MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashneq0 Structured version   Unicode version

Theorem hashneq0 12495
Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashneq0  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )

Proof of Theorem hashneq0
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 12475 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  NN0  \/  ( # `
 A )  = +oo ) )
2 nn0re 10829 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
3 nn0ge0 10846 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  0  <_  (
# `  A )
)
4 ne0gt0 9690 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  A )  =/=  0  <->  0  <  (
# `  A )
) )
52, 3, 4syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A )  =/=  0  <->  0  <  ( # `
 A ) ) )
65bicomd 204 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
7 breq2 4370 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  0  < +oo ) )
8 neeq1 2663 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( ( # `
 A )  =/=  0  <-> +oo  =/=  0 ) )
9 0ltpnf 11375 . . . . . . 7  |-  0  < +oo
10 0re 9594 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
11 renepnf 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  =/= +oo
1312necomi 2655 . . . . . . 7  |- +oo  =/=  0
149, 132th 242 . . . . . 6  |-  ( 0  < +oo  <-> +oo  =/=  0 )
158, 14syl6rbbr 267 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  < +oo  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
167, 15bitrd 256 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( 0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
176, 16jaoi 380 . . 3  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  \/  ( # `  A )  = +oo )  -> 
( 0  <  ( # `
 A )  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
181, 17syl 17 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  ( # `  A
)  =/=  0 ) )
19 hasheq0 12494 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
2019necon3bid 2645 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  (/) ) )
2118, 20bitrd 256 1  |-  ( A  e.  V  ->  (
0  <  ( # `  A
)  <->  A  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   (/)c0 3704   class class class wbr 4366   ` cfv 5544   RRcr 9489   0cc0 9490   +oocpnf 9623    < clt 9626    <_ cle 9627   NN0cn0 10820   #chash 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-hash 12466
This theorem is referenced by:  hashgt0n0  12496  wrdlenge1n0  12650  ccatws1n0  12711  swrdlsw  12754  2swrd1eqwrdeq  12756  ccats1swrdeq  12771  ccats1swrdeqrex  12781  wwlkextinj  25400  clwwlkext2edg  25472  wwlkext2clwwlk  25473  clwwlkextfrlem1  25746  pfxsuff1eqwrdeq  38761  ccats1pfxeq  38775
  Copyright terms: Public domain W3C validator