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Theorem hashgcdlem 36038
Description: A correspondence between elements of specific GCD and relative primes in a smaller ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashgcdlem.a  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
hashgcdlem.b  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
hashgcdlem.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
Assertion
Ref Expression
hashgcdlem  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, z, M    x, A    x, B    x, N, y    z, N
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem hashgcdlem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgcdlem.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  ( x  x.  N
) )
2 oveq1 6310 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( x  gcd  ( M  /  N ) ) )
32eqeq1d 2425 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
4 hashgcdlem.a . . . 4  |-  A  =  { y  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  |  ( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 }
53, 4elrab2 3232 . . 3  |-  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 ) )
6 elfzonn0 11962 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
76ad2antrl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  NN0 )
8 nnnn0 10878 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
983ad2ant2 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  NN0 )
109adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  N  e.  NN0 )
117, 10nn0mulcld 10932 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  NN0 )
12 simpl1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  NN )
13 elfzolt2 11931 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
1413ad2antrl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  <  ( M  /  N ) )
15 elfzoelz 11922 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
1615ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  ZZ )
1716zred 11042 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  x  e.  RR )
18 nnre 10618 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
19183ad2ant1 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  RR )
2019adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  e.  RR )
21 nnre 10618 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
22 nngt0 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
2321, 22jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
24233ad2ant2 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
2524adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
26 ltmuldiv 10480 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( x  x.  N )  <  M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2717, 20, 25, 26syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  < 
M  <->  x  <  ( M  /  N ) ) )
2814, 27mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  <  M
)
29 elfzo0 11958 . . . . 5  |-  ( ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  <->  ( ( x  x.  N )  e. 
NN0  /\  M  e.  NN  /\  ( x  x.  N )  <  M
) )
3011, 12, 28, 29syl3anbrc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  ( 0..^ M ) )
31 nncn 10619 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
32313ad2ant1 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  M  e.  CC )
33 nncn 10619 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
34333ad2ant2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  CC )
35 nnne0 10644 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
36353ad2ant2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  =/=  0 )
3732, 34, 36divcan1d 10386 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
( M  /  N
)  x.  N )  =  M )
3837adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( M  /  N )  x.  N )  =  M )
3938eqcomd 2431 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  M  =  ( ( M  /  N
)  x.  N ) )
4039oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  ( ( x  x.  N
)  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N ) ) )
41 nndivdvds 14304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4241biimp3a 1365 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
4342nnzd 11041 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
4443adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( M  /  N )  e.  ZZ )
45 mulgcdr 14509 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( M  /  N
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( x  x.  N )  gcd  (
( M  /  N
)  x.  N ) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
4616, 44, 10, 45syl3anc 1265 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd  ( ( M  /  N )  x.  N
) )  =  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N ) )
47 simprr 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
4847oveq1d 6318 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
4934mulid2d 9663 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  (
1  x.  N )  =  N )
5049adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
5148, 50eqtrd 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  gcd  ( M  /  N ) )  x.  N )  =  N )
5240, 46, 513eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( ( x  x.  N )  gcd 
M )  =  N )
53 oveq1 6310 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
z  gcd  M )  =  ( ( x  x.  N )  gcd 
M ) )
5453eqeq1d 2425 . . . . 5  |-  ( z  =  ( x  x.  N )  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( (
x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
55 hashgcdlem.b . . . . 5  |-  B  =  { z  e.  ( 0..^ M )  |  ( z  gcd  M
)  =  N }
5654, 55elrab2 3232 . . . 4  |-  ( ( x  x.  N )  e.  B  <->  ( (
x  x.  N )  e.  ( 0..^ M )  /\  ( ( x  x.  N )  gcd  M )  =  N ) )
5730, 52, 56sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( x  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )  ->  ( x  x.  N )  e.  B
)
585, 57sylan2b 478 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  x.  N
)  e.  B )
59 oveq1 6310 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
z  gcd  M )  =  ( w  gcd  M ) )
6059eqeq1d 2425 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  gcd  M
)  =  N  <->  ( w  gcd  M )  =  N ) )
6160, 55elrab2 3232 . . 3  |-  ( w  e.  B  <->  ( w  e.  ( 0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )
62 simprr 765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  =  N )
63 elfzoelz 11922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ZZ )
6463ad2antrl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ZZ )
65 simpl1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  NN )
6665nnzd 11041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  ZZ )
67 gcddvds 14470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M ) 
||  M ) )
6864, 66, 67syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  ||  w  /\  ( w  gcd  M )  ||  M ) )
6968simpld 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  gcd  M )  ||  w )
7062, 69eqbrtrrd 4444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  w
)
71 nnz 10961 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
72713ad2ant2 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  N  e.  ZZ )
7372adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
7436adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  =/=  0
)
75 dvdsval2 14301 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  w  <->  ( w  /  N )  e.  ZZ ) )
7673, 74, 64, 75syl3anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  ||  w 
<->  ( w  /  N
)  e.  ZZ ) )
7770, 76mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ZZ )
78 elfzofz 11937 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  e.  ( 0 ... M
) )
7978ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  ( 0 ... M ) )
80 elfznn0 11889 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( 0 ... M )  ->  w  e.  NN0 )
81 nn0re 10880 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
82 nn0ge0 10897 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  NN0  ->  0  <_  w )
8381, 82jca 535 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  NN0  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8479, 80, 833syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  e.  RR  /\  0  <_  w ) )
8524adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  0  < 
N ) )
86 divge0 10476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( w  e.  RR  /\  0  <_  w )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  ->  0  <_  ( w  /  N ) )
8784, 85, 86syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  0  <_  (
w  /  N ) )
88 elnn0z 10952 . . . . . 6  |-  ( ( w  /  N )  e.  NN0  <->  ( ( w  /  N )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( w  /  N
) ) )
8977, 87, 88sylanbrc 669 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  NN0 )
9042adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( M  /  N )  e.  NN )
91 elfzolt2 11931 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( 0..^ M )  ->  w  <  M )
9291ad2antrl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  <  M
)
9364zred 11042 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  w  e.  RR )
9419adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  M  e.  RR )
95 ltdiv1 10471 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( w  <  M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9693, 94, 85, 95syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  < 
M  <->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) ) )
9792, 96mpbid 214 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  <  ( M  /  N ) )
98 elfzo0 11958 . . . . 5  |-  ( ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  <->  ( ( w  /  N )  e. 
NN0  /\  ( M  /  N )  e.  NN  /\  ( w  /  N
)  <  ( M  /  N ) ) )
9989, 90, 97, 98syl3anbrc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
10062oveq1d 6318 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
101 simpl2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  e.  NN )
102 simpl3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  N  ||  M
)
103 gcddiv 14510 . . . . . 6  |-  ( ( ( w  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  ||  w  /\  N  ||  M ) )  ->  ( (
w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10464, 66, 101, 70, 102, 103syl32anc 1273 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  gcd  M )  /  N )  =  ( ( w  /  N
)  gcd  ( M  /  N ) ) )
10534, 36dividd 10383 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
106105adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
107100, 104, 1063eqtr3d 2472 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N
) )  =  1 )
108 oveq1 6310 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
y  gcd  ( M  /  N ) )  =  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) ) )
109108eqeq1d 2425 . . . . 5  |-  ( y  =  ( w  /  N )  ->  (
( y  gcd  ( M  /  N ) )  =  1  <->  ( (
w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
110109, 4elrab2 3232 . . . 4  |-  ( ( w  /  N )  e.  A  <->  ( (
w  /  N )  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  ( ( w  /  N )  gcd  ( M  /  N ) )  =  1 ) )
11199, 107, 110sylanbrc 669 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( w  e.  (
0..^ M )  /\  ( w  gcd  M )  =  N ) )  ->  ( w  /  N )  e.  A
)
11261, 111sylan2b 478 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  w  e.  B )  ->  ( w  /  N
)  e.  A )
1135simplbi 462 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) ) )
11461simplbi 462 . . . 4  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ( 0..^ M ) )
115113, 114anim12i 569 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )
11663ad2antll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
117116zcnd 11043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  e.  CC )
11834adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  e.  CC )
11936adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  N  =/=  0
)
120117, 118, 119divcan1d 10386 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( w  /  N )  x.  N )  =  w )
121120eqcomd 2431 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  w  =  ( ( w  /  N
)  x.  N ) )
122 oveq1 6310 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
x  x.  N )  =  ( ( w  /  N )  x.  N ) )
123122eqeq2d 2437 . . . . 5  |-  ( x  =  ( w  /  N )  ->  (
w  =  ( x  x.  N )  <->  w  =  ( ( w  /  N )  x.  N
) ) )
124121, 123syl5ibrcom 226 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  ->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
12515ad2antrl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  ZZ )
126125zcnd 11043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  e.  CC )
127126, 118, 119divcan4d 10391 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( ( x  x.  N )  /  N )  =  x )
128127eqcomd 2431 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  x  =  ( ( x  x.  N
)  /  N ) )
129 oveq1 6310 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
w  /  N )  =  ( ( x  x.  N )  /  N ) )
130129eqeq2d 2437 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  x.  N )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  x  =  ( ( x  x.  N )  /  N
) ) )
131128, 130syl5ibrcom 226 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( w  =  ( x  x.  N
)  ->  x  =  ( w  /  N
) ) )
132124, 131impbid 194 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  (
0..^ ( M  /  N ) )  /\  w  e.  ( 0..^ M ) ) )  ->  ( x  =  ( w  /  N
)  <->  w  =  (
x  x.  N ) ) )
133115, 132sylan2 477 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  B
) )  ->  (
x  =  ( w  /  N )  <->  w  =  ( x  x.  N
) ) )
1341, 58, 112, 133f1o2d 6533 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  N  ||  M )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   {crab 2780   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   -1-1-onto->wf1o 5598  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   0cc0 9541   1c1 9542    x. cmul 9546    < clt 9677    <_ cle 9678    / cdiv 10271   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZcz 10939   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917    || cdvds 14298    gcd cgcd 14461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-dvds 14299  df-gcd 14462
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