MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt0elex Structured version   Unicode version

Theorem hashgt0elex 12433
Description: If the size of a set is greater than zero, the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashgt0elex  |-  ( ( V  e.  W  /\  0  <  ( # `  V
) )  ->  E. x  x  e.  V )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hint:    W( x)

Proof of Theorem hashgt0elex
StepHypRef Expression
1 alnex 1598 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  x  e.  V  <->  -. 
E. x  x  e.  V )
2 eq0 3800 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  V )
32biimpri 206 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  -.  x  e.  V  ->  V  =  (/) )
43a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  x  e.  V  ->  ( V  e.  W  ->  V  =  (/) ) )
51, 4sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x  x  e.  V  ->  ( V  e.  W  ->  V  =  (/) ) )
65impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  V  =  (/) )
7 hashle00 12432 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  V  =  (/) ) )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  V  =  (/) ) )
96, 8mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  ( # `
 V )  <_ 
0 )
10 hashxrcl 12398 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  W  ->  ( # `
 V )  e. 
RR* )
11 0xr 9641 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
12 xrlenlt 9653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  V
) ) )
1310, 11, 12sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  V
) ) )
1413bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( V  e.  W  ->  ( -.  0  <  ( # `  V )  <->  ( # `  V
)  <_  0 ) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  ( -.  0  <  ( # `  V )  <->  ( # `  V
)  <_  0 ) )
169, 15mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  -.  0  <  ( # `  V
) )
1716ex 434 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  ( -.  E. x  x  e.  V  ->  -.  0  <  ( # `  V
) ) )
1817con4d 105 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  (
0  <  ( # `  V
)  ->  E. x  x  e.  V )
)
1918imp 429 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  0  <  ( # `  V
) )  ->  E. x  x  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   0cc0 9493   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   #chash 12374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375
This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  12434  brfi1uzind  12499
  Copyright terms: Public domain W3C validator