Theorem hashinf 12519

Description: The value of the # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	|- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3090	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		eldif 3446	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) )
3		df-hash 12515	. . . . . . 7 |- # = ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
4	3	reseq1i 5116	. . . . . 6 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) )
5		resundir 5134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) )
6		disjdif 3867	. . . . . . . . 9 |- ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/)
7		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
8		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card )
9	7, 8	hashkf 12516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0
10		ffn 5742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0 -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin )
11		fnresdisj 5700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin -> ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) )
13	6, 12	mpbi 211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/)
14		pnfex 11413	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. _V
15	14	fconst 5782	. . . . . . . . 9 |- ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo }
16		ffn 5742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo } -> ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) )
17		fnresdm 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
19	13, 18	uneq12i 3618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
20		uncom 3610	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) )
21		un0 3787	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
22	19, 20, 21	3eqtri 2455	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
23	4, 5, 22	3eqtri 2455	. . . . 5 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
24	23	fveq1i 5878	. . . 4 |- ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A )
25		fvres 5891	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( # ` A ) )
26	14	fvconst2 6131	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A ) = +oo )
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2487	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
28	2, 27	sylbir 216	. 2 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
29	1, 28	sylan 473	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   _Vcvv 3081   \ cdif 3433   u. cun 3434   i^i cin 3435   (/)c0 3761   {csn 3996   |-> cmpt 4479   X. cxp 4847   |` cres 4851   o. ccom 4853   Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   omcom 6702   reccrdg 7131   Fincfn 7573   cardccrd 8370   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   +oocpnf 9672   NN0cn0 10869   #chash 12514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-hash 12515

This theorem is referenced by:  hashbnd  12520  hasheni  12530  hasheqf1oi  12533  hashclb  12539  hasheq0  12543  hashdom  12557  hashdomi  12558  hashunx  12564  hashge1  12567  hashss  12585  hash1snb  12590  hashge2el2dif  12633  odhash  17208  lt6abl  17514  umgrafi  25033  sizeusglecusg  25197  hashnbgravdg  25624  esumpinfsum  28891  hasheuni  28899  umgrfi  38836  pgrpgt2nabl  39339