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Theorem hashnzfzclim 31395
Description: As the upper bound  K of the constraint interval  ( J ... K ) in hashnzfz 31393 increases, the resulting count of multiples tends to  ( K  /  M ) —that is, there are approximately  ( K  /  M
) multiples of  M in a finite interval of integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hashnzfzclim.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
hashnzfzclim.j  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
hashnzfzclim  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
Distinct variable groups:    k, J    k, M    ph, k

Proof of Theorem hashnzfzclim
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashnzfzclim.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  M  e.  NN )
3 hashnzfzclim.j . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
43adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
5 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )
62, 4, 5hashnzfz 31393 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  =  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) ) )
76oveq1d 6211 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ->  ( ( # `
 ( (  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )
87mpteq2dva 4453 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
9 nnuz 11036 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
10 1z 10811 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
121nncnd 10468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
131nnne0d 10497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
1412, 13reccld 10230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  CC )
159eqimss2i 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
16 nnex 10458 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1715, 16climconst2 13373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  M
)  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1814, 10, 17sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1916mptex 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  / 
k ) ) )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  e.  _V )
21 ax-1cn 9461 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
22 divcnv 13667 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) )  ~~>  0 )
2321, 22mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k
) )  ~~>  0 )
24 ovex 6224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  M )  e. 
_V
2524fvconst2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( NN  X.  {
( 1  /  M
) } ) `  x )  =  ( 1  /  M ) )
2625adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  =  ( 1  /  M ) )
2714adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  M )  e.  CC )
2826, 27eqeltrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  e.  CC )
29 eqidd 2383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( 1  / 
k ) ) )
30 oveq2 6204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  x  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  /  x ) )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  /  x ) )
32 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  NN )
33 ovex 6224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
3529, 31, 32, 34fvmptd 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  =  ( 1  /  x ) )
3632nnrecred 10498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
3735, 36eqeltrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  e.  RR )
3837recnd 9533 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
39 eqidd 2383 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  / 
k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  k
) ) ) )
4030oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
4140adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
42 ovex 6224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e. 
_V )
4439, 41, 32, 43fvmptd 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  =  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x
) ) )
4526, 35oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  {
( 1  /  M
) } ) `  x )  -  (
( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k
) ) `  x
) )  =  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  x ) ) )
4644, 45eqtr4d 2426 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  =  ( ( ( NN  X.  { ( 1  /  M ) } ) `  x
)  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( 1  /  k ) ) `  x ) ) )
479, 11, 18, 20, 23, 28, 38, 46climsub 13458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  ~~>  ( ( 1  /  M )  -  0 ) )
4814subid1d 9833 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  M )  -  0 )  =  ( 1  /  M ) )
4947, 48breqtrd 4391 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  k ) ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
5016mptex 6044 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) )  e.  _V
5150a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) )  e.  _V )
521nnrecred 10498 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  M
)  e.  RR )
5352adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  M )  e.  RR )
54 nnre 10459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
5554adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
56 nnne0 10485 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
5756adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  =/=  0 )
5855, 57rereccld 10288 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
5953, 58resubcld 9905 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  e.  RR )
6044, 59eqeltrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  e.  RR )
61 eqidd 2383 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  / 
k ) ) )
62 oveq1 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  x  ->  (
k  /  M )  =  ( x  /  M ) )
6362fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  ( |_ `  ( k  /  M ) )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
64 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  x  ->  k  =  x )
6563, 64oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
6665adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
67 ovex 6224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e. 
_V )
6961, 66, 32, 68fvmptd 5862 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
701adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
7155, 70nndivred 10501 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  e.  RR )
72 reflcl 11832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  /  M )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  M ) )  e.  RR )
7371, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  e.  RR )
7473, 55, 57redivcld 10289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  e.  RR )
7569, 74eqeltrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  RR )
7671recnd 9533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  e.  CC )
77 1cnd 9523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
78 nncn 10460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
7978adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
8076, 77, 79, 57divsubdird 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  =  ( ( ( x  /  M )  /  x )  -  (
1  /  x ) ) )
8112adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
8213adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  M  =/=  0 )
8379, 81, 82divrecd 10240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  =  ( x  x.  (
1  /  M ) ) )
8483oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  /  x )  =  ( ( x  x.  ( 1  /  M
) )  /  x
) )
8527, 79, 57divcan3d 10242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  x.  ( 1  /  M ) )  /  x )  =  ( 1  /  M
) )
8684, 85eqtrd 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  /  x )  =  ( 1  /  M
) )
8786oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  /  x )  -  ( 1  /  x ) )  =  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  x ) ) )
8880, 87eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  =  ( ( 1  /  M )  -  (
1  /  x ) ) )
89 1red 9522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
9071, 89resubcld 9905 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  e.  RR )
91 nnrp 11148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR+ )
9291adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  x  e.  RR+ )
9373, 89readdcld 9534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  +  1 )  e.  RR )
94 flle 11835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  /  M )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
) )
9571, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
) )
96 flflp1 11843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  M
)  e.  RR  /\  ( x  /  M
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  <_ 
( x  /  M
)  <->  ( x  /  M )  <  (
( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 ) ) )
9771, 71, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  <_  ( x  /  M )  <->  ( x  /  M )  <  (
( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 ) ) )
9895, 97mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  /  M )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  +  1 ) )
9971, 93, 89, 98ltsub1dd 10081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  < 
( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  +  1 )  -  1 ) )
10073recnd 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( x  /  M ) )  e.  CC )
101100, 77pncand 9845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
10299, 101breqtrd 4391 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( x  /  M )  -  1 )  < 
( |_ `  (
x  /  M ) ) )
10390, 73, 92, 102ltdiv1dd 11230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( x  /  M
)  -  1 )  /  x )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
10488, 103eqbrtrrd 4389 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
10559, 74, 104ltled 9644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  M )  -  ( 1  /  x ) )  <_ 
( ( |_ `  ( x  /  M
) )  /  x
) )
106 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  k  =  x )
107106oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
k  /  M )  =  ( x  /  M ) )
108107fveq2d 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  ( |_ `  ( k  /  M ) )  =  ( |_ `  (
x  /  M ) ) )
109108, 106oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
11061, 109, 32, 68fvmptd 5862 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x ) )
111105, 44, 1103brtr4d 4397 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  M
)  -  ( 1  /  k ) ) ) `  x )  <_  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) ) `
 x ) )
11273, 71, 92, 95lediv1dd 11231 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  <_ 
( ( x  /  M )  /  x
) )
113112, 86breqtrd 4391 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  M ) )  /  x )  <_ 
( 1  /  M
) )
114110, 113eqbrtrd 4387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  <_  ( 1  /  M ) )
1159, 11, 49, 51, 60, 75, 111, 114climsqz 13465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
11616mptex 6044 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )
1183zred 10884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  RR )
119 1red 9522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
120118, 119resubcld 9905 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  RR )
121120, 1nndivred 10501 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  /  M
)  e.  RR )
122121flcld 11834 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  e.  ZZ )
123122zcnd 10885 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC )
124 divcnv 13667 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) )  ~~>  0 )
125123, 124syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) )  /  k
) )  ~~>  0 )
12675recnd 9533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
127 eqidd 2383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  / 
k ) ) )
128 oveq2 6204 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
129128adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
130 ovex 6224 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e. 
_V
131130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e. 
_V )
132127, 129, 32, 131fvmptd 5862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  =  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) )
133123adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  e.  CC )
134133, 79, 57divcld 10237 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x )  e.  CC )
135132, 134eqeltrd 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x )  e.  CC )
136100, 133, 79, 57divsubdird 10276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  /  x )  -  (
( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) ) )
137 eqidd 2383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
13863oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  =  ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) ) )
139138, 64oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
140139adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  k  =  x )  ->  (
( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
141 ovex 6224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  e. 
_V
142141a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x )  e. 
_V )
143137, 140, 32, 142fvmptd 5862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) `
 x )  =  ( ( ( |_
`  ( x  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  x ) )
14469, 132oveq12d 6214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  /  k
) ) `  x
)  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  (
( J  -  1 )  /  M ) )  /  k ) ) `  x ) )  =  ( ( ( |_ `  (
x  /  M ) )  /  x )  -  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  /  x ) ) )
145136, 143, 1443eqtr4d 2433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) `
 x )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  /  k ) ) `
 x )  -  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) )  / 
k ) ) `  x ) ) )
1469, 11, 115, 117, 125, 126, 135, 145climsub 13458 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( ( 1  /  M )  - 
0 ) )
147146, 48breqtrd 4391 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
148 uzssz 11020 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( J  -  1
) )  C_  ZZ
149 resmpt 5235 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  C_  ZZ  ->  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) ) )
150148, 149ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )
151150breq1i 4374 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1
) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
1523, 11zsubcld 10889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
153 zex 10790 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
154153mptex 6044 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V
155 climres 13400 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
156152, 154, 155sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
157151, 156syl5bbr 259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
1589reseq2i 5183 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )
159158breq1i 4374 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  ~~>  ( 1  /  M ) )
160 nnssz 10801 . . . . . . 7  |-  NN  C_  ZZ
161 resmpt 5235 . . . . . . 7  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( (
k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) ) )
162160, 161ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )
163162breq1i 4374 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  NN )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
164 climres 13400 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  e.  _V )  ->  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  (
k  /  M ) )  -  ( |_
`  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
16510, 154, 164mp2an 670 . . . . 5  |-  ( ( ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
166159, 163, 1653bitr3i 275 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M
)  <->  ( k  e.  ZZ  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
167157, 166syl6bbr 263 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( J  -  1 ) ) 
|->  ( ( ( |_
`  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M )  <->  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M ) )  -  ( |_ `  ( ( J  - 
1 )  /  M
) ) )  / 
k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) ) )
168147, 167mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( ( |_ `  ( k  /  M
) )  -  ( |_ `  ( ( J  -  1 )  /  M ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M
) )
1698, 168eqbrtrd 4387 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( J  - 
1 ) )  |->  ( ( # `  (
(  ||  " { M } )  i^i  ( J ... k ) ) )  /  k ) )  ~~>  ( 1  /  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    i^i cin 3388    C_ wss 3389   {csn 3944   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    X. cxp 4911    |` cres 4915   "cima 4916   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   ...cfz 11593   |_cfl 11826   #chash 12307    ~~> cli 13309    || cdvds 13988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-er 7229  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-dvds 13989
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