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Theorem hashnzfzclim 36665
Description: As the upper bound  K of the constraint interval  ( J ... K ) in hashnzfz 36663 increases, the resulting count of multiples tends to  ( K  /  M ) —that is, there are approximately  ( K  /  M
) multiples of  M in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
hashnzfzclim.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
Distinct variable groups:    k, J    k, M    ph, k

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
43adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
5 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )
62, 4, 5hashnzfz 36663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  =  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) ) )
76oveq1d 6303 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( (  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )
87mpteq2dva 4488 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
9 nnuz 11191 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10964 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
121nncnd 10622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
131nnne0d 10651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
1412, 13reccld 10373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  CC )
159eqimss2i 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
16 nnex 10612 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1715, 16climconst2 13605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  M
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1814, 10, 17sylancl 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1916mptex 6134 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  / 
k ) ) )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  e.  _V )
21 ax-1cn 9594 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
22 divcnv 13904 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) )  ~~>  0 )
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k
) )  ~~>  0 )
24 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  M )  e. 
_V
2524fvconst2 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
( 1  /  M
) } ) `  x )  =  ( 1  /  M ) )
2625adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  =  ( 1  /  M ) )
2714adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  M )  e.  CC )
2826, 27eqeltrd 2528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  e.  CC )
29 eqidd 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 1  / 
k ) ) )
30 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  /  x ) )
3130adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  /  x ) )
32 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
33 ovex 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
3529, 31, 32, 34fvmptd 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
3632nnrecred 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
3735, 36eqeltrd 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  e.  RR )
3837recnd 9666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
39 eqidd 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  / 
k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  k
) ) ) )
4030oveq2d 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
4140adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
42 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e. 
_V )
4439, 41, 32, 43fvmptd 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
4526, 35oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } ) `  x )  -  (
( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k
) ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  x ) ) )
4644, 45eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  =  ( ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x ) ) )
479, 11, 18, 20, 23, 28, 38, 46climsub 13690 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  ~~>  ( ( 1  /  M )  -  0 ) )
4814subid1d 9972 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  M )  -  0 )  =  ( 1  /  M ) )
4947, 48breqtrd 4426 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
5016mptex 6134 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) )  e.  _V
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) )  e.  _V )
521nnrecred 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
5352adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  M )  e.  RR )
54 nnre 10613 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
5554adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
56 nnne0 10639 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
5756adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  =/=  0 )
5855, 57rereccld 10431 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
5953, 58resubcld 10044 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e.  RR )
6044, 59eqeltrd 2528 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  e.  RR )
61 eqidd 2451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  / 
k ) ) )
62 oveq1 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
k  /  M )  =  ( x  /  M ) )
6362fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( |_ `  ( k  /  M ) )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
64 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
6563, 64oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
6665adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
67 ovex 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e. 
_V )
6961, 66, 32, 68fvmptd 5952 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
701adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
7155, 70nndivred 10655 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  e.  RR )
72 reflcl 12029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  M )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  M ) )  e.  RR )
7371, 72syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  e.  RR )
7473, 55, 57redivcld 10432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e.  RR )
7569, 74eqeltrd 2528 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  RR )
7671recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  e.  CC )
77 1cnd 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
78 nncn 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
7978adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
8076, 77, 79, 57divsubdird 10419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  =  ( ( ( x  /  M )  /  x )  -  (
1  /  x ) ) )
8112adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
8213adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  =/=  0 )
8379, 81, 82divrecd 10383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  =  ( x  x.  (
1  /  M ) ) )
8483oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  /  x )  =  ( ( x  x.  ( 1  /  M
) )  /  x
) )
8527, 79, 57divcan3d 10385 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  x.  ( 1  /  M ) )  /  x )  =  ( 1  /  M
) )
8684, 85eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  /  x )  =  ( 1  /  M
) )
8786oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  /  x )  -  ( 1  /  x ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  x ) ) )
8880, 87eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  =  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  x ) ) )
89 1red 9655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
9071, 89resubcld 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  e.  RR )
91 nnrp 11308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
9291adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
9373, 89readdcld 9667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  +  1 )  e.  RR )
94 flle 12032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  M )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
) )
9571, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
) )
96 flflp1 12040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  M
)  e.  RR  /\  ( x  /  M
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
)  <->  ( x  /  M )  <  (
( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 ) ) )
9771, 71, 96syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  <_  ( x  /  M )  <->  ( x  /  M )  <  (
( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 ) ) )
9895, 97mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  +  1 ) )
9971, 93, 89, 98ltsub1dd 10222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  < 
( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  +  1 )  -  1 ) )
10073recnd 9666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  e.  CC )
101100, 77pncand 9984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
10299, 101breqtrd 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  < 
( |_ `  (
x  /  M ) ) )
10390, 73, 92, 102ltdiv1dd 11392 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
10488, 103eqbrtrrd 4424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
10559, 74, 104ltled 9780 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  <_ 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
106 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  k  =  x )
107106oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
k  /  M )  =  ( x  /  M ) )
108107fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  ( |_ `  ( k  /  M ) )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
109108, 106oveq12d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
11061, 109, 32, 68fvmptd 5952 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
111105, 44, 1103brtr4d 4432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  <_  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) ) `
 x ) )
11273, 71, 92, 95lediv1dd 11393 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  <_ 
( ( x  /  M )  /  x
) )
113112, 86breqtrd 4426 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  <_ 
( 1  /  M
) )
114110, 113eqbrtrd 4422 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  <_  ( 1  /  M ) )
1159, 11, 49, 51, 60, 75, 111, 114climsqz 13697 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
11616mptex 6134 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )
1183zred 11037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
119 1red 9655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
120118, 119resubcld 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
121120, 1nndivred 10655 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  /  M
)  e.  RR )
122121flcld 12031 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  e.  ZZ )
123122zcnd 11038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC )
124 divcnv 13904 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) )  ~~>  0 )
125123, 124syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) )  /  k
) )  ~~>  0 )
12675recnd 9666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
127 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  / 
k ) ) )
128 oveq2 6296 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
129128adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
130 ovex 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e. 
_V
131130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e. 
_V )
132127, 129, 32, 131fvmptd 5952 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
133123adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC )
134133, 79, 57divcld 10380 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e.  CC )
135132, 134eqeltrd 2528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
136100, 133, 79, 57divsubdird 10419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x )  -  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) ) )
137 eqidd 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
13863oveq1d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) ) )
139138, 64oveq12d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
140139adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
141 ovex 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  e. 
_V
142141a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  e. 
_V )
143137, 140, 32, 142fvmptd 5952 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) `
 x )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
14469, 132oveq12d 6306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) ) `  x
)  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x ) )  =  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  /  x )  -  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) ) )
145136, 143, 1443eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) `
 x )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) ) `
 x )  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  / 
k ) ) `  x ) ) )
1469, 11, 115, 117, 125, 126, 135, 145climsub 13690 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( ( 1  /  M )  - 
0 ) )
147146, 48breqtrd 4426 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
148 uzssz 11175 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( J  -  1
) )  C_  ZZ
149 resmpt 5153 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  C_  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
150148, 149ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )
151150breq1i 4408 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1
) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1523, 11zsubcld 11042 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
153 zex 10943 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
154153mptex 6134 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V
155 climres 13632 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
156152, 154, 155sylancl 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
157151, 156syl5bbr 263 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
1589reseq2i 5101 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )
159158breq1i 4408 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  ~~>  ( 1  /  M ) )
160 nnssz 10954 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
161 resmpt 5153 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )
163162breq1i 4408 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
164 climres 13632 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
16510, 154, 164mp2an 677 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
166159, 163, 1653bitr3i 279 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
167157, 166syl6bbr 267 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
168147, 167mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M
) )
1698, 168eqbrtrd 4422 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   _Vcvv 3044    i^i cin 3402    C_ wss 3403   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831    |` cres 4835   "cima 4836   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857    / cdiv 10266   NNcn 10606   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   RR+crp 11299   ...cfz 11781   |_cfl 12023   #chash 12512    ~~> cli 13541    || cdvds 14298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-er 7360  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-dvds 14299
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