Theorem hashinf 12384

Description: The value of the # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	|- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3102	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		eldif 3468	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) )
3		df-hash 12380	. . . . . . 7 |- # = ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
4	3	reseq1i 5255	. . . . . 6 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) )
5		resundir 5274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) )
6		disjdif 3882	. . . . . . . . 9 |- ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/)
7		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
8		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card )
9	7, 8	hashkf 12381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0
10		ffn 5717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0 -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin )
11		fnresdisj 5677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin -> ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) )
13	6, 12	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/)
14		pnfex 11326	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. _V
15	14	fconst 5757	. . . . . . . . 9 |- ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo }
16		ffn 5717	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo } -> ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) )
17		fnresdm 5676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
19	13, 18	uneq12i 3638	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
20		uncom 3630	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) )
21		un0 3792	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
22	19, 20, 21	3eqtri 2474	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
23	4, 5, 22	3eqtri 2474	. . . . 5 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
24	23	fveq1i 5853	. . . 4 |- ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A )
25		fvres 5866	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( # ` A ) )
26	14	fvconst2 6107	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A ) = +oo )
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2506	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
28	2, 27	sylbir 213	. 2 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
29	1, 28	sylan 471	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   _Vcvv 3093   \ cdif 3455   u. cun 3456   i^i cin 3457   (/)c0 3767   {csn 4010   |-> cmpt 4491   X. cxp 4983   |` cres 4987   o. ccom 4989   Fn wfn 5569   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   omcom 6681   reccrdg 7073   Fincfn 7514   cardccrd 8314   0cc0 9490   1c1 9491   + caddc 9493   +oocpnf 9623   NN0cn0 10796   #chash 12379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-hash 12380

This theorem is referenced by:  hashbnd  12385  hasheni  12395  hasheqf1oi  12398  hashclb  12404  hasheq0  12407  hashdom  12421  hashdomi  12422  hashunx  12428  hashge1  12431  hashss  12448  hash1snb  12453  hashge2el2dif  12495  odhash  16463  lt6abl  16766  umgrafi  24187  sizeusglecusg  24351  hashnbgravdg  24778  esumpinfsum  27949  hasheuni  27957  pgrpgt2nabl  32667