MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Unicode version

Theorem hashfz1 12113
Description: The set  (
1 ... N ) has  N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21cardfz 11788 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( 1 ... N
) )  =  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )
32fveq2d 5692 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) ) )
4 fzfid 11791 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
51hashgval 12102 . . 3  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
71hashgf1o 11789 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
8 f1ocnvfv2 5981 . . 3  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )  =  N )
97, 8mpan 665 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N
) )  =  N )
103, 6, 93eqtr3d 2481 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835    |` cres 4838   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   omcom 6475   reccrdg 6861   Fincfn 7306   cardccrd 8101   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   NN0cn0 10575   ...cfz 11433   #chash 12099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100
This theorem is referenced by:  fz1eqb  12120  hasheq0  12127  hashsng  12132  fseq1hash  12135  hashdom  12138  hashfz  12184  isercolllem2  13139  isercoll  13141  fz1f1o  13183  summolem3  13187  summolem2a  13188  o1fsum  13272  climcndslem1  13308  climcndslem2  13309  harmonic  13317  mertenslem1  13340  phicl2  13839  phibnd  13842  hashdvds  13846  phiprmpw  13847  eulerth  13854  pcfac  13957  prmreclem2  13974  prmreclem3  13975  prmreclem5  13977  4sqlem11  14012  vdwlem12  14049  ramub2  14071  ramlb  14076  0ram  14077  ram0  14079  dfod2  16058  gsumval3OLD  16375  gsumval3  16378  uniioombllem4  21025  birthdaylem2  22305  birthdaylem3  22306  basellem4  22380  basellem5  22381  basellem8  22384  ppiltx  22474  vmasum  22514  logfac2  22515  chpval2  22516  chpchtsum  22517  chpub  22518  logfaclbnd  22520  bposlem1  22582  lgsqrlem4  22642  lgseisenlem4  22650  lgsquadlem1  22652  lgsquadlem2  22653  lgsquadlem3  22654  dchrmusum2  22702  dchrisum0lem2a  22725  mudivsum  22738  mulogsumlem  22739  selberglem2  22754  eupai  23523  ishashinf  26018  ballotlem1  26799  ballotlemfmpn  26807  derangen2  26992  subfaclefac  26994  subfacp1lem1  26997  erdszelem10  27018  erdsze2lem1  27021  snmlff  27148  prodmolem3  27375  prodmolem2a  27376  risefallfac  27456  bpolylem  28120  eldioph2lem1  29023  stoweidlem38  29758  bj-finsumval0  32308
  Copyright terms: Public domain W3C validator