Theorem hashge3el3dif 12642

Description: A set with size at least 3 has at least 3 different elements. In contrast to hashge2el2dif 12637, which has an elementary proof, the dominance relation and 1-1 functions from a set with three elements which are known to be different are used to prove this theorem. Although there is also an elementary proof for this theorem, it might be much longer. After all, this proof should be kept because it can be used as template for proofs for higher cardinalities. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hashge3el3dif	|- ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )

Distinct variable group:   x, D, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem hashge3el3dif

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4574	. . . . . . . . 9 |- (/) =/= { (/) }
2		0ex 4535	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
3	2	sneqr 4139	. . . . . . . . . . 11 |- ( { (/) } = { { (/) } } -> (/) = { (/) } )
4	3	necon3i 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) =/= { (/) } -> { (/) } =/= { { (/) } } )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } =/= { { (/) } }
6		snex 4641	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
7		snnzg 4089	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. _V -> { { (/) } } =/= (/) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { { (/) } } =/= (/)
9	1, 5, 8	3pm3.2i 1186	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= { (/) } /\ { (/) } =/= { { (/) } } /\ { { (/) } } =/= (/) )
10		snex 4641	. . . . . . . . . 10 |- { { (/) } } e. _V
11	2, 6, 10	3pm3.2i 1186	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V /\ { { (/) } } e. _V )
12		hashtpg 12641	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V /\ { { (/) } } e. _V ) -> ( ( (/) =/= { (/) } /\ { (/) } =/= { { (/) } } /\ { { (/) } } =/= (/) ) <-> ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) = 3 ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) =/= { (/) } /\ { (/) } =/= { { (/) } } /\ { { (/) } } =/= (/) ) <-> ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) = 3 )
14	9, 13	mpbi 212	. . . . . . 7 |- ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) = 3
15	14	eqcomi 2460	. . . . . 6 |- 3 = ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( D e. V -> 3 = ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) )
17	16	breq1d 4412	. . . 4 |- ( D e. V -> ( 3 <_ ( # ` D ) <-> ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) <_ ( # ` D ) ) )
18		tpfi 7847	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } , { { (/) } } } e. Fin
19		hashdom 12558	. . . . 5 |- ( ( { (/) , { (/) } , { { (/) } } } e. Fin /\ D e. V ) -> ( ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) <_ ( # ` D ) <-> { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D ) )
20	18, 19	mpan 676	. . . 4 |- ( D e. V -> ( ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) <_ ( # ` D ) <-> { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D ) )
21	17, 20	bitrd 257	. . 3 |- ( D e. V -> ( 3 <_ ( # ` D ) <-> { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D ) )
22		brdomg 7579	. . . 4 |- ( D e. V -> ( { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D <-> E. f f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) )
23	11	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V /\ { { (/) } } e. _V ) )
24	7	necomd 2679	. . . . . . . . . . 11 |- ( { (/) } e. _V -> (/) =/= { { (/) } } )
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (/) =/= { { (/) } }
26	1, 25, 5	3pm3.2i 1186	. . . . . . . . 9 |- ( (/) =/= { (/) } /\ (/) =/= { { (/) } } /\ { (/) } =/= { { (/) } } )
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> ( (/) =/= { (/) } /\ (/) =/= { { (/) } } /\ { (/) } =/= { { (/) } } ) )
28		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D )
29	23, 27, 28	f1dom3el3dif 6169	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )
30	29	expcom 437	. . . . . 6 |- ( f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D -> ( D e. V -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
31	30	exlimiv 1776	. . . . 5 |- ( E. f f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D -> ( D e. V -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
32	31	com12 32	. . . 4 |- ( D e. V -> ( E. f f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
33	22, 32	sylbid 219	. . 3 |- ( D e. V -> ( { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
34	21, 33	sylbid 219	. 2 |- ( D e. V -> ( 3 <_ ( # ` D ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
35	34	imp 431	1 |- ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   {csn 3968   {ctp 3972   class class class wbr 4402   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582   ~<_ cdom 7567   Fincfn 7569   <_ cle 9676   3c3 10660   #chash 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  17116