Theorem hashgval2 12133

Description: A short expression for the G function of hashgf1o 11785. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgval2	|- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Proof of Theorem hashgval2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 12102	. . . . 5 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
2		ffn 5554	. . . . 5 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> # Fn _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- # Fn _V
4		ssv 3371	. . . 4 |- om C_ _V
5		fnssres 5519	. . . 4 |- ( ( # Fn _V /\ om C_ _V ) -> ( # |` om ) Fn om )
6	3, 4, 5	mp2an 672	. . 3 |- ( # |` om ) Fn om
7		frfnom 6882	. . 3 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om
8		eqfnfv 5792	. . 3 |- ( ( ( # |` om ) Fn om /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om ) -> ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. 2 |- ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
10		fvres 5699	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( # ` y ) )
11		nnfi 7495	. . . 4 |- ( y e. om -> y e. Fin )
12		eqid 2438	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
13	12	hashgval 12098	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
14	11, 13	syl 16	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
15		cardnn 8125	. . . 4 |- ( y e. om -> ( card ` y ) = y )
16	15	fveq2d 5690	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
17	10, 14, 16	3eqtr2d 2476	. 2 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
18	9, 17	mprgbir 2781	1 |- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Syntax hints:   <-> wb 184   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   u. cun 3321   C_ wss 3323   {csn 3872   e. cmpt 4345   |` cres 4837   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   omcom 6471   reccrdg 6857   Fincfn 7302   cardccrd 8097   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   +oocpnf 9407   NN0cn0 10571   #chash 12095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-hash 12096

This theorem is referenced by:  ackbijnn  13283  ltbwe  17529