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Theorem hashfun 12457
Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfun  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )

Proof of Theorem hashfun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 5615 . . 3  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
2 hashfn 12407 . . 3  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )
31, 2sylbi 195 . 2  |-  ( Fun 
F  ->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) )
4 dmfi 7799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  F  e.  Fin )
5 hashcl 12392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
F  e.  Fin  ->  (
# `  dom  F )  e.  NN0 )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  NN0 )
76nn0red 10849 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  F )  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  e.  RR )
9 df-rel 5006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Rel 
F  <->  F  C_  ( _V 
X.  _V ) )
10 dfss3 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F 
C_  ( _V  X.  _V )  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
119, 10bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel 
F  <->  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1211notbii 296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
Rel  F  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
13 rexnal 2912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  -.  A. x  e.  F  x  e.  ( _V  X.  _V )
)
1412, 13bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
Rel  F  <->  E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
15 dmun 5207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )
1615fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  dom  ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )
17 dmsnn0 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( _V  X.  _V )  <->  dom  { x }  =/=  (/) )
1817biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( dom 
{ x }  =/=  (/) 
->  x  e.  ( _V  X.  _V ) )
1918necon1bi 2700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  x  e.  ( _V 
X.  _V )  ->  dom  { x }  =  (/) )
20193ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  dom  { x }  =  (/) )
2120uneq2d 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  ( dom  ( F 
\  { x }
)  u.  (/) ) )
22 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  u.  (/) )  =  dom  ( F  \  { x } )
2321, 22syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( dom  ( F  \  { x }
)  u.  dom  {
x } )  =  dom  ( F  \  { x } ) )
2423fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  ( dom  ( F  \  {
x } )  u. 
dom  { x } ) )  =  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) ) )
2516, 24syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  ( F 
\  { x }
) ) )
26 diffi 7747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )
27 dmfi 7799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin )
29 hashcl 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  e. 
NN0 )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3130nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
32 hashcl 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( F  \  { x }
) )  e.  NN0 )
3326, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  NN0 )
3433nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  e.  RR )
35 peano2re 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  e.  RR  ->  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  e.  RR )
37 fidomdm 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) )
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F 
\  { x }
) )
39 hashdom 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( dom  ( F  \  { x } )  e.  Fin  /\  ( F  \  { x }
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  <_ 
( # `  ( F 
\  { x }
) )  <->  dom  ( F 
\  { x }
)  ~<_  ( F  \  { x } ) ) )
4028, 26, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { x }
) )  <_  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <->  dom  ( F  \  { x } )  ~<_  ( F  \  {
x } ) ) )
4138, 40mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { x }
) ) )
4234ltp1d 10472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
4331, 34, 36, 41, 42lelttrd 9735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { x } ) )  <  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 ) )
44433ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { x } ) )  < 
( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  1 ) )
4525, 44eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 ) )
46 snfi 7593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { x }  e.  Fin
47 incom 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  ( { x }  i^i  ( F  \  {
x } ) )
48 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { x }  i^i  ( F  \  { x }
) )  =  (/)
4947, 48eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { x } )  i^i  {
x } )  =  (/)
50 hashun 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  \  {
x } )  e. 
Fin  /\  { x }  e.  Fin  /\  (
( F  \  {
x } )  i^i 
{ x } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
5146, 49, 50mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { x } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) ) )
5226, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( ( # `  ( F  \  { x }
) )  +  (
# `  { x } ) ) )
53 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 hashsng 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  _V  ->  ( # `
 { x }
)  =  1 )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( # `  { x } )  =  1
5655oveq2i 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  ( # `  { x } ) )  =  ( (
# `  ( F  \  { x } ) )  +  1 )
5752, 56syl6req 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  ( F 
\  { x }
) )  +  1 )  =  ( # `  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) ) )
58573ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( ( # `  ( F  \  {
x } ) )  +  1 )  =  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) ) )
5945, 58breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  <  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) ) )
60 difsnid 4173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  F  ->  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } )  =  F )
6160dmeqd 5203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  F  ->  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
)  =  dom  F
)
6261fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 dom  ( ( F  \  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  dom  F ) )
63623ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  ( ( F  \  { x } )  u.  { x }
) )  =  (
# `  dom  F ) )
6460fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  F  ->  ( # `
 ( ( F 
\  { x }
)  u.  { x } ) )  =  ( # `  F
) )
65643ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  (
( F  \  {
x } )  u. 
{ x } ) )  =  ( # `  F ) )
6659, 63, 653brtr3d 4476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  x  e.  F  /\  -.  x  e.  ( _V  X.  _V ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
6766rexlimdv3a 2957 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x  e.  F  -.  x  e.  ( _V  X.  _V )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) ) )
6814, 67syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 dom  F )  <  ( # `  F
) ) )
6968imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  dom  F
)  <  ( # `  F
) )
708, 69gtned 9715 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  -.  Rel  F )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) )
7170ex 434 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  Rel  F  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
7271necon4bd 2689 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Rel  F ) )
7372imp 429 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Rel  F )
74 2nalexn 1629 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
75 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =/=  z  <->  -.  y  =  z )
7675anbi2i 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z ) )
77 annim 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  -.  y  =  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7876, 77bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  -.  (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
7978exbii 1644 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  <->  E. z  -.  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
80 exnal 1628 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  -.  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  -.  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  -> 
y  =  z ) )
8179, 80bitr2i 250 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. z
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )
82812exbii 1645 . . . . . . . 8  |-  ( E. x E. y  -. 
A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
8374, 82bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  <->  E. x E. y E. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z ) )
847adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  e.  RR )
85 2re 10601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
86 diffi 7747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
87 dmfi 7799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )
89 hashcl 12392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
9190nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
93 readdcl 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
9485, 92, 93sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
95 hashcl 12392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e. 
NN0 )
9695nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 F )  e.  RR )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  e.  RR )
98 1re 9591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
99 readdcl 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10098, 91, 99sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
10285, 91, 93sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  e.  RR )
104 dmun 5207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
105 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. x ,  y >.  e.  _V
106 opex 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  <. x ,  z >.  e.  _V
107105, 106prss 4181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  <->  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  C_  F
)
108 undif 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  C_  F  <->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
109107, 108sylbb 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  F )
110109dmeqd 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  dom  F
)
111104, 110syl5reqr 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )
112 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
113 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
114112, 113dmprop 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x ,  x }
115 dfsn2 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { x }  =  { x ,  x }
116114, 115eqtr4i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  =  { x }
117116uneq1i 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
{ <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )
118111, 117syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  dom  F  =  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
119118fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
120119ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  =  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
121 hashun2 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { x }  e.  Fin  /\  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin )  -> 
( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12246, 88, 121sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
( # `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
12355oveq1i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  { x } )  +  (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
124122, 123syl6breq 4486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { x }  u.  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { x }  u.  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
126120, 125eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <_  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
127 1lt2 10698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
128 ltadd1 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  -> 
( 1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
12998, 85, 128mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  dom  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  ->  ( 1  <  2  <->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
13091, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  <  2  <->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) ) )
131127, 130mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 1  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
13384, 101, 103, 126, 132lelttrd 9735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
134 fidomdm 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
13586, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) )
136 hashdom 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  e. 
Fin )  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
13788, 86, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  ~<_  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
138135, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )
139 hashcl 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
14086, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  NN0 )
141140nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )
142 leadd2 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14385, 142mp3an3 1313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR  /\  ( # `  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  e.  RR )  ->  ( ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
14491, 141, 143syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <_  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  <->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) ) )
145138, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
146145adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  (
2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
147 prfi 7791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin
148 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  i^i  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/)
149 hashun 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  e.  Fin  /\  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  e.  Fin  /\  ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  i^i  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) )  =  (/) )  -> 
( # `  ( {
<. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. }  u.  ( F 
\  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
150147, 148, 149mp3an13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
15186, 150syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( # `
 ( { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  +  (
# `  ( F  \  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } ) ) ) )
153109fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
154153ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  ( { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. }  u.  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
15553, 112opth 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>. 
<->  ( x  =  x  /\  y  =  z ) )
156155simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. x ,  z
>.  ->  y  =  z )
157156necon3i 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =/=  z  ->  <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >. )
158 hashprg 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  _V  /\  <. x ,  z >.  e.  _V )  ->  ( <. x ,  y >.  =/=  <. x ,  z >.  <->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 ) )
159105, 106, 158mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  <. x ,  z
>. 
<->  ( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } )  =  2 )
160157, 159sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =/=  z  ->  ( # `
 { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  =  2 )
161160oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =/=  z  ->  (
( # `  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
162161ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( ( # `  { <. x ,  y
>. ,  <. x ,  z >. } )  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z
>. } ) ) ) )
163152, 154, 1623eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  =  (
# `  F )
)
164146, 163breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( 2  +  ( # `  dom  ( F  \  { <. x ,  y >. ,  <. x ,  z >. } ) ) )  <_  ( # `
 F ) )
16584, 94, 97, 133, 164ltletrd 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  dom  F )  <  ( # `  F ) )
16684, 165gtned 9715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z ) )  ->  ( # `  F
)  =/=  ( # `  dom  F ) )
167166ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  /\  y  =/=  z )  -> 
( # `  F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
168167exlimdv 1700 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
169168exlimdvv 1701 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( E. x E. y E. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  /\  y  =/=  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
17083, 169syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( -.  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z )  ->  ( # `
 F )  =/=  ( # `  dom  F ) ) )
171170necon4bd 2689 . . . . 5  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
172171imp 429 . . . 4  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
173 dffun4 5598 . . . 4  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
17473, 172, 173sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( # `  F )  =  ( # `  dom  F ) )  ->  Fun  F )
175174ex 434 . 2  |-  ( F  e.  Fin  ->  (
( # `  F )  =  ( # `  dom  F )  ->  Fun  F ) )
1763, 175impbid2 204 1  |-  ( F  e.  Fin  ->  ( Fun  F  <->  ( # `  F
)  =  ( # `  dom  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625   2c2 10581   NN0cn0 10791   #chash 12369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-hash 12370
This theorem is referenced by:  hashfzdm  12460  hashfirdm  12462  cusgrasizeinds  24152
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