Theorem hashinf 12365

Description: The value of the # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	|- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3115	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		eldif 3479	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) )
3		df-hash 12361	. . . . . . 7 |- # = ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
4	3	reseq1i 5260	. . . . . 6 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) )
5		resundir 5279	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) )
6		disjdif 3892	. . . . . . . . 9 |- ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/)
7		eqid 2460	. . . . . . . . . . 11 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
8		eqid 2460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card )
9	7, 8	hashkf 12362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0
10		ffn 5722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0 -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin )
11		fnresdisj 5682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin -> ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) )
13	6, 12	mpbi 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/)
14		pnfex 11311	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. _V
15	14	fconst 5762	. . . . . . . . 9 |- ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo }
16		ffn 5722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo } -> ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) )
17		fnresdm 5681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
19	13, 18	uneq12i 3649	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
20		uncom 3641	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) )
21		un0 3803	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
22	19, 20, 21	3eqtri 2493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
23	4, 5, 22	3eqtri 2493	. . . . 5 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
24	23	fveq1i 5858	. . . 4 |- ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A )
25		fvres 5871	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( # ` A ) )
26	14	fvconst2 6107	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A ) = +oo )
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2525	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
28	2, 27	sylbir 213	. 2 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
29	1, 28	sylan 471	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   _Vcvv 3106   \ cdif 3466   u. cun 3467   i^i cin 3468   (/)c0 3778   {csn 4020   |-> cmpt 4498   X. cxp 4990   |` cres 4994   o. ccom 4996   Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   omcom 6671   reccrdg 7065   Fincfn 7506   cardccrd 8305   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   +oocpnf 9614   NN0cn0 10784   #chash 12360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-hash 12361

This theorem is referenced by:  hashbnd  12366  hasheni  12376  hasheqf1oi  12379  hashclb  12385  hasheq0  12388  hashdom  12402  hashdomi  12403  hashunx  12409  hashge1  12412  hashss  12426  hash1snb  12431  euhash1  12432  hashge2el2dif  12474  odhash  16383  lt6abl  16681  umgrafi  23985  sizeusglecusg  24148  hashnbgravdg  24575  esumpinfsum  27709  hasheuni  27717  pgrpgt2nabl  31899