Theorem hashge3el3dif 12484

Description: A set with size at least 3 has at least 3 different elements. In contrast to hashge2el2dif 12481, which has an elementary proof, the dominance relation and 1-1 functions from a set with three elements which are known to be different are used to prove this theorem. Although there is also an elementary proof for this theorem, it might be much longer. After all, this proof should be kept because it can be used as template for proofs for higher cardinalities. (Contributed by AV, 20-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hashge3el3dif	|- ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )

Distinct variable group:   x, D, y, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem hashge3el3dif

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nep0 4618	. . . . . . . . 9 |- (/) =/= { (/) }
2		0ex 4577	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
3	2	sneqr 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( { (/) } = { { (/) } } -> (/) = { (/) } )
4	3	necon3i 2707	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) =/= { (/) } -> { (/) } =/= { { (/) } } )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } =/= { { (/) } }
6		snex 4688	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
7		snnzg 4144	. . . . . . . . . 10 |- ( { (/) } e. _V -> { { (/) } } =/= (/) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { { (/) } } =/= (/)
9	1, 5, 8	3pm3.2i 1174	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= { (/) } /\ { (/) } =/= { { (/) } } /\ { { (/) } } =/= (/) )
10		snex 4688	. . . . . . . . . 10 |- { { (/) } } e. _V
11	2, 6, 10	3pm3.2i 1174	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V /\ { { (/) } } e. _V )
12		hashtpg 12483	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V /\ { { (/) } } e. _V ) -> ( ( (/) =/= { (/) } /\ { (/) } =/= { { (/) } } /\ { { (/) } } =/= (/) ) <-> ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) = 3 ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) =/= { (/) } /\ { (/) } =/= { { (/) } } /\ { { (/) } } =/= (/) ) <-> ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) = 3 )
14	9, 13	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) = 3
15	14	eqcomi 2480	. . . . . 6 |- 3 = ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( D e. V -> 3 = ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) )
17	16	breq1d 4457	. . . 4 |- ( D e. V -> ( 3 <_ ( # ` D ) <-> ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) <_ ( # ` D ) ) )
18		tpfi 7792	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } , { { (/) } } } e. Fin
19		hashdom 12409	. . . . 5 |- ( ( { (/) , { (/) } , { { (/) } } } e. Fin /\ D e. V ) -> ( ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) <_ ( # ` D ) <-> { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D ) )
20	18, 19	mpan 670	. . . 4 |- ( D e. V -> ( ( # ` { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ) <_ ( # ` D ) <-> { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D ) )
21	17, 20	bitrd 253	. . 3 |- ( D e. V -> ( 3 <_ ( # ` D ) <-> { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D ) )
22		brdomg 7523	. . . 4 |- ( D e. V -> ( { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D <-> E. f f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) )
23	11	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> ( (/) e. _V /\ { (/) } e. _V /\ { { (/) } } e. _V ) )
24	7	necomd 2738	. . . . . . . . . . 11 |- ( { (/) } e. _V -> (/) =/= { { (/) } } )
25	6, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (/) =/= { { (/) } }
26	1, 25, 5	3pm3.2i 1174	. . . . . . . . 9 |- ( (/) =/= { (/) } /\ (/) =/= { { (/) } } /\ { (/) } =/= { { (/) } } )
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> ( (/) =/= { (/) } /\ (/) =/= { { (/) } } /\ { (/) } =/= { { (/) } } ) )
28		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D )
29	23, 27, 28	f1dom3el3dif 6162	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )
30	29	expcom 435	. . . . . 6 |- ( f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D -> ( D e. V -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
31	30	exlimiv 1698	. . . . 5 |- ( E. f f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D -> ( D e. V -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
32	31	com12 31	. . . 4 |- ( D e. V -> ( E. f f : { (/) , { (/) } , { { (/) } } } -1-1-> D -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
33	22, 32	sylbid 215	. . 3 |- ( D e. V -> ( { (/) , { (/) } , { { (/) } } } ~<_ D -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
34	21, 33	sylbid 215	. 2 |- ( D e. V -> ( 3 <_ ( # ` D ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) ) )
35	34	imp 429	1 |- ( ( D e. V /\ 3 <_ ( # ` D ) ) -> E. x e. D E. y e. D E. z e. D ( x =/= y /\ x =/= z /\ y =/= z ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   {ctp 4031   class class class wbr 4447   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586   ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513   <_ cle 9625   3c3 10582   #chash 12367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12368

This theorem is referenced by:  pmtr3ncom  16293