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Theorem hashfun 12642
Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfun  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )

Proof of Theorem hashfun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 5630 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2 hashfn 12586 . . 3  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )
31, 2sylbi 200 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) )
4 dmfi 7880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
5 hashcl 12570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  NN0 )
76nn0red 10955 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  RR )
87adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  e.  RR )
9 df-rel 4860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
10 dfss3 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
119, 10bitri 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
F  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1211notbii 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
Rel  F  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
13 rexnal 2848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
1412, 13bitr4i 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
Rel  F  <->  E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
15 dmun 5060 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )
1615fveq2i 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  dom  ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )
17 dmsnn0 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  dom  { x }  =/=  (/) )
1817biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom 
{ x }  =/=  (/) 
->  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1918necon1bi 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  x  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  dom  { x }  =  (/) )
20193ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  dom  { x }  =  (/) )
2120uneq2d 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  ( dom  ( F 
\  { x }
)  u.  (/) ) )
22 un0 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  u.  (/) )  =  dom  ( F  \  { x } )
2321, 22syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  dom  ( F  \  { x } ) )
2423fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )  =  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) ) )
2516, 24syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  ( F 
\  { x }
) ) )
26 diffi 7829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )
27 dmfi 7880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
29 hashcl 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  e. 
NN0 )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3130nn0red 10955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
32 hashcl 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( F  \  { x }
) )  e.  NN0 )
3326, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3433nn0red 10955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
35 peano2re 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  e.  RR  ->  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
37 fidomdm 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) )
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F 
\  { x }
) )
39 hashdom 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin  /\  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  <_ 
( # `  ( F 
\  { x }
) )  <->  dom  ( F 
\  { x }
)  ~<_  ( F  \  { x } ) ) )
4028, 26, 39syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { x }
) )  <_  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) ) )
4138, 40mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { x }
) ) )
4234ltp1d 10565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
4331, 34, 36, 41, 42lelttrd 9819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
44433ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  < 
( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 ) )
4525, 44eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 ) )
46 snfi 7676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x }  e.  Fin
47 incom 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  ( { x }  i^i  ( F  \  {
x } ) )
48 disjdif 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { x }  i^i  ( F  \  { x }
) )  =  (/)
4947, 48eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  (/)
50 hashun 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  /\  { x }  e.  Fin  /\  (
( F  \  {
x } )  i^i 
{ x } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
5146, 49, 50mp3an23 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) ) )
5226, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
53 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 hashsng 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  ( # `
 { x }
)  =  1 )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { x } )  =  1
5655oveq2i 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 )
5752, 56syl6req 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  =  ( # `  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) ) )
58573ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( ( # `  ( F  \  {
x } ) )  +  1 )  =  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) ) )
5945, 58breqtrd 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) ) )
60 difsnid 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  F  ->  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  F )
6160dmeqd 5056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  F  ->  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
)  =  dom  F
)
6261fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 dom  ( ( F  \  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  dom  F ) )
63623ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  F ) )
6460fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  F
) )
65643ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( # `  F ) )
6659, 63, 653brtr3d 4446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
6766rexlimdv3a 2893 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) ) )
6814, 67syl5bi 225 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 dom  F )  <  ( # `  F
) ) )
6968imp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) )
708, 69gtned 9796 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) )
7170ex 440 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
7271necon4bd 2656 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Rel  F ) )
7372imp 435 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Rel  F )
74 2nalexn 1711 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
75 df-ne 2635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  z  <->  -.  y  =  z )
7675anbi2i 705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z ) )
77 annim 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7876, 77bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7978exbii 1729 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  E. z  -.  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
80 exnal 1710 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  -.  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
8179, 80bitr2i 258 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )
82812exbii 1730 . . . . . . . 8  |-  ( E. x E. y  -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
8374, 82bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
847adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  e.  RR )
85 2re 10707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
86 diffi 7829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
87 dmfi 7880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
89 hashcl 12570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9190nn0red 10955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
9291adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
93 readdcl 9648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
9485, 92, 93sylancr 674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
95 hashcl 12570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
9695nn0red 10955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e.  RR )
9796adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
98 1re 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
99 readdcl 9648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10098, 91, 99sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
101100adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10285, 91, 93sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
103102adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
104 dmun 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
105 opex 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
106 opex 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. x ,  z >.  e.  _V
107105, 106prss 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  <->  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  C_  F
)
108 undif 3860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  C_  F  <->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
109107, 108sylbb 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
110109dmeqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  dom  F
)
111104, 110syl5reqr 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )
112 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
113 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
114112, 113dmprop 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x ,  x }
115 dfsn2 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x }  =  { x ,  x }
116114, 115eqtr4i 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x }
117116uneq1i 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
118111, 117syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
119118fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
120119ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
121 hashun2 12594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { x }  e.  Fin  /\  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12246, 88, 121sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12355oveq1i 6325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
124122, 123syl6breq 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
125124adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
126120, 125eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
127 1lt2 10805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
128 ltadd1 10109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
12998, 85, 128mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  ->  ( 1  <  2  <->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
13091, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
131127, 130mpbii 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
132131adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
13384, 101, 103, 126, 132lelttrd 9819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
134 fidomdm 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
13586, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
136 hashdom 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
13788, 86, 136syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
138135, 137mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
139 hashcl 12570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
14086, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
141140nn0red 10955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
142 leadd2 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14385, 142mp3an3 1362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14491, 141, 143syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
145138, 144mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
146145adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
147 prfi 7872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin
148 disjdif 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  i^i  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/)
149 hashun 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  /\  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  i^i  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
150147, 148, 149mp3an13 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
15186, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
152151adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
153109fveq2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
154153ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
15553, 112opth 4690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>. 
<->  ( x  =  x  /\  y  =  z ) )
156155simprbi 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>.  ->  y  =  z )
157156necon3i 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =/=  z  ->  <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >. )
158 hashprg 12604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _V  /\  <. x ,  z >.  e.  _V )  ->  ( <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >.  <->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 ) )
159105, 106, 158mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  <. x ,  z
>. 
<->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 )
160157, 159sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =/=  z  ->  ( # `
 { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  =  2 )
161160oveq1d 6330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =/=  z  ->  (
( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
162161ad2antll 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( ( # `  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
163152, 154, 1623eqtr3rd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
164146, 163breqtrd 4441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( # `
 F ) )
16584, 94, 97, 133, 164ltletrd 9821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
16684, 165gtned 9796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  =/=  ( # `  dom  F ) )
167166ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
168167exlimdv 1790 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
169168exlimdvv 1791 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x E. y E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
17083, 169syl5bi 225 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
171170necon4bd 2656 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
172171imp 435 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
173 dffun4 5613 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
17473, 172, 173sylanbrc 675 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Fun  F )
175174ex 440 . 2  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Fun  F ) )
1763, 175impbid2 209 1  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991   A.wal 1453    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   {cpr 3982   <.cop 3986   class class class wbr 4416    X. cxp 4851   dom cdm 4853   Rel wrel 4858   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    ~<_ cdom 7593   Fincfn 7595   RRcr 9564   1c1 9566    + caddc 9568    < clt 9701    <_ cle 9702   2c2 10687   NN0cn0 10898   #chash 12547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-hash 12548
This theorem is referenced by:  hashfzdm  12645  hashfirdm  12647  cusgrasizeinds  25253
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