MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt0elex Structured version   Unicode version

Theorem hashgt0elex 12564
Description: If the size of a set is greater than zero, the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashgt0elex  |-  ( ( V  e.  W  /\  0  <  ( # `  V
) )  ->  E. x  x  e.  V )
Distinct variable group:    x, V
Allowed substitution hint:    W( x)

Proof of Theorem hashgt0elex
StepHypRef Expression
1 alnex 1661 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  x  e.  V  <->  -. 
E. x  x  e.  V )
2 eq0 3774 . . . . . . . . . 10  |-  ( V  =  (/)  <->  A. x  -.  x  e.  V )
32biimpri 209 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  -.  x  e.  V  ->  V  =  (/) )
43a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  -.  x  e.  V  ->  ( V  e.  W  ->  V  =  (/) ) )
51, 4sylbir 216 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x  x  e.  V  ->  ( V  e.  W  ->  V  =  (/) ) )
65impcom 431 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  V  =  (/) )
7 hashle00 12563 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  V  =  (/) ) )
87adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  V  =  (/) ) )
96, 8mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  ( # `
 V )  <_ 
0 )
10 hashxrcl 12525 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  W  ->  ( # `
 V )  e. 
RR* )
11 0xr 9676 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
12 xrlenlt 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  V
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  V
) ) )
1310, 11, 12sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  <_  0  <->  -.  0  <  ( # `  V
) ) )
1413bicomd 204 . . . . . 6  |-  ( V  e.  W  ->  ( -.  0  <  ( # `  V )  <->  ( # `  V
)  <_  0 ) )
1514adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  ( -.  0  <  ( # `  V )  <->  ( # `  V
)  <_  0 ) )
169, 15mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  -.  E. x  x  e.  V )  ->  -.  0  <  ( # `  V
) )
1716ex 435 . . 3  |-  ( V  e.  W  ->  ( -.  E. x  x  e.  V  ->  -.  0  <  ( # `  V
) ) )
1817con4d 108 . 2  |-  ( V  e.  W  ->  (
0  <  ( # `  V
)  ->  E. x  x  e.  V )
)
1918imp 430 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  0  <  ( # `  V
) )  ->  E. x  x  e.  V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867   (/)c0 3758   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   0cc0 9528   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665   #chash 12501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-hash 12502
This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  12565  brfi1uzind  12630
  Copyright terms: Public domain W3C validator