MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem hashfz1 12536
Description: The set  (
1 ... N ) has  N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21cardfz 12190 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( 1 ... N
) )  =  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )
32fveq2d 5874 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) ) )
4 fzfid 12193 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
51hashgval 12525 . . 3  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
71hashgf1o 12191 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
8 f1ocnvfv2 6181 . . 3  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )  =  N )
97, 8mpan 677 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N
) )  =  N )
103, 6, 93eqtr3d 2495 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836    |` cres 4839   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   omcom 6697   reccrdg 7132   Fincfn 7574   cardccrd 8374   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547   NN0cn0 10876   ...cfz 11791   #chash 12522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523
This theorem is referenced by:  fz1eqb  12543  isfinite4  12550  hasheq0  12551  hashsng  12556  fseq1hash  12562  hashdom  12565  hashfz  12606  ishashinf  12633  isercolllem2  13741  isercoll  13743  fz1f1o  13788  summolem3  13792  summolem2a  13793  o1fsum  13885  climcndslem1  13919  climcndslem2  13920  harmonic  13929  mertenslem1  13952  prodmolem3  13999  prodmolem2a  14000  risefallfac  14089  bpolylem  14113  phicl2  14728  phibnd  14731  hashdvds  14735  phiprmpw  14736  eulerth  14743  pcfac  14856  prmreclem2  14873  prmreclem3  14874  prmreclem5  14876  4sqlem11  14911  vdwlem12  14954  ramub2  14983  ramlb  14989  0ram  14990  ram0  14992  dfod2  17227  gsumval3  17553  uniioombllem4  22556  birthdaylem2  23890  birthdaylem3  23891  basellem4  24022  basellem5  24023  basellem8  24026  ppiltx  24116  vmasum  24156  logfac2  24157  chpval2  24158  chpchtsum  24159  chpub  24160  logfaclbnd  24162  bposlem1  24224  lgsqrlem4  24284  lgseisenlem4  24292  lgsquadlem1  24294  lgsquadlem2  24295  lgsquadlem3  24296  dchrmusum2  24344  dchrisum0lem2a  24367  mudivsum  24380  mulogsumlem  24381  selberglem2  24396  eupai  25707  ballotlem1  29331  ballotlemfmpn  29339  derangen2  29909  subfaclefac  29911  subfacp1lem1  29914  erdszelem10  29935  erdsze2lem1  29938  snmlff  30064  bcprod  30386  bj-finsumval0  31714  eldioph2lem1  35614  rp-isfinite5  36174  rp-isfinite6  36175  stoweidlem38  37909  dirkertrigeq  37973  etransclem32  38141  nn0mulfsum  40539  aacllem  40644
  Copyright terms: Public domain W3C validator