Theorem hashinf 12108

Description: The value of the # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	|- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2981	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		eldif 3338	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) )
3		df-hash 12104	. . . . . . 7 |- # = ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
4	3	reseq1i 5106	. . . . . 6 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) )
5		resundir 5125	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) )
6		disjdif 3751	. . . . . . . . 9 |- ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/)
7		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
8		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card )
9	7, 8	hashkf 12105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0
10		ffn 5559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0 -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin )
11		fnresdisj 5521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin -> ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) )
13	6, 12	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/)
14		pnfex 11093	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. _V
15	14	fconst 5596	. . . . . . . . 9 |- ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo }
16		ffn 5559	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo } -> ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) )
17		fnresdm 5520	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
19	13, 18	uneq12i 3508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
20		uncom 3500	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) )
21		un0 3662	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
22	19, 20, 21	3eqtri 2467	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
23	4, 5, 22	3eqtri 2467	. . . . 5 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
24	23	fveq1i 5692	. . . 4 |- ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A )
25		fvres 5704	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( # ` A ) )
26	14	fvconst2 5933	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A ) = +oo )
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2499	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
28	2, 27	sylbir 213	. 2 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
29	1, 28	sylan 471	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   u. cun 3326   i^i cin 3327   (/)c0 3637   {csn 3877   e. cmpt 4350   X. cxp 4838   |` cres 4842   o. ccom 4844   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   omcom 6476   reccrdg 6865   Fincfn 7310   cardccrd 8105   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   +oocpnf 9415   NN0cn0 10579   #chash 12103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-hash 12104

This theorem is referenced by:  hashbnd  12109  hasheni  12119  hasheqf1oi  12122  hashclb  12128  hasheq0  12131  hashdom  12142  hashdomi  12143  hashunx  12149  hashge1  12152  hashss  12166  hash1snb  12171  euhash1  12172  hashge2el2dif  12184  odhash  16073  lt6abl  16371  umgrafi  23256  sizeusglecusg  23394  hashnbgravdg  23581  esumpinfsum  26526  hasheuni  26534  pgrpgt2nabel  30769