Theorem hashgval2 12414

Description: A short expression for the G function of hashgf1o 12049. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgval2	|- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Proof of Theorem hashgval2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 12380	. . . . 5 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
2		ffn 5731	. . . . 5 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> # Fn _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- # Fn _V
4		ssv 3524	. . . 4 |- om C_ _V
5		fnssres 5694	. . . 4 |- ( ( # Fn _V /\ om C_ _V ) -> ( # |` om ) Fn om )
6	3, 4, 5	mp2an 672	. . 3 |- ( # |` om ) Fn om
7		frfnom 7100	. . 3 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om
8		eqfnfv 5975	. . 3 |- ( ( ( # |` om ) Fn om /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om ) -> ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. 2 |- ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
10		fvres 5880	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( # ` y ) )
11		nnfi 7710	. . . 4 |- ( y e. om -> y e. Fin )
12		eqid 2467	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
13	12	hashgval 12376	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
14	11, 13	syl 16	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
15		cardnn 8344	. . . 4 |- ( y e. om -> ( card ` y ) = y )
16	15	fveq2d 5870	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
17	10, 14, 16	3eqtr2d 2514	. 2 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
18	9, 17	mprgbir 2828	1 |- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Syntax hints:   <-> wb 184   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   u. cun 3474   C_ wss 3476   {csn 4027   |-> cmpt 4505   |` cres 5001   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   omcom 6684   reccrdg 7075   Fincfn 7516   cardccrd 8316   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   +oocpnf 9625   NN0cn0 10795   #chash 12373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-hash 12374

This theorem is referenced by:  ackbijnn  13603  ltbwe  17936