Theorem hashgval2 11607

Description: A short expression for the G function of hashgf1o 11265. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgval2	|- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Proof of Theorem hashgval2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 11580	. . . . 5 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
2		ffn 5550	. . . . 5 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> # Fn _V )
3	1, 2	ax-mp 8	. . . 4 |- # Fn _V
4		ssv 3328	. . . 4 |- om C_ _V
5		fnssres 5517	. . . 4 |- ( ( # Fn _V /\ om C_ _V ) -> ( # |` om ) Fn om )
6	3, 4, 5	mp2an 654	. . 3 |- ( # |` om ) Fn om
7		frfnom 6651	. . 3 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om
8		eqfnfv 5786	. . 3 |- ( ( ( # |` om ) Fn om /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om ) -> ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 654	. 2 |- ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
10		fvres 5704	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( # ` y ) )
11		nnfi 7258	. . . 4 |- ( y e. om -> y e. Fin )
12		eqid 2404	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
13	12	hashgval 11576	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
14	11, 13	syl 16	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
15		cardnn 7806	. . . 4 |- ( y e. om -> ( card ` y ) = y )
16	15	fveq2d 5691	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
17	10, 14, 16	3eqtr2d 2442	. 2 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
18	9, 17	mprgbir 2736	1 |- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Syntax hints:   <-> wb 177   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   u. cun 3278   C_ wss 3280   {csn 3774   e. cmpt 4226   omcom 4804   |` cres 4839   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626   Fincfn 7068   cardccrd 7778   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   +oocpnf 9073   NN0cn0 10177   #chash 11573

This theorem is referenced by:  ackbijnn  12562  ltbwe  16488

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-hash 11574