MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfac Structured version   Unicode version

Theorem hashfac 12474
Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfac  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-onto-> A }
)  =  ( ! `
 ( # `  A
) ) )
Distinct variable group:    A, f

Proof of Theorem hashfac
StepHypRef Expression
1 hashf1 12473 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> A } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  A )  _C  ( # `  A
) ) ) )
21anidms 645 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> A } )  =  ( ( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  A )  _C  ( # `
 A ) ) ) )
3 enrefg 7548 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  ~~  A )
4 f1finf1o 7747 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f : A -1-1-> A  <-> 
f : A -1-1-onto-> A ) )
53, 4mpancom 669 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
f : A -1-1-> A  <->  f : A -1-1-onto-> A ) )
65abbidv 2603 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  f : A -1-1-> A }  =  { f  |  f : A -1-1-onto-> A } )
76fveq2d 5870 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> A } )  =  (
# `  { f  |  f : A -1-1-onto-> A } ) )
8 hashcl 12397 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
9 bcnn 12359 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A )  _C  ( # `  A
) )  =  1 )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  _C  ( # `  A
) )  =  1 )
1110oveq2d 6301 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  A )  _C  ( # `
 A ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  A ) )  x.  1 ) )
12 faccl 12332 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  A
) )  e.  NN )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ! `  ( # `  A
) )  e.  NN )
1413nncnd 10553 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ! `  ( # `  A
) )  e.  CC )
1514mulid1d 9614 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ! `  ( # `
 A ) )  x.  1 )  =  ( ! `  ( # `
 A ) ) )
1611, 15eqtrd 2508 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  A )  _C  ( # `
 A ) ) )  =  ( ! `
 ( # `  A
) ) )
172, 7, 163eqtr3d 2516 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-onto-> A }
)  =  ( ! `
 ( # `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   class class class wbr 4447   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ~~ cen 7514   Fincfn 7517   1c1 9494    x. cmul 9498   NNcn 10537   NN0cn0 10796   !cfa 12322    _C cbc 12349   #chash 12374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375
This theorem is referenced by:  symghash  16224  subfaclefac  28371
  Copyright terms: Public domain W3C validator