Theorem hashgval2 12258

Description: A short expression for the G function of hashgf1o 11909. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgval2	|- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Proof of Theorem hashgval2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf 12226	. . . . 5 |- # : _V --> ( NN0 u. { +oo } )
2		ffn 5666	. . . . 5 |- ( # : _V --> ( NN0 u. { +oo } ) -> # Fn _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- # Fn _V
4		ssv 3483	. . . 4 |- om C_ _V
5		fnssres 5631	. . . 4 |- ( ( # Fn _V /\ om C_ _V ) -> ( # |` om ) Fn om )
6	3, 4, 5	mp2an 672	. . 3 |- ( # |` om ) Fn om
7		frfnom 6999	. . 3 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om
8		eqfnfv 5905	. . 3 |- ( ( ( # |` om ) Fn om /\ ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) Fn om ) -> ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) ) )
9	6, 7, 8	mp2an 672	. 2 |- ( ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) <-> A. y e. om ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
10		fvres 5812	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( # ` y ) )
11		nnfi 7613	. . . 4 |- ( y e. om -> y e. Fin )
12		eqid 2454	. . . . 5 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )
13	12	hashgval 12222	. . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
14	11, 13	syl 16	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( # ` y ) )
15		cardnn 8243	. . . 4 |- ( y e. om -> ( card ` y ) = y )
16	15	fveq2d 5802	. . 3 |- ( y e. om -> ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` ( card ` y ) ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
17	10, 14, 16	3eqtr2d 2501	. 2 |- ( y e. om -> ( ( # |` om ) ` y ) = ( ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om ) ` y ) )
18	9, 17	mprgbir 2902	1 |- ( # |` om ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) |` om )

Syntax hints:   <-> wb 184   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076   u. cun 3433   C_ wss 3435   {csn 3984   |-> cmpt 4457   |` cres 4949   Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   omcom 6585   reccrdg 6974   Fincfn 7419   cardccrd 8215   0cc0 9392   1c1 9393   + caddc 9395   +oocpnf 9525   NN0cn0 10689   #chash 12219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-hash 12220

This theorem is referenced by:  ackbijnn  13408  ltbwe  17677