MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnn0n0nn Structured version   Unicode version

Theorem hashnn0n0nn 12426
Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashnn0n0nn  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )

Proof of Theorem hashnn0n0nn
StepHypRef Expression
1 ne0i 3791 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  V  ->  V  =/=  (/) )
2 hashge1 12425 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
31, 2sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
4 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
5 0lt1 10075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
6 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
7 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
86, 7ltnlei 9705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
95, 8mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  1  <_  0
10 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <_  ( # `  V
)  <->  1  <_  0
) )
119, 10mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  -.  1  <_  ( # `  V
) )
1211necon2ai 2702 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
14 elnnne0 10809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
154, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )
1615ex 434 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
173, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  (
# `  V )  e.  NN ) )
1817impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  V  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
1918com12 31 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
20 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  <->  Y  e.  NN0 ) )
2120anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  <->  ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 ) ) )
22 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  Y  e.  NN ) )
2321, 22imbi12d 320 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )  <-> 
( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2419, 23syl5ib 219 . . 3  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2524imp 429 . 2  |-  ( ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) )
2625impcom 430 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   0cc0 9492   1c1 9493    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  24181
  Copyright terms: Public domain W3C validator