MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval2 Structured version   Unicode version

Theorem hashgval2 12133
Description: A short expression for the  G function of hashgf1o 11785. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgval2  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )

Proof of Theorem hashgval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf 12102 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2 ffn 5554 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  #  Fn  _V
4 ssv 3371 . . . 4  |-  om  C_  _V
5 fnssres 5519 . . . 4  |-  ( (
#  Fn  _V  /\  om  C_  _V )  ->  ( #  |`  om )  Fn  om )
63, 4, 5mp2an 672 . . 3  |-  ( #  |` 
om )  Fn  om
7 frfnom 6882 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om
8 eqfnfv 5792 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om )  Fn  om  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om )  ->  (
( #  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) ) )
96, 7, 8mp2an 672 . 2  |-  ( (
#  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  ( ( #  |` 
om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
10 fvres 5699 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  (
# `  y )
)
11 nnfi 7495 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  Fin )
12 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
1312hashgval 12098 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
15 cardnn 8125 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( card `  y )  =  y )
1615fveq2d 5690 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
1710, 14, 163eqtr2d 2476 . 2  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) )
189, 17mprgbir 2781 1  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967    u. cun 3321    C_ wss 3323   {csn 3872    e. cmpt 4345    |` cres 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   omcom 6471   reccrdg 6857   Fincfn 7302   cardccrd 8097   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   +oocpnf 9407   NN0cn0 10571   #chash 12095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-hash 12096
This theorem is referenced by:  ackbijnn  13283  ltbwe  17529
  Copyright terms: Public domain W3C validator