MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Unicode version

Theorem hashfz1 12373
Description: The set  (
1 ... N ) has  N elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
21cardfz 12034 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( card `  ( 1 ... N
) )  =  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )
32fveq2d 5809 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) ) )
4 fzfid 12037 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  e. 
Fin )
51hashgval 12362 . . 3  |-  ( ( 1 ... N )  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  ( 1 ... N
) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) ) )
71hashgf1o 12035 . . 3  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
8 f1ocnvfv2 6120 . . 3  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N ) )  =  N )
97, 8mpan 668 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  N
) )  =  N )
103, 6, 93eqtr3d 2451 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4941    |` cres 4944   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   omcom 6638   reccrdg 7032   Fincfn 7474   cardccrd 8268   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445   NN0cn0 10756   ...cfz 11643   #chash 12359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-hash 12360
This theorem is referenced by:  fz1eqb  12380  isfinite4  12387  hasheq0  12388  hashsng  12393  fseq1hash  12399  hashdom  12402  hashfz  12441  isercolllem2  13544  isercoll  13546  fz1f1o  13588  summolem3  13592  summolem2a  13593  o1fsum  13685  climcndslem1  13719  climcndslem2  13720  harmonic  13729  mertenslem1  13752  prodmolem3  13799  prodmolem2a  13800  risefallfac  13876  phicl2  14399  phibnd  14402  hashdvds  14406  phiprmpw  14407  eulerth  14414  pcfac  14519  prmreclem2  14536  prmreclem3  14537  prmreclem5  14539  4sqlem11  14574  vdwlem12  14611  ramub2  14633  ramlb  14638  0ram  14639  ram0  14641  dfod2  16802  gsumval3OLD  17124  gsumval3  17127  uniioombllem4  22179  birthdaylem2  23500  birthdaylem3  23501  basellem4  23630  basellem5  23631  basellem8  23634  ppiltx  23724  vmasum  23764  logfac2  23765  chpval2  23766  chpchtsum  23767  chpub  23768  logfaclbnd  23770  bposlem1  23832  lgsqrlem4  23892  lgseisenlem4  23900  lgsquadlem1  23902  lgsquadlem2  23903  lgsquadlem3  23904  dchrmusum2  23952  dchrisum0lem2a  23975  mudivsum  23988  mulogsumlem  23989  selberglem2  24004  eupai  25265  ishashinf  27937  ballotlem1  28811  ballotlemfmpn  28819  derangen2  29352  subfaclefac  29354  subfacp1lem1  29357  erdszelem10  29378  erdsze2lem1  29381  snmlff  29507  bcprod  29833  bpolylem  30471  bj-finsumval0  31215  eldioph2lem1  35035  rp-isfinite5  35590  rp-isfinite6  35591  stoweidlem38  37170  dirkertrigeq  37233  etransclem32  37399  nn0mulfsum  38735  aacllem  38840
  Copyright terms: Public domain W3C validator