Theorem hashnncl 12126

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	|- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 10346	. . 3 |- ( ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) =/= 0 )
2		hashcl 12118	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		elnn0 10573	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 <-> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
4	2, 3	sylib 196	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
5	4	ord 377	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( -. ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) = 0 ) )
6	5	necon1ad 2673	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 -> ( # ` A ) e. NN ) )
7	1, 6	impbid2 204	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
8		hasheq0 12123	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
9	8	necon3bid 2638	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
10	7, 9	bitrd 253	1 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   (/)c0 3632   ` cfv 5413   Fincfn 7302   0cc0 9274   NNcn 10314   NN0cn0 10571   #chash 12095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096

This theorem is referenced by:  hashge1  12144  lennncl  12242  wrdind  12363  wrd2ind  12364  incexc  13292  incexc2  13293  ramub1  14081  gsumwmhm  15514  psgnunilem5  15991  psgnunilem4  15994  gexcl2  16079  sylow1lem3  16090  sylow1lem5  16092  pgpfi  16095  pgpfi2  16096  sylow2alem2  16108  sylow2blem3  16112  slwhash  16114  fislw  16115  sylow3lem3  16119  sylow3lem4  16120  efgsp1  16225  efgsres  16226  efgredlem  16235  lt6abl  16362  ablfacrp2  16556  ablfac1lem  16557  ablfac1b  16559  ablfac1c  16560  ablfac1eu  16562  pgpfac1lem2  16564  pgpfac1lem3a  16565  pgpfaclem2  16571  ablfaclem3  16576  lebnumlem3  20510  birthdaylem3  22322  birthday  22323  amgmlem  22358  amgm  22359  musum  22506  dchrabs  22574  dchrisum0flblem1  22732  derangfmla  27030  erdszelem2  27032  rrndstprj2  28683  rrncmslem  28684  rrnequiv  28687  isnumbasgrplem3  29414  cusgraisrusgra  30504  frghash2spot  30609