MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzo Structured version   Unicode version

Theorem hashfzo 12452
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) )

Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11087 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
21zcnd 10967 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  CC )
32subidd 9918 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  -  A )  =  0 )
4 fzo0 11817 . . . . . 6  |-  ( A..^ A )  =  (/)
54fveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( # `  (/) )
6 hash0 12405 . . . . 5  |-  ( # `  (/) )  =  0
75, 6eqtri 2496 . . . 4  |-  ( # `  ( A..^ A ) )  =  0
83, 7syl6reqr 2527 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( A  -  A
) )
9 oveq2 6292 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( A..^ B )  =  ( A..^ A ) )
109fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  (
# `  ( A..^ A ) ) )
11 oveq1 6291 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( B  -  A )  =  ( A  -  A ) )
1210, 11eqeq12d 2489 . . 3  |-  ( B  =  A  ->  (
( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
)  <->  ( # `  ( A..^ A ) )  =  ( A  -  A
) ) )
138, 12syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  =  A  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A ) ) )
14 eluzelz 11091 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ZZ )
15 fzoval 11798 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
1716fveq2d 5870 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( # `  ( A ... ( B  - 
1 ) ) ) )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  (
# `  ( A ... ( B  -  1 ) ) ) )
19 hashfz 12450 . . . . 5  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A ... ( B  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( B  -  1 )  -  A )  +  1 ) )
2014zcnd 10967 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  CC )
21 ax-1cn 9550 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  1  e.  CC )
2320, 22, 2sub32d 9962 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( B  -  1 )  -  A )  =  ( ( B  -  A )  -  1 ) )
2423oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  1 )  -  A )  +  1 )  =  ( ( ( B  -  A )  - 
1 )  +  1 ) )
2520, 2subcld 9930 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  A )  e.  CC )
26 npcan 9829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( B  -  A )  - 
1 )  +  1 )  =  ( B  -  A ) )
2725, 21, 26sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  A
)  -  1 )  +  1 )  =  ( B  -  A
) )
2824, 27eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( B  -  1 )  -  A )  +  1 )  =  ( B  -  A
) )
2919, 28sylan9eqr 2530 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A ... ( B  -  1
) ) )  =  ( B  -  A
) )
3018, 29eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )  ->  ( # `
 ( A..^ B
) )  =  ( B  -  A ) )
3130ex 434 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) ) )
32 uzm1 11112 . 2  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  =  A  \/  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
3313, 31, 32mpjaod 381 1  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( # `  ( A..^ B ) )  =  ( B  -  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   (/)c0 3785   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    - cmin 9805   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374
This theorem is referenced by:  hashfzo0  12453  pntlemr  23543
  Copyright terms: Public domain W3C validator