MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval2 Structured version   Unicode version

Theorem hashgval2 12258
Description: A short expression for the  G function of hashgf1o 11909. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgval2  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )

Proof of Theorem hashgval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashf 12226 . . . . 5  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
2 ffn 5666 . . . . 5  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  #  Fn  _V
4 ssv 3483 . . . 4  |-  om  C_  _V
5 fnssres 5631 . . . 4  |-  ( (
#  Fn  _V  /\  om  C_  _V )  ->  ( #  |`  om )  Fn  om )
63, 4, 5mp2an 672 . . 3  |-  ( #  |` 
om )  Fn  om
7 frfnom 6999 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om
8 eqfnfv 5905 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om )  Fn  om  /\  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  Fn  om )  ->  (
( #  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) ) )
96, 7, 8mp2an 672 . 2  |-  ( (
#  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  <->  A. y  e.  om  ( ( #  |` 
om ) `  y
)  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
10 fvres 5812 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  (
# `  y )
)
11 nnfi 7613 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  y  e.  Fin )
12 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
1312hashgval 12222 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( # `  y
) )
15 cardnn 8243 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( card `  y )  =  y )
1615fveq2d 5802 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  y ) )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y ) )
1710, 14, 163eqtr2d 2501 . 2  |-  ( y  e.  om  ->  (
( #  |`  om ) `  y )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  y
) )
189, 17mprgbir 2902 1  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   _Vcvv 3076    u. cun 3433    C_ wss 3435   {csn 3984    |-> cmpt 4457    |` cres 4949    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   omcom 6585   reccrdg 6974   Fincfn 7419   cardccrd 8215   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395   +oocpnf 9525   NN0cn0 10689   #chash 12219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-hash 12220
This theorem is referenced by:  ackbijnn  13408  ltbwe  17677
  Copyright terms: Public domain W3C validator