MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2difr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hashge2el2difr 12679
Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2difr  |-  ( ( D  e.  V  /\  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )  ->  2  <_  ( # `  D
) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2difr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashv01gt1 12566 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (
( # `  D )  =  0  \/  ( # `
 D )  =  1  \/  1  < 
( # `  D ) ) )
2 hasheq0 12582 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (
( # `  D )  =  0  <->  D  =  (/) ) )
3 rexeq 2974 . . . . . . 7  |-  ( D  =  (/)  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  <->  E. x  e.  (/)  E. y  e.  D  x  =/=  y ) )
4 rex0 3737 . . . . . . . 8  |-  -.  E. x  e.  (/)  E. y  e.  D  x  =/=  y
5 pm2.21 111 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
E. x  e.  (/)  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  ( E. x  e.  (/)  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `
 D ) ) )
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( D  =  (/)  ->  ( E. x  e.  (/)  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `
 D ) ) )
73, 6sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( D  =  (/)  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_ 
( # `  D ) ) )
82, 7syl6bi 236 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
( # `  D )  =  0  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) ) )
98com12 31 . . . 4  |-  ( (
# `  D )  =  0  ->  ( D  e.  V  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) ) )
10 hash1snb 12634 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (
( # `  D )  =  1  <->  E. z  D  =  { z } ) )
11 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  =  { z }  ->  D  =  {
z } )
12 rexeq 2974 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  =  { z }  ->  ( E. y  e.  D  x  =/=  y 
<->  E. y  e.  {
z } x  =/=  y ) )
1311, 12rexeqbidv 2988 . . . . . . . . 9  |-  ( D  =  { z }  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y 
<->  E. x  e.  {
z } E. y  e.  { z } x  =/=  y ) )
14 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
15 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =/=  y  <->  z  =/=  y ) )
1615rexbidv 2892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  { z } x  =/=  y  <->  E. y  e.  { z } z  =/=  y
) )
1714, 16rexsn 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  { z } E. y  e. 
{ z } x  =/=  y  <->  E. y  e.  {
z } z  =/=  y )
18 neeq2 2706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
z  =/=  y  <->  z  =/=  z ) )
1914, 18rexsn 4002 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  { z } z  =/=  y  <->  z  =/=  z )
2017, 19bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  { z } E. y  e. 
{ z } x  =/=  y  <->  z  =/=  z
)
2113, 20syl6bb 269 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  { z }  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y 
<->  z  =/=  z ) )
22 equid 1863 . . . . . . . . 9  |-  z  =  z
23 eqneqall 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  z  ->  (
z  =/=  z  -> 
2  <_  ( # `  D
) ) )
2422, 23mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( D  =  { z }  ->  ( z  =/=  z  ->  2  <_  (
# `  D )
) )
2521, 24sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( D  =  { z }  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `
 D ) ) )
2625exlimiv 1784 . . . . . 6  |-  ( E. z  D  =  {
z }  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) )
2710, 26syl6bi 236 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
( # `  D )  =  1  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) ) )
2827com12 31 . . . 4  |-  ( (
# `  D )  =  1  ->  ( D  e.  V  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) ) )
29 hashnn0pnf 12563 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  V  ->  (
( # `  D )  e.  NN0  \/  ( # `
 D )  = +oo ) )
30 1z 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
31 nn0z 10984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  D )  e.  NN0  ->  ( # `  D
)  e.  ZZ )
32 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ )  -> 
( 1  <  ( # `
 D )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( # `  D ) ) )
3332biimpd 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  D )  e.  ZZ )  -> 
( 1  <  ( # `
 D )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( # `  D
) ) )
3430, 31, 33sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  D )  e.  NN0  ->  ( 1  <  ( # `  D
)  ->  ( 1  +  1 )  <_ 
( # `  D ) ) )
35 df-2 10690 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3635breq1i 4402 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  <_  ( # `  D
)  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( # `
 D ) )
3734, 36syl6ibr 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  D )  e.  NN0  ->  ( 1  <  ( # `  D
)  ->  2  <_  (
# `  D )
) )
38 2re 10701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
3938rexri 9711 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR*
40 pnfge 11455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR*  ->  2  <_ +oo )
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  D )  = +oo  ->  2  <_ +oo )
42 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  D )  = +oo  ->  ( 2  <_  ( # `  D
)  <->  2  <_ +oo )
)
4341, 42mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  D )  = +oo  ->  2  <_  (
# `  D )
)
4443a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  D )  = +oo  ->  ( 1  <  ( # `  D
)  ->  2  <_  (
# `  D )
) )
4537, 44jaoi 386 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  D
)  e.  NN0  \/  ( # `  D )  = +oo )  -> 
( 1  <  ( # `
 D )  -> 
2  <_  ( # `  D
) ) )
4629, 45syl 17 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  V  ->  (
1  <  ( # `  D
)  ->  2  <_  (
# `  D )
) )
4746impcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  ( # `  D )  /\  D  e.  V )  ->  2  <_  ( # `  D
) )
4847a1d 25 . . . . 5  |-  ( ( 1  <  ( # `  D )  /\  D  e.  V )  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) )
4948ex 441 . . . 4  |-  ( 1  <  ( # `  D
)  ->  ( D  e.  V  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_ 
( # `  D ) ) ) )
509, 28, 493jaoi 1357 . . 3  |-  ( ( ( # `  D
)  =  0  \/  ( # `  D
)  =  1  \/  1  <  ( # `  D ) )  -> 
( D  e.  V  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) ) )
511, 50mpcom 36 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y  ->  2  <_  ( # `  D
) ) )
5251imp 436 1  |-  ( ( D  e.  V  /\  E. x  e.  D  E. y  e.  D  x  =/=  y )  ->  2  <_  ( # `  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  12680  structgrssvtxlem  39278
  Copyright terms: Public domain W3C validator