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Theorem hashgval 12111
Description: The value of the  # function in terms of the mapping  G from  om to  NN0. The proof avoids the use of ax-ac 8633. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
hashgval  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( G `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5130 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
) )  |`  Fin )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  u.  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  { +oo } )  |`  Fin )
)
2 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
3 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
42, 3hashkf 12110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0
5 ffn 5564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) : Fin --> NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin )
6 fnresdm 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  Fn  Fin  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card ) )
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
8 incom 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  ( Fin  i^i  ( _V 
\  Fin ) )
9 disjdif 3756 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fin 
i^i  ( _V  \  Fin ) )  =  (/)
108, 9eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  (/)
11 pnfex 11098 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  _V
1211fconst 5601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo } ) : ( _V  \  Fin ) --> { +oo }
13 ffn 5564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
) : ( _V 
\  Fin ) --> { +oo }  ->  ( ( _V 
\  Fin )  X.  { +oo } )  Fn  ( _V  \  Fin ) )
14 fnresdisj 5526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
)  Fn  ( _V 
\  Fin )  ->  (
( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  (/)  <->  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo } )  |`  Fin )  =  (/) ) )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  i^i  Fin )  =  (/) 
<->  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  { +oo } )  |`  Fin )  =  (/) )
1610, 15mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
)  |`  Fin )  =  (/)
177, 16uneq12i 3513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  u.  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  { +oo } )  |`  Fin )
)  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (/) )
18 un0 3667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (/) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
1917, 18eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  |`  Fin )  u.  ( ( ( _V 
\  Fin )  X.  { +oo } )  |`  Fin )
)  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
201, 19eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
) )  |`  Fin )  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
21 df-hash 12109 . . . . . 6  |-  #  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
) )
2221reseq1i 5111 . . . . 5  |-  ( #  |` 
Fin )  =  ( ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )  u.  (
( _V  \  Fin )  X.  { +oo }
) )  |`  Fin )
23 hashgval.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
2423coeq1i 5004 . . . . 5  |-  ( G  o.  card )  =  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )  o.  card )
2520, 22, 243eqtr4i 2473 . . . 4  |-  ( #  |` 
Fin )  =  ( G  o.  card )
2625fveq1i 5697 . . 3  |-  ( (
#  |`  Fin ) `  A )  =  ( ( G  o.  card ) `  A )
27 cardf2 8118 . . . . 5  |-  card : {
x  |  E. y  e.  On  y  ~~  x }
--> On
28 ffun 5566 . . . . 5  |-  ( card
: { x  |  E. y  e.  On  y  ~~  x } --> On  ->  Fun 
card )
2927, 28ax-mp 5 . . . 4  |-  Fun  card
30 finnum 8123 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
31 fvco 5772 . . . 4  |-  ( ( Fun  card  /\  A  e. 
dom  card )  ->  (
( G  o.  card ) `  A )  =  ( G `  ( card `  A )
) )
3229, 30, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( G  o.  card ) `  A )  =  ( G `  ( card `  A )
) )
3326, 32syl5eq 2487 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( #  |`  Fin ) `  A )  =  ( G `  ( card `  A ) ) )
34 fvres 5709 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( #  |`  Fin ) `  A )  =  (
# `  A )
)
3533, 34eqtr3d 2477 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( G `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    u. cun 3331    i^i cin 3332   (/)c0 3642   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   Oncon0 4724    X. cxp 4843   dom cdm 4845    |` cres 4847    o. ccom 4849   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481   reccrdg 6870    ~~ cen 7312   Fincfn 7315   cardccrd 8110   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   +oocpnf 9420   NN0cn0 10584   #chash 12108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-hash 12109
This theorem is referenced by:  hashginv  12112  hashfz1  12122  hashen  12123  hashcard  12130  hashcl  12131  hashgval2  12146  hashdom  12147  hashun  12150  fz1isolem  12219
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