MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Unicode version

Theorem hashfz1 12132
Description: The set  (
1 ... N ) has  N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21cardfz 11807 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( 1 ... N
) )  =  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )
32fveq2d 5710 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) ) )
4 fzfid 11810 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
51hashgval 12121 . . 3  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
71hashgf1o 11808 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
8 f1ocnvfv2 5999 . . 3  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )  =  N )
97, 8mpan 670 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N
) )  =  N )
103, 6, 93eqtr3d 2483 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987    e. cmpt 4365   `'ccnv 4854    |` cres 4857   -1-1-onto->wf1o 5432   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   omcom 6491   reccrdg 6880   Fincfn 7325   cardccrd 8120   0cc0 9297   1c1 9298    + caddc 9300   NN0cn0 10594   ...cfz 11452   #chash 12118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-fz 11453  df-hash 12119
This theorem is referenced by:  fz1eqb  12139  hasheq0  12146  hashsng  12151  fseq1hash  12154  hashdom  12157  hashfz  12203  isercolllem2  13158  isercoll  13160  fz1f1o  13202  summolem3  13206  summolem2a  13207  o1fsum  13291  climcndslem1  13327  climcndslem2  13328  harmonic  13336  mertenslem1  13359  phicl2  13858  phibnd  13861  hashdvds  13865  phiprmpw  13866  eulerth  13873  pcfac  13976  prmreclem2  13993  prmreclem3  13994  prmreclem5  13996  4sqlem11  14031  vdwlem12  14068  ramub2  14090  ramlb  14095  0ram  14096  ram0  14098  dfod2  16080  gsumval3OLD  16397  gsumval3  16400  uniioombllem4  21081  birthdaylem2  22361  birthdaylem3  22362  basellem4  22436  basellem5  22437  basellem8  22440  ppiltx  22530  vmasum  22570  logfac2  22571  chpval2  22572  chpchtsum  22573  chpub  22574  logfaclbnd  22576  bposlem1  22638  lgsqrlem4  22698  lgseisenlem4  22706  lgsquadlem1  22708  lgsquadlem2  22709  lgsquadlem3  22710  dchrmusum2  22758  dchrisum0lem2a  22781  mudivsum  22794  mulogsumlem  22795  selberglem2  22810  eupai  23603  ishashinf  26100  ballotlem1  26884  ballotlemfmpn  26892  derangen2  27077  subfaclefac  27079  subfacp1lem1  27082  erdszelem10  27103  erdsze2lem1  27106  snmlff  27233  prodmolem3  27461  prodmolem2a  27462  risefallfac  27542  bpolylem  28206  eldioph2lem1  29117  stoweidlem38  29852  bj-finsumval0  32602
  Copyright terms: Public domain W3C validator