MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Structured version   Unicode version

Theorem hashiun 13615
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
Assertion
Ref Expression
hashiun  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumiun.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
3 fsumiun.3 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
4 1cnd 9624 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
51, 2, 3, 4fsumiun 13614 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1 )
62ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
7 iunfi 7820 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
9 ax-1cn 9562 . . . 4  |-  1  e.  CC
10 fsumconst 13584 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B 1  =  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
118, 9, 10sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
12 hashcl 12408 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
13 nn0cn 10817 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e. 
NN0  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC )
14 mulid1 9605 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
158, 12, 13, 144syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  (
# `  U_ x  e.  A  B ) )
1611, 15eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
17 fsumconst 13584 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  B 
1  =  ( (
# `  B )  x.  1 ) )
182, 9, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( ( # `  B
)  x.  1 ) )
19 hashcl 12408 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
20 nn0cn 10817 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
21 mulid1 9605 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 B )  x.  1 )  =  (
# `  B )
)
222, 19, 20, 214syl 21 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( # `  B )  x.  1 )  =  ( # `  B
) )
2318, 22eqtrd 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( # `  B ) )
2423sumeq2dv 13504 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
255, 16, 243eqtr3d 2516 1  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   U_ciun 4331  Disj wdisj 4423   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   CCcc 9502   1c1 9505    x. cmul 9509   NN0cn0 10807   #chash 12385   sum_csu 13487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488
This theorem is referenced by:  hashrabrex  13616  hashuni  13617  ackbijnn  13619  cshwshashnsame  14462  lgsquadlem1  23493  lgsquadlem2  23494  frghash2spot  24895  usgreghash2spotv  24898  usgreghash2spot  24901  numclwwlk4  24942  hashunif  27436  phisum  31094
  Copyright terms: Public domain W3C validator