MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnn0n0nn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hashnn0n0nn 12577
Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashnn0n0nn  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )

Proof of Theorem hashnn0n0nn
StepHypRef Expression
1 ne0i 3739 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  V  ->  V  =/=  (/) )
2 hashge1 12575 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
31, 2sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
4 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
5 0lt1 10143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
6 0re 9648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
7 1re 9647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
86, 7ltnlei 9760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
95, 8mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  1  <_  0
10 breq2 4409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <_  ( # `  V
)  <->  1  <_  0
) )
119, 10mtbiri 305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  -.  1  <_  ( # `  V
) )
1211necon2ai 2655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
1312adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
14 elnnne0 10890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
154, 13, 14sylanbrc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )
1615ex 436 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
173, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  (
# `  V )  e.  NN ) )
1817impancom 442 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  V  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
1918com12 32 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
20 eleq1 2519 . . . . . 6  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  <->  Y  e.  NN0 ) )
2120anbi2d 711 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  <->  ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 ) ) )
22 eleq1 2519 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  Y  e.  NN ) )
2321, 22imbi12d 322 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )  <-> 
( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2419, 23syl5ib 223 . . 3  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2524imp 431 . 2  |-  ( ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) )
2625impcom 432 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   ` cfv 5585   0cc0 9544   1c1 9545    < clt 9680    <_ cle 9681   NNcn 10616   NN0cn0 10876   #chash 12522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  25217  cusgrsize2inds  39524
  Copyright terms: Public domain W3C validator