MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashneq0 Structured version   Unicode version

Theorem hashneq0 12252
Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashneq0  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )

Proof of Theorem hashneq0
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 12233 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  NN0  \/  ( # `
 A )  = +oo ) )
2 nn0re 10702 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
3 nn0ge0 10719 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  0  <_  (
# `  A )
)
4 ne0gt0 9593 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  A )  =/=  0  <->  0  <  (
# `  A )
) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A )  =/=  0  <->  0  <  ( # `
 A ) ) )
65bicomd 201 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
7 breq2 4407 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  0  < +oo ) )
8 neeq1 2733 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( ( # `
 A )  =/=  0  <-> +oo  =/=  0 ) )
9 0ltpnf 11217 . . . . . . 7  |-  0  < +oo
10 0re 9500 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
11 renepnf 9545 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  =/= +oo
1312necomi 2722 . . . . . . 7  |- +oo  =/=  0
149, 132th 239 . . . . . 6  |-  ( 0  < +oo  <-> +oo  =/=  0 )
158, 14syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  < +oo  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
167, 15bitrd 253 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
176, 16jaoi 379 . . 3  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  \/  ( # `  A )  = +oo )  -> 
( 0  <  ( # `
 A )  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
181, 17syl 16 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
19 hasheq0 12251 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
2019necon3bid 2710 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  (/) ) )
2118, 20bitrd 253 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   RRcr 9395   0cc0 9396   +oocpnf 9529    < clt 9532    <_ cle 9533   NN0cn0 10693   #chash 12223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-hash 12224
This theorem is referenced by:  hashgt0n0  12253  wrdlenge1n0  12381  lswlgt0cl  12392  ccatval1lsw  12404  ccatws1n0  12431  swrdlsw  12467  2swrd1eqwrdeq  12469  ccats1swrdeq  12484  ccats1swrdeqrex  30427  clwwlkext2edg  30632  wwlkext2clwwlk  30633  clwwlkextfrlem1  30837
  Copyright terms: Public domain W3C validator