Theorem hashge2el2difr 12679

Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2difr	|- ( ( D e. V /\ E. x e. D E. y e. D x =/= y ) -> 2 <_ ( # ` D ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, V, y

Proof of Theorem hashge2el2difr

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashv01gt1 12566	. . 3 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 0 \/ ( # ` D ) = 1 \/ 1 < ( # ` D ) ) )
2		hasheq0 12582	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 0 <-> D = (/) ) )
3		rexeq 2974	. . . . . . 7 |- ( D = (/) -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. (/) E. y e. D x =/= y ) )
4		rex0 3737	. . . . . . . 8 |- -. E. x e. (/) E. y e. D x =/= y
5		pm2.21 111	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. (/) E. y e. D x =/= y -> ( E. x e. (/) E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
6	4, 5	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( D = (/) -> ( E. x e. (/) E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
7	3, 6	sylbid 223	. . . . . 6 |- ( D = (/) -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
8	2, 7	syl6bi 236	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 0 -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
9	8	com12 31	. . . 4 |- ( ( # ` D ) = 0 -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
10		hash1snb 12634	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 1 <-> E. z D = { z } ) )
11		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( D = { z } -> D = { z } )
12		rexeq 2974	. . . . . . . . . 10 |- ( D = { z } -> ( E. y e. D x =/= y <-> E. y e. { z } x =/= y ) )
13	11, 12	rexeqbidv 2988	. . . . . . . . 9 |- ( D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> E. x e. { z } E. y e. { z } x =/= y ) )
14		vex 3034	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
15		neeq1 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x =/= y <-> z =/= y ) )
16	15	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( E. y e. { z } x =/= y <-> E. y e. { z } z =/= y ) )
17	14, 16	rexsn 4002	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. { z } E. y e. { z } x =/= y <-> E. y e. { z } z =/= y )
18		neeq2 2706	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( z =/= y <-> z =/= z ) )
19	14, 18	rexsn 4002	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. { z } z =/= y <-> z =/= z )
20	17, 19	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( E. x e. { z } E. y e. { z } x =/= y <-> z =/= z )
21	13, 20	syl6bb 269	. . . . . . . 8 |- ( D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y <-> z =/= z ) )
22		equid 1863	. . . . . . . . 9 |- z = z
23		eqneqall 2654	. . . . . . . . 9 |- ( z = z -> ( z =/= z -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
24	22, 23	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( D = { z } -> ( z =/= z -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
25	21, 24	sylbid 223	. . . . . . 7 |- ( D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
26	25	exlimiv 1784	. . . . . 6 |- ( E. z D = { z } -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
27	10, 26	syl6bi 236	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) = 1 -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
28	27	com12 31	. . . 4 |- ( ( # ` D ) = 1 -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
29		hashnn0pnf 12563	. . . . . . . 8 |- ( D e. V -> ( ( # ` D ) e. NN0 \/ ( # ` D ) = +oo ) )
30		1z 10991	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
31		nn0z 10984	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) e. NN0 -> ( # ` D ) e. ZZ )
32		zltp1le 11010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( # ` D ) <-> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
33	32	biimpd 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` D ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( # ` D ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
34	30, 31, 33	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` D ) e. NN0 -> ( 1 < ( # ` D ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) ) )
35		df-2 10690	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
36	35	breq1i 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 <_ ( # ` D ) <-> ( 1 + 1 ) <_ ( # ` D ) )
37	34, 36	syl6ibr 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` D ) e. NN0 -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
38		2re 10701	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
39	38	rexri 9711	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR*
40		pnfge 11455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR* -> 2 <_ +oo )
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) = +oo -> 2 <_ +oo )
42		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` D ) = +oo -> ( 2 <_ ( # ` D ) <-> 2 <_ +oo ) )
43	41, 42	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` D ) = +oo -> 2 <_ ( # ` D ) )
44	43	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` D ) = +oo -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
45	37, 44	jaoi 386	. . . . . . . 8 |- ( ( ( # ` D ) e. NN0 \/ ( # ` D ) = +oo ) -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
46	29, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( D e. V -> ( 1 < ( # ` D ) -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
47	46	impcom 437	. . . . . 6 |- ( ( 1 < ( # ` D ) /\ D e. V ) -> 2 <_ ( # ` D ) )
48	47	a1d 25	. . . . 5 |- ( ( 1 < ( # ` D ) /\ D e. V ) -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
49	48	ex 441	. . . 4 |- ( 1 < ( # ` D ) -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
50	9, 28, 49	3jaoi 1357	. . 3 |- ( ( ( # ` D ) = 0 \/ ( # ` D ) = 1 \/ 1 < ( # ` D ) ) -> ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) ) )
51	1, 50	mpcom 36	. 2 |- ( D e. V -> ( E. x e. D E. y e. D x =/= y -> 2 <_ ( # ` D ) ) )
52	51	imp 436	1 |- ( ( D e. V /\ E. x e. D E. y e. D x =/= y ) -> 2 <_ ( # ` D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 375   /\ wa 376   \/ w3o 1006   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   #chash 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  12680  structgrssvtxlem  39278