MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashneq0 Structured version   Unicode version

Theorem hashneq0 12413
Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashneq0  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )

Proof of Theorem hashneq0
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 12394 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  NN0  \/  ( # `
 A )  = +oo ) )
2 nn0re 10810 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
3 nn0ge0 10827 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  0  <_  (
# `  A )
)
4 ne0gt0 9692 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  A )  =/=  0  <->  0  <  (
# `  A )
) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A )  =/=  0  <->  0  <  ( # `
 A ) ) )
65bicomd 201 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
7 breq2 4441 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  0  < +oo ) )
8 neeq1 2724 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( ( # `
 A )  =/=  0  <-> +oo  =/=  0 ) )
9 0ltpnf 11341 . . . . . . 7  |-  0  < +oo
10 0re 9599 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
11 renepnf 9644 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  =/= +oo
1312necomi 2713 . . . . . . 7  |- +oo  =/=  0
149, 132th 239 . . . . . 6  |-  ( 0  < +oo  <-> +oo  =/=  0 )
158, 14syl6rbbr 264 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  < +oo  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
167, 15bitrd 253 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
176, 16jaoi 379 . . 3  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  \/  ( # `  A )  = +oo )  -> 
( 0  <  ( # `
 A )  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
181, 17syl 16 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
19 hasheq0 12412 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
2019necon3bid 2701 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  (/) ) )
2118, 20bitrd 253 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   ` cfv 5578   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628    < clt 9631    <_ cle 9632   NN0cn0 10801   #chash 12384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-hash 12385
This theorem is referenced by:  hashgt0n0  12414  wrdlenge1n0  12555  lswlgt0cl  12569  ccatval1lsw  12581  ccatws1n0  12615  swrdlsw  12656  2swrd1eqwrdeq  12658  ccats1swrdeq  12673  ccats1swrdeqrex  12683  clwwlkext2edg  24674  wwlkext2clwwlk  24675  clwwlkextfrlem1  24948
  Copyright terms: Public domain W3C validator