Theorem hashinf 12558

Description: The value of the # function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashinf	|- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinf

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3040	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		eldif 3400	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) )
3		df-hash 12554	. . . . . . 7 |- # = ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
4	3	reseq1i 5107	. . . . . 6 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) )
5		resundir 5125	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) )
6		disjdif 3830	. . . . . . . . 9 |- ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/)
7		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
8		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card )
9	7, 8	hashkf 12555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0
10		ffn 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) : Fin --> NN0 -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin )
11		fnresdisj 5696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) Fn Fin -> ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fin i^i ( _V \ Fin ) ) = (/) <-> ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/) )
13	6, 12	mpbi 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) = (/)
14		pnfex 11436	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. _V
15	14	fconst 5782	. . . . . . . . 9 |- ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo }
16		ffn 5739	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) : ( _V \ Fin ) --> { +oo } -> ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) )
17		fnresdm 5695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) Fn ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
18	15, 16, 17	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
19	13, 18	uneq12i 3577	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) )
20		uncom 3569	. . . . . . 7 |- ( (/) u. ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) )
21		un0 3762	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) u. (/) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
22	19, 20, 21	3eqtri 2497	. . . . . 6 |- ( ( ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) o. card ) |` ( _V \ Fin ) ) u. ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) |` ( _V \ Fin ) ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
23	4, 5, 22	3eqtri 2497	. . . . 5 |- ( # |` ( _V \ Fin ) ) = ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } )
24	23	fveq1i 5880	. . . 4 |- ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A )
25		fvres 5893	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( # |` ( _V \ Fin ) ) ` A ) = ( # ` A ) )
26	14	fvconst2 6136	. . . 4 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( ( ( _V \ Fin ) X. { +oo } ) ` A ) = +oo )
27	24, 25, 26	3eqtr3a 2529	. . 3 |- ( A e. ( _V \ Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
28	2, 27	sylbir 218	. 2 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )
29	1, 28	sylan 479	1 |- ( ( A e. V /\ -. A e. Fin ) -> ( # ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   |` cres 4841   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   omcom 6711   reccrdg 7145   Fincfn 7587   cardccrd 8387   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   +oocpnf 9690   NN0cn0 10893   #chash 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-hash 12554

This theorem is referenced by:  hashbnd  12559  hasheni  12569  hasheqf1oi  12572  hashclb  12578  hasheq0  12582  hashdom  12596  hashdomi  12597  hashunx  12603  hashge1  12606  hashss  12624  hash1snb  12634  hashge2el2dif  12678  odhash  17301  lt6abl  17607  umgrafi  25128  sizeusglecusg  25293  hashnbgravdg  25720  esumpinfsum  28972  hasheuni  28980  nfile  39217  upgrfi  39337  pgrpgt2nabl  40659