MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashle00 Structured version   Unicode version

Theorem hashle00 12277
Description: If the size of a set is less than or equal to zero, the set must be empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashle00  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  V  =  (/) ) )

Proof of Theorem hashle00
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 12231 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  e.  NN0  \/  ( # `
 V )  = +oo ) )
2 nn0pnfge0 11224 . . . 4  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  \/  ( # `  V )  = +oo )  -> 
0  <_  ( # `  V
) )
3 hashxrcl 12245 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  W  ->  ( # `
 V )  e. 
RR* )
4 0xr 9542 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
5 xrletri3 11241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  ( ( # `
 V )  <_ 
0  /\  0  <_  (
# `  V )
) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  ( ( # `
 V )  <_ 
0  /\  0  <_  (
# `  V )
) ) )
7 hasheq0 12249 . . . . . . . . 9  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  0  <->  V  =  (/) ) )
87biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  0  ->  V  =  (/) ) )
96, 8sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  W  ->  (
( ( # `  V
)  <_  0  /\  0  <_  ( # `  V
) )  ->  V  =  (/) ) )
109com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  V
)  <_  0  /\  0  <_  ( # `  V
) )  ->  ( V  e.  W  ->  V  =  (/) ) )
1110expcom 435 . . . . 5  |-  ( 0  <_  ( # `  V
)  ->  ( ( # `
 V )  <_ 
0  ->  ( V  e.  W  ->  V  =  (/) ) ) )
1211com23 78 . . . 4  |-  ( 0  <_  ( # `  V
)  ->  ( V  e.  W  ->  ( (
# `  V )  <_  0  ->  V  =  (/) ) ) )
132, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  NN0  \/  ( # `  V )  = +oo )  -> 
( V  e.  W  ->  ( ( # `  V
)  <_  0  ->  V  =  (/) ) ) )
141, 13mpcom 36 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  <_  0  ->  V  =  (/) ) )
15 0le0 10523 . . . 4  |-  0  <_  0
16 fveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( V  =  (/)  ->  ( # `  V )  =  (
# `  (/) ) )
1716breq1d 4411 . . . . 5  |-  ( V  =  (/)  ->  ( (
# `  V )  <_  0  <->  ( # `  (/) )  <_ 
0 ) )
18 hash0 12253 . . . . . . 7  |-  ( # `  (/) )  =  0
1918breq1i 4408 . . . . . 6  |-  ( (
# `  (/) )  <_ 
0  <->  0  <_  0
)
2019a1i 11 . . . . 5  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  (/) )  <_ 
0  <->  0  <_  0
) )
2117, 20sylan9bbr 700 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =  (/) )  -> 
( ( # `  V
)  <_  0  <->  0  <_  0 ) )
2215, 21mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =  (/) )  -> 
( # `  V )  <_  0 )
2322ex 434 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  =  (/)  ->  ( # `
 V )  <_ 
0 ) )
2414, 23impbid 191 1  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  V  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3746   class class class wbr 4401   ` cfv 5527   0cc0 9394   +oocpnf 9527   RR*cxr 9529    <_ cle 9531   NN0cn0 10691   #chash 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-hash 12222
This theorem is referenced by:  hashgt0elex  12278  rusgranumwlks  30723
  Copyright terms: Public domain W3C validator