MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el Structured version   Unicode version

Theorem hashgt12el 12172
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
Distinct variable groups:    W, a    V, a, b
Allowed substitution hint:    W( b)

Proof of Theorem hashgt12el
StepHypRef Expression
1 hash0 12134 . . . 4  |-  ( # `  (/) )  =  0
2 fveq2 5690 . . . 4  |-  ( (/)  =  V  ->  ( # `  (/) )  =  (
# `  V )
)
31, 2syl5eqr 2488 . . 3  |-  ( (/)  =  V  ->  0  =  ( # `  V
) )
4 breq2 4295 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <  ( # `  V
)  <->  1  <  0
) )
54biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  V )  =  0  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  1  <  0 ) )
65eqcoms 2445 . . . . . 6  |-  ( 0  =  ( # `  V
)  ->  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  1  <  0 ) )
7 0le1 9862 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
8 0re 9385 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
9 1re 9384 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
108, 9lenlti 9493 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  1  <->  -.  1  <  0 )
11 pm2.21 108 . . . . . . . 8  |-  ( -.  1  <  0  -> 
( 1  <  0  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
1210, 11sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  ->  (
1  <  0  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
137, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1  <  0  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
146, 13syl6com 35 . . . . 5  |-  ( 1  <  ( # `  V
)  ->  ( 0  =  ( # `  V
)  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  (
0  =  ( # `  V )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
1615com12 31 . . 3  |-  ( 0  =  ( # `  V
)  ->  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
173, 16syl 16 . 2  |-  ( (/)  =  V  ->  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
18 df-ne 2607 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  V  <->  -.  (/)  =  V )
19 necom 2692 . . . 4  |-  ( (/)  =/=  V  <->  V  =/=  (/) )
2018, 19bitr3i 251 . . 3  |-  ( -.  (/)  =  V  <->  V  =/=  (/) )
21 ralnex 2724 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  V  -.  E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  -.  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
22 ralnex 2724 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  V  -.  a  =/=  b  <->  -.  E. b  e.  V  a  =/=  b )
23 nne 2611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  a  =/=  b  <->  a  =  b )
24 equcom 1732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  b  <->  b  =  a )
2523, 24bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  a  =/=  b  <->  b  =  a )
2625ralbii 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. b  e.  V  -.  a  =/=  b  <->  A. b  e.  V  b  =  a )
2722, 26bitr3i 251 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  A. b  e.  V  b  =  a )
2827ralbii 2738 . . . . . . . 8  |-  ( A. a  e.  V  -.  E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a )
2921, 28bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b  <->  A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a )
30 eqsn 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( V  =  { a }  <->  A. b  e.  V  b  =  a ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( V  =  { a } 
<-> 
A. b  e.  V  b  =  a )
)
3231bicomd 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. b  e.  V  b  =  a  <->  V  =  { a } ) )
3332ralbidv 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a  <->  A. a  e.  V  V  =  { a } ) )
34 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  =  ( # `  { a } ) )
35 hashsnlei 12169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { a }  e.  Fin  /\  ( # `  {
a } )  <_ 
1 )
3635simpri 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { a } )  <_  1
3734, 36syl6eqbr 4328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  <_  1 )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  W  /\  a  e.  V )  ->  ( V  =  {
a }  ->  ( # `
 V )  <_ 
1 ) )
3938reximdva0 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  V  ( V  =  { a }  ->  (
# `  V )  <_  1 ) )
40 r19.36av 2867 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  V  ( V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  <_  1 )  ->  ( A. a  e.  V  V  =  { a }  ->  (
# `  V )  <_  1 ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  V  =  { a }  ->  ( # `  V
)  <_  1 ) )
4233, 41sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a  ->  (
# `  V )  <_  1 ) )
43 hashxrcl 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  e.  W  ->  ( # `
 V )  e. 
RR* )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( # `
 V )  e. 
RR* )
459rexri 9435 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR*
46 xrlenlt 9441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  (
( # `  V )  <_  1  <->  -.  1  <  ( # `  V
) ) )
4744, 45, 46sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
( # `  V )  <_  1  <->  -.  1  <  ( # `  V
) ) )
4842, 47sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( A. a  e.  V  A. b  e.  V  b  =  a  ->  -.  1  <  ( # `  V ) ) )
4929, 48syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  ( -.  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b  ->  -.  1  <  ( # `  V
) ) )
5049con4d 105 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  V  =/=  (/) )  ->  (
1  <  ( # `  V
)  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5150impancom 440 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  ( V  =/=  (/)  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5251com12 31 . . 3  |-  ( V  =/=  (/)  ->  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5320, 52sylbi 195 . 2  |-  ( -.  (/)  =  V  ->  (
( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V ) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b ) )
5417, 53pm2.61i 164 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  1  <  ( # `  V
) )  ->  E. a  e.  V  E. b  e.  V  a  =/=  b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   (/)c0 3636   {csn 3876   class class class wbr 4291   ` cfv 5417   Fincfn 7309   0cc0 9281   1c1 9282   RR*cxr 9416    < clt 9417    <_ cle 9418   #chash 12102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-hash 12103
This theorem is referenced by:  frgrawopreglem5  30639  rng1ne0  30771
  Copyright terms: Public domain W3C validator