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Theorem hashfun 12195
Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfun  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )

Proof of Theorem hashfun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 5444 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2 hashfn 12134 . . 3  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )
31, 2sylbi 195 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) )
4 dmfi 7590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
5 hashcl 12122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  NN0 )
76nn0red 10633 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  RR )
87adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  e.  RR )
9 df-rel 4843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
10 dfss3 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
119, 10bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
F  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1211notbii 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
Rel  F  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
13 rexnal 2724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
1412, 13bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
Rel  F  <->  E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
15 dmun 5042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )
1615fveq2i 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  dom  ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )
17 dmsnn0 5301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  dom  { x }  =/=  (/) )
1817biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom 
{ x }  =/=  (/) 
->  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1918necon1bi 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  x  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  dom  { x }  =  (/) )
20193ad2ant3 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  dom  { x }  =  (/) )
2120uneq2d 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  ( dom  ( F 
\  { x }
)  u.  (/) ) )
22 un0 3659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  u.  (/) )  =  dom  ( F  \  { x } )
2321, 22syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  dom  ( F  \  { x } ) )
2423fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )  =  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) ) )
2516, 24syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  ( F 
\  { x }
) ) )
26 diffi 7539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )
27 dmfi 7590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
29 hashcl 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  e. 
NN0 )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3130nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
32 hashcl 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( F  \  { x }
) )  e.  NN0 )
3326, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3433nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
35 peano2re 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  e.  RR  ->  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
37 fidomdm 7589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) )
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F 
\  { x }
) )
39 hashdom 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin  /\  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  <_ 
( # `  ( F 
\  { x }
) )  <->  dom  ( F 
\  { x }
)  ~<_  ( F  \  { x } ) ) )
4028, 26, 39syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { x }
) )  <_  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) ) )
4138, 40mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { x }
) ) )
4234ltp1d 10259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
4331, 34, 36, 41, 42lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
44433ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  < 
( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 ) )
4525, 44eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 ) )
46 snfi 7386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x }  e.  Fin
47 incom 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  ( { x }  i^i  ( F  \  {
x } ) )
48 disjdif 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { x }  i^i  ( F  \  { x }
) )  =  (/)
4947, 48eqtri 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  (/)
50 hashun 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  /\  { x }  e.  Fin  /\  (
( F  \  {
x } )  i^i 
{ x } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
5146, 49, 50mp3an23 1301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) ) )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
53 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 hashsng 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  ( # `
 { x }
)  =  1 )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { x } )  =  1
5655oveq2i 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 )
5752, 56syl6req 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  =  ( # `  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) ) )
58573ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( ( # `  ( F  \  {
x } ) )  +  1 )  =  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) ) )
5945, 58breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) ) )
60 difsnid 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  F  ->  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  F )
6160dmeqd 5038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  F  ->  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
)  =  dom  F
)
6261fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 dom  ( ( F  \  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  dom  F ) )
63623ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  F ) )
6460fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  F
) )
65643ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( # `  F ) )
6659, 63, 653brtr3d 4318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
6766rexlimdv3a 2841 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) ) )
6814, 67syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 dom  F )  <  ( # `  F
) ) )
6968imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) )
708, 69gtned 9505 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) )
7170ex 434 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
7271necon4bd 2671 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Rel  F ) )
7372imp 429 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Rel  F )
74 2nalexn 1624 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
75 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  z  <->  -.  y  =  z )
7675anbi2i 689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z ) )
77 annim 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7876, 77bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7978exbii 1639 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  E. z  -.  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
80 exnal 1623 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  -.  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
8179, 80bitr2i 250 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )
82812exbii 1640 . . . . . . . 8  |-  ( E. x E. y  -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
8374, 82bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
847adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  e.  RR )
85 2re 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
86 diffi 7539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
87 dmfi 7590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
89 hashcl 12122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9190nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
9291adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
93 readdcl 9361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
9485, 92, 93sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
95 hashcl 12122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
9695nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e.  RR )
9796adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
98 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
99 readdcl 9361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10098, 91, 99sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
101100adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10285, 91, 93sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
103102adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
104 dmun 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
105 opex 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
106 opex 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. x ,  z >.  e.  _V
107105, 106prss 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  <->  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  C_  F
)
108 undif 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  C_  F  <->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
109107, 108sylbb 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
110109dmeqd 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  dom  F
)
111104, 110syl5reqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )
112 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
113 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
114112, 113dmprop 5311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x ,  x }
115 dfsn2 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x }  =  { x ,  x }
116114, 115eqtr4i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x }
117116uneq1i 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
118111, 117syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
119118fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
120119ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
121 hashun2 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { x }  e.  Fin  /\  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12246, 88, 121sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12355oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
124122, 123syl6breq 4328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
125124adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
126120, 125eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
127 1lt2 10484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
128 ltadd1 9802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
12998, 85, 128mp3an12 1299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  ->  ( 1  <  2  <->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
13091, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
131127, 130mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
132131adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
13384, 101, 103, 126, 132lelttrd 9525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
134 fidomdm 7589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
13586, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
136 hashdom 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
13788, 86, 136syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
138135, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
139 hashcl 12122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
14086, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
141140nn0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
142 leadd2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14385, 142mp3an3 1298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14491, 141, 143syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
145138, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
146145adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
147 prfi 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin
148 disjdif 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  i^i  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/)
149 hashun 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  /\  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  i^i  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
150147, 148, 149mp3an13 1300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
15186, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
152151adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
153109fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
154153ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
15553, 112opth 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>. 
<->  ( x  =  x  /\  y  =  z ) )
156155simprbi 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>.  ->  y  =  z )
157156necon3i 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =/=  z  ->  <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >. )
158 hashprg 12151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _V  /\  <. x ,  z >.  e.  _V )  ->  ( <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >.  <->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 ) )
159105, 106, 158mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  <. x ,  z
>. 
<->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 )
160157, 159sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =/=  z  ->  ( # `
 { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  =  2 )
161160oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =/=  z  ->  (
( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
162161ad2antll 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( ( # `  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
163152, 154, 1623eqtr3rd 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
164146, 163breqtrd 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( # `
 F ) )
16584, 94, 97, 133, 164ltletrd 9527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
16684, 165gtned 9505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  =/=  ( # `  dom  F ) )
167166ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
168167exlimdv 1695 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
169168exlimdvv 1696 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x E. y E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
17083, 169syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
171170necon4bd 2671 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
172171imp 429 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
173 dffun4 5427 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
17473, 172, 173sylanbrc 659 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Fun  F )
175174ex 434 . 2  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Fun  F ) )
1763, 175impbid2 204 1  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   <.cop 3880   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   dom cdm 4836   Rel wrel 4841   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ~<_ cdom 7304   Fincfn 7306   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415   2c2 10367   NN0cn0 10575   #chash 12099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100
This theorem is referenced by:  hashfzdm  12198  hashfirdm  12200  cusgrasizeinds  23319
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