Theorem hashnncl 12482

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	|- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 10608	. . 3 |- ( ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) =/= 0 )
2		hashcl 12473	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		elnn0 10837	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 <-> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
4	2, 3	sylib 196	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
5	4	ord 375	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( -. ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) = 0 ) )
6	5	necon1ad 2619	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 -> ( # ` A ) e. NN ) )
7	1, 6	impbid2 204	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
8		hasheq0 12479	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
9	8	necon3bid 2661	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
10	7, 9	bitrd 253	1 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   (/)c0 3737   ` cfv 5568   Fincfn 7553   0cc0 9521   NNcn 10575   NN0cn0 10835   #chash 12450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-hash 12451

This theorem is referenced by:  hashge1  12503  lennncl  12613  lswlgt0cl  12641  wrdind  12756  wrd2ind  12757  incexc  13798  incexc2  13799  ramub1  14753  gsumwmhm  16335  psgnunilem5  16841  psgnunilem4  16844  gexcl2  16931  sylow1lem3  16942  sylow1lem5  16944  pgpfi  16947  pgpfi2  16948  sylow2alem2  16960  sylow2blem3  16964  slwhash  16966  fislw  16967  sylow3lem3  16971  sylow3lem4  16972  efgsp1  17077  efgsres  17078  efgredlem  17087  lt6abl  17219  ablfacrp2  17436  ablfac1lem  17437  ablfac1b  17439  ablfac1c  17440  ablfac1eu  17442  pgpfac1lem2  17444  pgpfac1lem3a  17445  pgpfaclem2  17451  ablfaclem3  17456  lebnumlem3  21753  birthdaylem3  23607  birthday  23608  amgmlem  23643  amgm  23644  musum  23846  dchrabs  23914  dchrisum0flblem1  24072  cusgraisrusgra  25342  frghash2spot  25467  derangfmla  29474  erdszelem2  29476  rrndstprj2  31589  rrncmslem  31590  rrnequiv  31593  isnumbasgrplem3  35398  fzisoeu  36849  fourierdlem54  37292  fourierdlem103  37341  fourierdlem104  37342