MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnn0n0nn Structured version   Unicode version

Theorem hashnn0n0nn 12174
Description: If a nonnegative integer is the size of a set which contains at least one element, this integer is a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashnn0n0nn  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )

Proof of Theorem hashnn0n0nn
StepHypRef Expression
1 ne0i 3664 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  V  ->  V  =/=  (/) )
2 hashge1 12173 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
31, 2sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  1  <_  ( # `  V
) )
4 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
5 0lt1 9883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
6 0re 9407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
7 1re 9406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
86, 7ltnlei 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
95, 8mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  1  <_  0
10 breq2 4317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <_  ( # `  V
)  <->  1  <_  0
) )
119, 10mtbiri 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  -.  1  <_  ( # `  V
) )
1211necon2ai 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  =/=  0 )
14 elnnne0 10614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  ( ( # `  V )  e.  NN0  /\  ( # `  V
)  =/=  0 ) )
154, 13, 14sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  <_  ( # `  V
)  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )
1615ex 434 . . . . . . 7  |-  ( 1  <_  ( # `  V
)  ->  ( ( # `
 V )  e. 
NN0  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
173, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V )  ->  ( ( # `  V
)  e.  NN0  ->  (
# `  V )  e.  NN ) )
1817impancom 440 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  V  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
1918com12 31 . . . 4  |-  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN ) )
20 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN0  <->  Y  e.  NN0 ) )
2120anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V )  e.  NN0 )  <->  ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 ) ) )
22 eleq1 2503 . . . . 5  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( (
# `  V )  e.  NN  <->  Y  e.  NN ) )
2321, 22imbi12d 320 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( ( ( V  e.  W  /\  ( # `  V
)  e.  NN0 )  ->  ( # `  V
)  e.  NN )  <-> 
( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2419, 23syl5ib 219 . . 3  |-  ( (
# `  V )  =  Y  ->  ( N  e.  V  ->  (
( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  NN ) ) )
2524imp 429 . 2  |-  ( ( ( # `  V
)  =  Y  /\  N  e.  V )  ->  ( ( V  e.  W  /\  Y  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  NN ) )
2625impcom 430 1  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( ( # `  V )  =  Y  /\  N  e.  V
) )  ->  Y  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   (/)c0 3658   class class class wbr 4313   ` cfv 5439   0cc0 9303   1c1 9304    < clt 9439    <_ cle 9440   NNcn 10343   NN0cn0 10600   #chash 12124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-hash 12125
This theorem is referenced by:  cusgrasize2inds  23407
  Copyright terms: Public domain W3C validator