Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hashgval 12556
 Description: The value of the function in terms of the mapping from to . The proof avoids the use of ax-ac 8907. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1
Assertion
Ref Expression
hashgval
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5125 . . . . . 6
2 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
3 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
42, 3hashkf 12555 . . . . . . . . 9
5 ffn 5739 . . . . . . . . 9
6 fnresdm 5695 . . . . . . . . 9
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8
8 incom 3616 . . . . . . . . . 10
9 disjdif 3830 . . . . . . . . . 10
108, 9eqtri 2493 . . . . . . . . 9
11 pnfex 11436 . . . . . . . . . . 11
1211fconst 5782 . . . . . . . . . 10
13 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
14 fnresdisj 5696 . . . . . . . . . 10
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9
1610, 15mpbi 213 . . . . . . . 8
177, 16uneq12i 3577 . . . . . . 7
18 un0 3762 . . . . . . 7
1917, 18eqtri 2493 . . . . . 6
201, 19eqtri 2493 . . . . 5
21 df-hash 12554 . . . . . 6
2221reseq1i 5107 . . . . 5
23 hashgval.1 . . . . . 6
2423coeq1i 4999 . . . . 5
2520, 22, 243eqtr4i 2503 . . . 4
2625fveq1i 5880 . . 3
27 cardf2 8395 . . . . 5
28 ffun 5742 . . . . 5
2927, 28ax-mp 5 . . . 4
30 finnum 8400 . . . 4
31 fvco 5956 . . . 4
3229, 30, 31sylancr 676 . . 3
3326, 32syl5eq 2517 . 2
34 fvres 5893 . 2
3533, 34eqtr3d 2507 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   cres 4841   ccom 4843  con0 5430   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  com 6711  crdg 7145   cen 7584  cfn 7587  ccrd 8387  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cpnf 9690  cn0 10893  chash 12553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-hash 12554 This theorem is referenced by:  hashginv  12557  hashfz1  12567  hashen  12568  hashcard  12575  hashcl  12576  hashgval2  12595  hashdom  12596  hashun  12599  fz1isolem  12665
 Copyright terms: Public domain W3C validator