Theorem hashnncl 12547

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	|- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 10642	. . 3 |- ( ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) =/= 0 )
2		hashcl 12538	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( # ` A ) e. NN0 )
3		elnn0 10871	. . . . . 6 |- ( ( # ` A ) e. NN0 <-> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
4	2, 3	sylib 200	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN \/ ( # ` A ) = 0 ) )
5	4	ord 379	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( -. ( # ` A ) e. NN -> ( # ` A ) = 0 ) )
6	5	necon1ad 2641	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 -> ( # ` A ) e. NN ) )
7	1, 6	impbid2 208	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> ( # ` A ) =/= 0 ) )
8		hasheq0 12544	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) = 0 <-> A = (/) ) )
9	8	necon3bid 2668	. 2 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) =/= 0 <-> A =/= (/) ) )
10	7, 9	bitrd 257	1 |- ( A e. Fin -> ( ( # ` A ) e. NN <-> A =/= (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   (/)c0 3731   ` cfv 5582   Fincfn 7569   0cc0 9539   NNcn 10609   NN0cn0 10869   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516

This theorem is referenced by:  hashge1  12568  lennncl  12688  lswlgt0cl  12716  wrdind  12833  wrd2ind  12834  incexc  13895  incexc2  13896  ramub1  14986  gsumwmhm  16629  psgnunilem5  17135  psgnunilem4  17138  gexcl2  17241  sylow1lem3  17252  sylow1lem5  17254  pgpfi  17257  pgpfi2  17258  sylow2alem2  17270  sylow2blem3  17274  slwhash  17276  fislw  17277  sylow3lem3  17281  sylow3lem4  17282  efgsp1  17387  efgsres  17388  efgredlem  17397  lt6abl  17529  ablfacrp2  17700  ablfac1lem  17701  ablfac1b  17703  ablfac1c  17704  ablfac1eu  17706  pgpfac1lem2  17708  pgpfac1lem3a  17709  pgpfaclem2  17715  ablfaclem3  17720  lebnumlem3  21991  lebnumlem3OLD  21994  birthdaylem3  23879  birthday  23880  amgmlem  23915  amgm  23916  musum  24120  dchrabs  24188  dchrisum0flblem1  24346  cusgraisrusgra  25666  frghash2spot  25791  derangfmla  29913  erdszelem2  29915  rrndstprj2  32163  rrncmslem  32164  rrnequiv  32167  isnumbasgrplem3  35964  fzisoeu  37518  fourierdlem54  38024  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  qndenserrnbllem  38163  ovnhoilem1  38423  hoiqssbllem1  38444  hoiqssbllem2  38445  hoiqssbllem3  38446  cusgrrusgr  39597