MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnn0n0nn Structured version   Unicode version

Theorem hashnn0n0nn 12556
Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashnn0n0nn  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )

Proof of Theorem hashnn0n0nn
StepHypRef Expression
1 ne0i 3764 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  V  ->  V  =/=  (/) )
2 hashge1 12554 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
31, 2sylan2 476 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
4 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
5 0lt1 10125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
6 0re 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
7 1re 9631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
86, 7ltnlei 9744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
95, 8mpbi 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  1  <_  0
10 breq2 4421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <_  ( # `  V
)  <->  1  <_  0
) )
119, 10mtbiri 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  -.  1  <_  ( # `  V
) )
1211necon2ai 2657 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
1312adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
14 elnnne0 10872 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
154, 13, 14sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )
1615ex 435 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
173, 16syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  (
# `  V )  e.  NN ) )
1817impancom 441 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  V  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
1918com12 32 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
20 eleq1 2492 . . . . . 6  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  <->  Y  e.  NN0 ) )
2120anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  <->  ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 ) ) )
22 eleq1 2492 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  Y  e.  NN ) )
2321, 22imbi12d 321 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )  <-> 
( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2419, 23syl5ib 222 . . 3  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2524imp 430 . 2  |-  ( ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) )
2625impcom 431 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   (/)c0 3758   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   0cc0 9528   1c1 9529    < clt 9664    <_ cle 9665   NNcn 10598   NN0cn0 10858   #chash 12501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-hash 12502
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  25076
  Copyright terms: Public domain W3C validator