MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnemnf Structured version   Unicode version

Theorem hashnemnf 12533
Description: The size of a set is never minus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashnemnf  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  =/= -oo )

Proof of Theorem hashnemnf
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 12531 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( # `  A )  e.  NN0  \/  ( # `
 A )  = +oo ) )
2 mnfnre 9690 . . . . . 6  |- -oo  e/  RR
3 df-nel 2617 . . . . . . 7  |-  ( -oo  e/  RR  <->  -. -oo  e.  RR )
4 nn0re 10885 . . . . . . . 8  |-  ( -oo  e.  NN0  -> -oo  e.  RR )
54con3i 140 . . . . . . 7  |-  ( -. -oo  e.  RR  ->  -. -oo  e.  NN0 )
63, 5sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( -oo  e/  RR  ->  -. -oo  e.  NN0 )
72, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  -. -oo  e.  NN0
8 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  = -oo  ->  ( ( # `
 A )  e. 
NN0 
<-> -oo  e.  NN0 )
)
97, 8mtbiri 304 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  = -oo  ->  -.  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
109necon2ai 2655 . . 3  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  =/= -oo )
11 pnfnemnf 11424 . . . 4  |- +oo  =/= -oo
12 neeq1 2701 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( ( # `
 A )  =/= -oo 
<-> +oo  =/= -oo )
)
1311, 12mpbiri 236 . . 3  |-  ( (
# `  A )  = +oo  ->  ( # `  A
)  =/= -oo )
1410, 13jaoi 380 . 2  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  \/  ( # `  A )  = +oo )  -> 
( # `  A )  =/= -oo )
151, 14syl 17 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( # `
 A )  =/= -oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    e/ wnel 2615   ` cfv 5601   RRcr 9545   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   NN0cn0 10876   #chash 12521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-hash 12522
This theorem is referenced by:  hashinfxadd  12570  vdgrun  25627
  Copyright terms: Public domain W3C validator