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Theorem hashgcdlem 31325
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
hashgcdlem.b  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
hashgcdlem.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, z, M    x, A    x, B    x, N, y    z, N
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
2 oveq1 6203 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( x  gcd  ( M  /  N ) ) )
32eqeq1d 2384 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
4 hashgcdlem.a . . . 4  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
53, 4elrab2 3184 . . 3  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
6 elfzonn0 11762 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
76ad2antrl 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  NN0 )
8 nnnn0 10719 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
983ad2ant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  NN0 )
109adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  N  e.  NN0 )
117, 10nn0mulcld 10774 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  NN0 )
12 simpl1 997 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  NN )
13 elfzolt2 11731 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
1413ad2antrl 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
15 elfzoelz 11722 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
1615ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
1716zred 10884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  RR )
18 nnre 10459 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
19183ad2ant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  RR )
2019adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  RR )
21 nnre 10459 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
22 nngt0 10481 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
2321, 22jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
24233ad2ant2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
2524adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
26 ltmuldiv 10332 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( x  x.  N )  <  M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2717, 20, 25, 26syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  < 
M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2814, 27mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  <  M
)
29 elfzo0 11758 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( x  x.  N )  e. 
NN0  /\  M  e.  NN  /\  ( x  x.  N )  <  M
) )
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1178 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M ) )
31 nncn 10460 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
32313ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  CC )
33 nncn 10460 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
34333ad2ant2 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  CC )
35 nnne0 10485 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
36353ad2ant2 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  =/=  0 )
3732, 34, 36divcan1d 10238 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
( M  /  N
)  x.  N )  =  M )
3837adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( M  /  N )  x.  N )  =  M )
3938eqcomd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  =  ( ( M  /  N
)  x.  N ) )
4039oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  ( ( x  x.  N
)  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N ) ) )
41 nndivdvds 13994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4241biimp3a 1326 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
4342nnzd 10883 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
4443adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
45 mulgcdr 14188 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( M  /  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( x  x.  N )  gcd  (
( M  /  N
)  x.  N ) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
4616, 44, 10, 45syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N
) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
47 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
4847oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
4934mulid2d 9525 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
1  x.  N )  =  N )
5049adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
5148, 50eqtrd 2423 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  N )
5240, 46, 513eqtrd 2427 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  N )
53 oveq1 6203 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
z  gcd  M )  =  ( ( x  x.  N )  gcd 
M ) )
5453eqeq1d 2384 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( (
x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
55 hashgcdlem.b . . . . 5  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
5654, 55elrab2 3184 . . . 4  |-  ( ( x  x.  N )  e.  B  <->  ( (
x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
5730, 52, 56sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  B
)
585, 57sylan2b 473 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  x.  N
)  e.  B )
59 oveq1 6203 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
6059eqeq1d 2384 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( w  gcd  M )  =  N ) )
6160, 55elrab2 3184 . . 3  |-  ( w  e.  B  <->  ( w  e.  ( 0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )
62 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  =  N )
63 elfzoelz 11722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ZZ )
6463ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
65 simpl1 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  NN )
6665nnzd 10883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  ZZ )
67 gcddvds 14155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
6864, 66, 67syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M )  ||  M ) )
6968simpld 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  ||  w )
7062, 69eqbrtrrd 4389 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  w
)
71 nnz 10803 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
72713ad2ant2 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  ZZ )
7372adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
7436adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  =/=  0
)
75 dvdsval2 13991 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  w  <->  ( w  /  N )  e.  ZZ ) )
7673, 74, 64, 75syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  ||  w 
<->  ( w  /  N
)  e.  ZZ ) )
7770, 76mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ZZ )
78 elfzofz 11737 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ( 0 ... M
) )
7978ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ( 0 ... M ) )
80 elfznn0 11693 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( 0 ... M )  ->  w  e.  NN0 )
81 nn0re 10721 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
82 nn0ge0 10738 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  0  <_  w )
8381, 82jca 530 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  NN0  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8479, 80, 833syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8524adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
86 divge0 10328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <_  w )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( w  /  N ) )
8784, 85, 86syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  0  <_  (
w  /  N ) )
88 elnn0z 10794 . . . . . 6  |-  ( ( w  /  N )  e.  NN0  <->  ( ( w  /  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( w  /  N
) ) )
8977, 87, 88sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  NN0 )
9042adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
91 elfzolt2 11731 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  <  M )
9291ad2antrl 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  <  M
)
9364zred 10884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  RR )
9419adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  RR )
95 ltdiv1 10323 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( w  <  M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9693, 94, 85, 95syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  < 
M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9792, 96mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) )
98 elfzo0 11758 . . . . 5  |-  ( ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  <->  ( ( w  /  N )  e. 
NN0  /\  ( M  /  N )  e.  NN  /\  ( w  /  N
)  <  ( M  /  N ) ) )
9989, 90, 97, 98syl3anbrc 1178 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
10062oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
101 simpl2 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  NN )
102 simpl3 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  M
)
103 gcddiv 14189 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  ||  w  /\  N  ||  M ) )  ->  ( (
w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10464, 66, 101, 70, 102, 103syl32anc 1234 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10534, 36dividd 10235 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
106105adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
107100, 104, 1063eqtr3d 2431 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
108 oveq1 6203 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) ) )
109108eqeq1d 2384 . . . . 5  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( (
w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
110109, 4elrab2 3184 . . . 4  |-  ( ( w  /  N )  e.  A  <->  ( (
w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
11199, 107, 110sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  A
)
11261, 111sylan2b 473 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  w  e.  B )  ->  ( w  /  N
)  e.  A )
1135simplbi 458 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
11461simplbi 458 . . . 4  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( 0..^ M ) )
115113, 114anim12i 564 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )
11663ad2antll 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
117116zcnd 10885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  CC )
11834adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  e.  CC )
11936adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  =/=  0
)
120117, 118, 119divcan1d 10238 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( w  /  N )  x.  N )  =  w )
121120eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  =  ( ( w  /  N
)  x.  N ) )
122 oveq1 6203 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
x  x.  N )  =  ( ( w  /  N )  x.  N ) )
123122eqeq2d 2396 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
w  =  ( x  x.  N )  <->  w  =  ( ( w  /  N )  x.  N
) ) )
124121, 123syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  ->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
12515ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
126125zcnd 10885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  CC )
127126, 118, 119divcan4d 10243 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( x  x.  N )  /  N )  =  x )
128127eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  =  ( ( x  x.  N
)  /  N ) )
129 oveq1 6203 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
w  /  N )  =  ( ( x  x.  N )  /  N ) )
130129eqeq2d 2396 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  x  =  ( ( x  x.  N )  /  N
) ) )
131128, 130syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( w  =  ( x  x.  N
)  ->  x  =  ( w  /  N
) ) )
132124, 131impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  <->  w  =  (
x  x.  N ) ) )
133115, 132sylan2 472 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
1341, 58, 112, 133f1o2d 6426 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {crab 2736   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   -1-1-onto->wf1o 5495  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717    || cdvds 13988    gcd cgcd 14146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-dvds 13989  df-gcd 14147
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