Theorem hashnncl 12254

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	|- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 10468	. . 3 |- ( ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) =/= 0 )
2		hashcl 12246	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		elnn0 10695	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 <-> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
4	2, 3	sylib 196	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
5	4	ord 377	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( -. ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) = 0 ) )
6	5	necon1ad 2668	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 -> ( # ` A ) e. NN ) )
7	1, 6	impbid2 204	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
8		hasheq0 12251	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
9	8	necon3bid 2710	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
10	7, 9	bitrd 253	1 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   (/)c0 3748   ` cfv 5529   Fincfn 7423   0cc0 9396   NNcn 10436   NN0cn0 10693   #chash 12223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224

This theorem is referenced by:  hashge1  12273  lennncl  12371  wrdind  12492  wrd2ind  12493  incexc  13421  incexc2  13422  ramub1  14210  gsumwmhm  15645  psgnunilem5  16122  psgnunilem4  16125  gexcl2  16212  sylow1lem3  16223  sylow1lem5  16225  pgpfi  16228  pgpfi2  16229  sylow2alem2  16241  sylow2blem3  16245  slwhash  16247  fislw  16248  sylow3lem3  16252  sylow3lem4  16253  efgsp1  16358  efgsres  16359  efgredlem  16368  lt6abl  16495  ablfacrp2  16693  ablfac1lem  16694  ablfac1b  16696  ablfac1c  16697  ablfac1eu  16699  pgpfac1lem2  16701  pgpfac1lem3a  16702  pgpfaclem2  16708  ablfaclem3  16713  lebnumlem3  20670  birthdaylem3  22483  birthday  22484  amgmlem  22519  amgm  22520  musum  22667  dchrabs  22735  dchrisum0flblem1  22893  derangfmla  27242  erdszelem2  27244  rrndstprj2  28898  rrncmslem  28899  rrnequiv  28902  isnumbasgrplem3  29629  cusgraisrusgra  30719  frghash2spot  30824