MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashiun Structured version   Unicode version

Theorem hashiun 13297
Description: The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
Assertion
Ref Expression
hashiun  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem hashiun
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumiun.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
3 fsumiun.3 . . 3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
4 1cnd 9414 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  -> 
1  e.  CC )
51, 2, 3, 4fsumiun 13296 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1 )
62ralrimiva 2811 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
7 iunfi 7611 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
81, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
9 ax-1cn 9352 . . . 4  |-  1  e.  CC
10 fsumconst 13269 . . . 4  |-  ( (
U_ x  e.  A  B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B 1  =  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
118, 9, 10sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 ) )
12 hashcl 12138 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  e.  Fin  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  NN0 )
13 nn0cn 10601 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e. 
NN0  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC )
14 mulid1 9395 . . . 4  |-  ( (
# `  U_ x  e.  A  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
158, 12, 13, 144syl 21 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U_ x  e.  A  B )  x.  1 )  =  (
# `  U_ x  e.  A  B ) )
1611, 15eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B
1  =  ( # `  U_ x  e.  A  B ) )
17 fsumconst 13269 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  B 
1  =  ( (
# `  B )  x.  1 ) )
182, 9, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( ( # `  B
)  x.  1 ) )
19 hashcl 12138 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
20 nn0cn 10601 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
21 mulid1 9395 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  CC  ->  ( ( # `
 B )  x.  1 )  =  (
# `  B )
)
222, 19, 20, 214syl 21 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( # `  B )  x.  1 )  =  ( # `  B
) )
2318, 22eqtrd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  1  =  ( # `  B ) )
2423sumeq2dv 13192 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  1  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
255, 16, 243eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  ->  ( # `  U_ x  e.  A  B )  =  sum_ x  e.  A  ( # `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   U_ciun 4183  Disj wdisj 4274   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   CCcc 9292   1c1 9295    x. cmul 9299   NN0cn0 10591   #chash 12115   sum_csu 13175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176
This theorem is referenced by:  hashiunOLD  13299  hashuni  13300  ackbijnn  13303  cshwshashnsame  14142  lgsquadlem1  22705  lgsquadlem2  22706  hashunif  26096  phisum  29579  hashrabrex  30243  frghash2spot  30668  usgreghash2spotv  30671  usgreghash2spot  30674  numclwwlk4  30715
  Copyright terms: Public domain W3C validator