 2531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  RR )
7671recnd 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  e.  CC )
77 1cnd 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
78 nncn 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
8076, 77, 79, 57divsubdird 10366 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  =  ( ( ( x  /  M )  /  x )  -  (
1  /  x ) ) )
8112adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
8213adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  =/=  0 )
8379, 81, 82divrecd 10330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  =  ( x  x.  (
1  /  M ) ) )
8483oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  /  x )  =  ( ( x  x.  ( 1  /  M
) )  /  x
) )
8527, 79, 57divcan3d 10332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  x.  ( 1  /  M ) )  /  x )  =  ( 1  /  M
) )
8684, 85eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  /  x )  =  ( 1  /  M
) )
8786oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  /  x )  -  ( 1  /  x ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  x ) ) )
8880, 87eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  =  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  x ) ) )
89 1red 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
9071, 89resubcld 9994 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  e.  RR )
91 nnrp 11240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
9291adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
9373, 89readdcld 9626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  +  1 )  e.  RR )
94 flle 11918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  M )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
) )
9571, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
) )
96 flflp1 11926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  M
)  e.  RR  /\  ( x  /  M
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
)  <->  ( x  /  M )  <  (
( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 ) ) )
9771, 71, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  <_  ( x  /  M )  <->  ( x  /  M )  <  (
( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 ) ) )
9895, 97mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  +  1 ) )
9971, 93, 89, 98ltsub1dd 10171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  < 
( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  +  1 )  -  1 ) )
10073recnd 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  e.  CC )
101100, 77pncand 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
10299, 101breqtrd 4461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  < 
( |_ `  (
x  /  M ) ) )
10390, 73, 92, 102ltdiv1dd 11320 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
10488, 103eqbrtrrd 4459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
10559, 74, 104ltled 9736 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  <_ 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  k  =  x )
107106oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
k  /  M )  =  ( x  /  M ) )
108107fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  ( |_ `  ( k  /  M ) )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
109108, 106oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
11061, 109, 32, 68fvmptd 5946 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
111105, 44, 1103brtr4d 4467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  <_  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) ) `
 x ) )
11273, 71, 92, 95lediv1dd 11321 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  <_ 
( ( x  /  M )  /  x
) )
113112, 86breqtrd 4461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  <_ 
( 1  /  M
) )
114110, 113eqbrtrd 4457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  <_  ( 1  /  M ) )
1159, 11, 49, 51, 60, 75, 111, 114climsqz 13445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
11616mptex 6128 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )
1183zred 10976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
119 1red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
120118, 119resubcld 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
121120, 1nndivred 10591 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  /  M
)  e.  RR )
122121flcld 11917 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  e.  ZZ )
123122zcnd 10977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC )
124 divcnv 13647 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) )  ~~>  0 )
125123, 124syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) )  /  k
) )  ~~>  0 )
12675recnd 9625 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
127 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  / 
k ) ) )
128 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
129128adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
130 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e. 
_V
131130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e. 
_V )
132127, 129, 32, 131fvmptd 5946 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
133123adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC )
134133, 79, 57divcld 10327 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e.  CC )
135132, 134eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
136100, 133, 79, 57divsubdird 10366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x )  -  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) ) )
137 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
13863oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) ) )
139138, 64oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
140139adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
141 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  e. 
_V
142141a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  e. 
_V )
143137, 140, 32, 142fvmptd 5946 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) `
 x )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
14469, 132oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) ) `  x
)  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x ) )  =  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  /  x )  -  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) ) )
145136, 143, 1443eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) `
 x )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) ) `
 x )  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  / 
k ) ) `  x ) ) )
1469, 11, 115, 117, 125, 126, 135, 145climsub 13438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( ( 1  /  M )  - 
0 ) )
147146, 48breqtrd 4461 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
148 uzssz 11111 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( J  -  1
) )  C_  ZZ
149 resmpt 5313 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  C_  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
150148, 149ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )
151150breq1i 4444 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1
) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1523, 11zsubcld 10981 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
153 zex 10880 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
154153mptex 6128 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V
155 climres 13380 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
156152, 154, 155sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
157151, 156syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
1589reseq2i 5260 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )
159158breq1i 4444 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  ~~>  ( 1  /  M ) )
160 nnssz 10891 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
161 resmpt 5313 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )
163162breq1i 4444 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
164 climres 13380 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
16510, 154, 164mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
166159, 163, 1653bitr3i 275 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
167157, 166syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
168147, 167mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M
) )
1698, 168eqbrtrd 4457 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987    |` cres 4991   "cima 4992   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   RR+crp 11231   ...cfz 11683   |_cfl 11909   #chash 12387    ~~> cli 13289    || cdvds 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-dvds 13969
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator