MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfac Structured version   Unicode version

Theorem hashfac 12211
Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfac  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-onto-> A }
)  =  ( ! `
 ( # `  A
) ) )
Distinct variable group:    A, f

Proof of Theorem hashfac
StepHypRef Expression
1 hashf1 12210 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> A } )  =  ( ( ! `
 ( # `  A
) )  x.  (
( # `  A )  _C  ( # `  A
) ) ) )
21anidms 645 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> A } )  =  ( ( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  A )  _C  ( # `
 A ) ) ) )
3 enrefg 7341 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  ~~  A )
4 f1finf1o 7539 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f : A -1-1-> A  <-> 
f : A -1-1-onto-> A ) )
53, 4mpancom 669 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
f : A -1-1-> A  <->  f : A -1-1-onto-> A ) )
65abbidv 2557 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  { f  |  f : A -1-1-> A }  =  { f  |  f : A -1-1-onto-> A } )
76fveq2d 5695 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> A } )  =  (
# `  { f  |  f : A -1-1-onto-> A } ) )
8 hashcl 12126 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
9 bcnn 12088 . . . . 5  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A )  _C  ( # `  A
) )  =  1 )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  _C  ( # `  A
) )  =  1 )
1110oveq2d 6107 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  A )  _C  ( # `
 A ) ) )  =  ( ( ! `  ( # `  A ) )  x.  1 ) )
12 faccl 12061 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ! `  ( # `  A
) )  e.  NN )
138, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ! `  ( # `  A
) )  e.  NN )
1413nncnd 10338 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ! `  ( # `  A
) )  e.  CC )
1514mulid1d 9403 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ! `  ( # `
 A ) )  x.  1 )  =  ( ! `  ( # `
 A ) ) )
1611, 15eqtrd 2475 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ! `  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  A )  _C  ( # `
 A ) ) )  =  ( ! `
 ( # `  A
) ) )
172, 7, 163eqtr3d 2483 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-onto-> A }
)  =  ( ! `
 ( # `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   class class class wbr 4292   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    ~~ cen 7307   Fincfn 7310   1c1 9283    x. cmul 9287   NNcn 10322   NN0cn0 10579   !cfa 12051    _C cbc 12078   #chash 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-fac 12052  df-bc 12079  df-hash 12104
This theorem is referenced by:  symghash  15890  subfaclefac  27064
  Copyright terms: Public domain W3C validator