Theorem hashgval2 12554

Description: A short expression for the G function of hashgf1o 12181. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgval2	|- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Proof of Theorem hashgval2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashresfn 12520	. . 3 |- ( # |` om ) Fn om
2		frfnom 7160	. . 3 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om
3		eqfnfv 5991	. . 3 |- ( ( ( # |` om ) Fn om /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om ) -> ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 676	. 2 |- ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
5		fvres 5895	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( # ` y ) )
6		nnfi 7771	. . . 4 |- ( y e. om -> y e. Fin )
7		eqid 2429	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
8	7	hashgval 12515	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
9	6, 8	syl 17	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
10		cardnn 8396	. . . 4 |- ( y e. om -> ( card ` y ) = y )
11	10	fveq2d 5885	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
12	5, 9, 11	3eqtr2d 2476	. 2 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
13	4, 12	mprgbir 2796	1 |- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Syntax hints:   <-> wb 187   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087   |-> cmpt 4484   |` cres 4856   Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706   reccrdg 7135   Fincfn 7577   cardccrd 8368   0cc0 9538   1c1 9539   + caddc 9541   #chash 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-hash 12513

This theorem is referenced by:  ackbijnn  13864  ltbwe  18631