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Theorem hashfacen 12206
Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  ~~  {
f  |  f : B -1-1-onto-> D } )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    C, f    D, f

Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables  g  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7318 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  E. g 
g : A -1-1-onto-> B )
2 bren 7318 . 2  |-  ( C 
~~  D  <->  E. h  h : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 1932 . . 3  |-  ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  <->  ( E. g  g : A -1-1-onto-> B  /\  E. h  h : C -1-1-onto-> D ) )
4 f1of 5640 . . . . . . . 8  |-  ( f : A -1-1-onto-> C  ->  f : A
--> C )
5 f1odm 5644 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  dom  h  =  C )
6 vex 2974 . . . . . . . . . . 11  |-  h  e. 
_V
76dmex 6510 . . . . . . . . . 10  |-  dom  h  e.  _V
85, 7syl6eqelr 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  C  e.  _V )
9 f1odm 5644 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : A -1-1-onto-> B  ->  dom  g  =  A )
10 vex 2974 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
1110dmex 6510 . . . . . . . . . 10  |-  dom  g  e.  _V
129, 11syl6eqelr 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( g : A -1-1-onto-> B  ->  A  e.  _V )
13 elmapg 7226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
f : A --> C ) )
148, 12, 13syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
f  e.  ( C  ^m  A )  <->  f : A
--> C ) )
154, 14syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
f : A -1-1-onto-> C  -> 
f  e.  ( C  ^m  A ) ) )
1615abssdv 3425 . . . . . 6  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  C_  ( C  ^m  A ) )
17 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( C  ^m  A )  e. 
_V
1817ssex 4435 . . . . . 6  |-  ( { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  C_  ( C  ^m  A )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  e.  _V )
1916, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  e.  _V )
20 f1of 5640 . . . . . . . 8  |-  ( f : B -1-1-onto-> D  ->  f : B
--> D )
21 f1ofo 5647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  h : C -onto-> D )
22 forn 5622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : C -onto-> D  ->  ran  h  =  D )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  ran  h  =  D )
246rnex 6511 . . . . . . . . . 10  |-  ran  h  e.  _V
2523, 24syl6eqelr 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  D  e.  _V )
26 f1ofo 5647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : A -1-1-onto-> B  ->  g : A -onto-> B )
27 forn 5622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : A -onto-> B  ->  ran  g  =  B
)
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : A -1-1-onto-> B  ->  ran  g  =  B )
2910rnex 6511 . . . . . . . . . 10  |-  ran  g  e.  _V
3028, 29syl6eqelr 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( g : A -1-1-onto-> B  ->  B  e.  _V )
31 elmapg 7226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( D  ^m  B )  <-> 
f : B --> D ) )
3225, 30, 31syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
f  e.  ( D  ^m  B )  <->  f : B
--> D ) )
3320, 32syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
f : B -1-1-onto-> D  -> 
f  e.  ( D  ^m  B ) ) )
3433abssdv 3425 . . . . . 6  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }  C_  ( D  ^m  B ) )
35 ovex 6115 . . . . . . 7  |-  ( D  ^m  B )  e. 
_V
3635ssex 4435 . . . . . 6  |-  ( { f  |  f : B -1-1-onto-> D }  C_  ( D  ^m  B )  ->  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }  e.  _V )
3734, 36syl 16 . . . . 5  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }  e.  _V )
38 f1oco 5662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h : C -1-1-onto-> D  /\  x : A -1-1-onto-> C )  ->  (
h  o.  x ) : A -1-1-onto-> D )
3938adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  x : A -1-1-onto-> C
)  ->  ( h  o.  x ) : A -1-1-onto-> D
)
40 f1ocnv 5652 . . . . . . . . 9  |-  ( g : A -1-1-onto-> B  ->  `' g : B -1-1-onto-> A )
4140ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  x : A -1-1-onto-> C
)  ->  `' g : B -1-1-onto-> A )
42 f1oco 5662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( h  o.  x
) : A -1-1-onto-> D  /\  `' g : B -1-1-onto-> A
)  ->  ( (
h  o.  x )  o.  `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4339, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  x : A -1-1-onto-> C
)  ->  ( (
h  o.  x )  o.  `' g ) : B -1-1-onto-> D )
4443ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x : A -1-1-onto-> C  -> 
( ( h  o.  x )  o.  `' g ) : B -1-1-onto-> D
) )
45 vex 2974 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
46 f1oeq1 5631 . . . . . . 7  |-  ( f  =  x  ->  (
f : A -1-1-onto-> C  <->  x : A
-1-1-onto-> C ) )
4745, 46elab 3105 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  <->  x : A -1-1-onto-> C )
486, 45coex 6528 . . . . . . . 8  |-  ( h  o.  x )  e. 
_V
4910cnvex 6524 . . . . . . . 8  |-  `' g  e.  _V
5048, 49coex 6528 . . . . . . 7  |-  ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  e.  _V
51 f1oeq1 5631 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  -> 
( f : B -1-1-onto-> D  <->  ( ( h  o.  x
)  o.  `' g ) : B -1-1-onto-> D ) )
5250, 51elab 3105 . . . . . 6  |-  ( ( ( h  o.  x
)  o.  `' g )  e.  { f  |  f : B -1-1-onto-> D } 
<->  ( ( h  o.  x )  o.  `' g ) : B -1-1-onto-> D
)
5344, 47, 523imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  ->  ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  e. 
{ f  |  f : B -1-1-onto-> D } ) )
54 f1ocnv 5652 . . . . . . . . 9  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  `' h : D -1-1-onto-> C )
5554ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  y : B -1-1-onto-> D
)  ->  `' h : D -1-1-onto-> C )
56 f1oco 5662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : B -1-1-onto-> D  /\  g : A -1-1-onto-> B )  ->  (
y  o.  g ) : A -1-1-onto-> D )
5756ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  y : B -1-1-onto-> D )  ->  (
y  o.  g ) : A -1-1-onto-> D )
5857adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  y : B -1-1-onto-> D
)  ->  ( y  o.  g ) : A -1-1-onto-> D
)
59 f1oco 5662 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' h : D -1-1-onto-> C  /\  ( y  o.  g
) : A -1-1-onto-> D )  ->  ( `' h  o.  ( y  o.  g
) ) : A -1-1-onto-> C
)
6055, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  y : B -1-1-onto-> D
)  ->  ( `' h  o.  ( y  o.  g ) ) : A -1-1-onto-> C )
6160ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y : B -1-1-onto-> D  -> 
( `' h  o.  ( y  o.  g
) ) : A -1-1-onto-> C
) )
62 vex 2974 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
63 f1oeq1 5631 . . . . . . 7  |-  ( f  =  y  ->  (
f : B -1-1-onto-> D  <->  y : B
-1-1-onto-> D ) )
6462, 63elab 3105 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }  <->  y : B -1-1-onto-> D )
656cnvex 6524 . . . . . . . 8  |-  `' h  e.  _V
6662, 10coex 6528 . . . . . . . 8  |-  ( y  o.  g )  e. 
_V
6765, 66coex 6528 . . . . . . 7  |-  ( `' h  o.  ( y  o.  g ) )  e.  _V
68 f1oeq1 5631 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( `' h  o.  ( y  o.  g
) )  ->  (
f : A -1-1-onto-> C  <->  ( `' h  o.  ( y  o.  g ) ) : A -1-1-onto-> C ) )
6967, 68elab 3105 . . . . . 6  |-  ( ( `' h  o.  (
y  o.  g ) )  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> C } 
<->  ( `' h  o.  ( y  o.  g
) ) : A -1-1-onto-> C
)
7061, 64, 693imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }  ->  ( `' h  o.  ( y  o.  g
) )  e.  {
f  |  f : A -1-1-onto-> C } ) )
7147, 64anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  /\  y  e.  {
f  |  f : B -1-1-onto-> D } )  <->  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )
72 coass 5355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h  o.  x
)  o.  `' g )  o.  g )  =  ( ( h  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )
73 f1ococnv1 5668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : A -1-1-onto-> B  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  A ) )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  A )
)
7574coeq2d 5001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g
) )  =  ( ( h  o.  x
)  o.  (  _I  |`  A ) ) )
7639adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( h  o.  x
) : A -1-1-onto-> D )
77 f1of 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  o.  x ) : A -1-1-onto-> D  ->  ( h  o.  x ) : A --> D )
78 fcoi1 5584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( h  o.  x ) : A --> D  -> 
( ( h  o.  x )  o.  (  _I  |`  A ) )  =  ( h  o.  x ) )
7976, 77, 783syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  o.  (  _I  |`  A ) )  =  ( h  o.  x ) )
8075, 79eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g
) )  =  ( h  o.  x ) )
8172, 80syl5req 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( h  o.  x
)  =  ( ( ( h  o.  x
)  o.  `' g )  o.  g ) )
82 coass 5355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( h  o.  `' h
)  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( h  o.  ( `' h  o.  ( y  o.  g
) ) )
83 f1ococnv2 5666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  ( h  o.  `' h )  =  (  _I  |`  D )
)
8483ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( h  o.  `' h )  =  (  _I  |`  D )
)
8584coeq1d 5000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  `' h )  o.  (
y  o.  g ) )  =  ( (  _I  |`  D )  o.  ( y  o.  g
) ) )
8658adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( y  o.  g
) : A -1-1-onto-> D )
87 f1of 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  o.  g ) : A -1-1-onto-> D  ->  ( y  o.  g ) : A --> D )
88 fcoi2 5585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  o.  g ) : A --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
8986, 87, 883syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
9085, 89eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  `' h )  o.  (
y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g ) )
9182, 90syl5eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( h  o.  ( `' h  o.  (
y  o.  g ) ) )  =  ( y  o.  g ) )
9281, 91eqeq12d 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  =  ( h  o.  ( `' h  o.  ( y  o.  g ) ) )  <->  ( ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  =  ( y  o.  g
) ) )
93 eqcom 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
)  =  ( y  o.  g )  <->  ( y  o.  g )  =  ( ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
) )
9492, 93syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  =  ( h  o.  ( `' h  o.  ( y  o.  g ) ) )  <->  ( y  o.  g )  =  ( ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
) ) )
95 f1of1 5639 . . . . . . . . . 10  |-  ( h : C -1-1-onto-> D  ->  h : C -1-1-> D )
9695ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  ->  h : C -1-1-> D )
97 f1of 5640 . . . . . . . . . 10  |-  ( x : A -1-1-onto-> C  ->  x : A
--> C )
9897ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  ->  x : A --> C )
9960adantrl 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( `' h  o.  ( y  o.  g
) ) : A -1-1-onto-> C
)
100 f1of 5640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' h  o.  (
y  o.  g ) ) : A -1-1-onto-> C  -> 
( `' h  o.  ( y  o.  g
) ) : A --> C )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( `' h  o.  ( y  o.  g
) ) : A --> C )
102 cocan1 5994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h : C -1-1-> D  /\  x : A --> C  /\  ( `' h  o.  (
y  o.  g ) ) : A --> C )  ->  ( ( h  o.  x )  =  ( h  o.  ( `' h  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' h  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
10396, 98, 101, 102syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  =  ( h  o.  ( `' h  o.  ( y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' h  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
10426ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
g : A -onto-> B
)
105 f1ofn 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : B -1-1-onto-> D  ->  y  Fn  B )
106105ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
y  Fn  B )
10743adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  o.  `' g ) : B -1-1-onto-> D
)
108 f1ofn 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( h  o.  x
)  o.  `' g ) : B -1-1-onto-> D  -> 
( ( h  o.  x )  o.  `' g )  Fn  B
)
109107, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( h  o.  x )  o.  `' g )  Fn  B
)
110 cocan2 5995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : A -onto-> B  /\  y  Fn  B  /\  ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  Fn  B
)  ->  ( (
y  o.  g )  =  ( ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( h  o.  x )  o.  `' g ) ) )
111104, 106, 109, 110syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( ( y  o.  g )  =  ( ( ( h  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
)  <->  y  =  ( ( h  o.  x
)  o.  `' g ) ) )
11294, 103, 1113bitr3d 283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D ) )  -> 
( x  =  ( `' h  o.  (
y  o.  g ) )  <->  y  =  ( ( h  o.  x
)  o.  `' g ) ) )
113112ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x : A -1-1-onto-> C  /\  y : B -1-1-onto-> D )  ->  ( x  =  ( `' h  o.  ( y  o.  g
) )  <->  y  =  ( ( h  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
11471, 113syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x  e.  {
f  |  f : A -1-1-onto-> C }  /\  y  e.  { f  |  f : B -1-1-onto-> D } )  -> 
( x  =  ( `' h  o.  (
y  o.  g ) )  <->  y  =  ( ( h  o.  x
)  o.  `' g ) ) ) )
11519, 37, 53, 70, 114en3d 7345 . . . 4  |-  ( ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  ~~  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }
)
116115exlimivv 1689 . . 3  |-  ( E. g E. h ( g : A -1-1-onto-> B  /\  h : C -1-1-onto-> D )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  ~~  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }
)
1173, 116sylbir 213 . 2  |-  ( ( E. g  g : A -1-1-onto-> B  /\  E. h  h : C -1-1-onto-> D )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  ~~  { f  |  f : B -1-1-onto-> D }
)
1181, 2, 117syl2anb 479 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> C }  ~~  {
f  |  f : B -1-1-onto-> D } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2428   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   class class class wbr 4291    _I cid 4630   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843    Fn wfn 5412   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   -onto->wfo 5415   -1-1-onto->wf1o 5416  (class class class)co 6090    ^m cmap 7213    ~~ cen 7306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7215  df-en 7310
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