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Theorem hashf1lem2 11660
Description: Lemma for hashf1 11661. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
Assertion
Ref Expression
hashf1lem2  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)

Proof of Theorem hashf1lem2
Dummy variables  a  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3327 . 2  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }
2 hashf1lem2.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 hashf1lem2.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
4 mapfi 7361 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  A
)  e.  Fin )
6 f1f 5598 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
7 elmapg 6990 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
82, 3, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
96, 8syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : A -1-1-> B  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) ) )
109abssdv 3377 . . . 4  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A
) )
11 ssfi 7288 . . . 4  |-  ( ( ( B  ^m  A
)  e.  Fin  /\  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  ( B  ^m  A ) )  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
125, 10, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin )
13 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
14 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  (/) ) )
15 noel 3592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
f  |`  A )  e.  (/)
1615pm2.21i 125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  |`  A )  e.  (/)  ->  f  e.  (/) )
1714, 16syl6bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  ->  f  e.  (/) ) )
1817adantrd 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f  e.  (/) ) )
1918abssdv 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } 
C_  (/) )
20 ss0 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  (/) )
2221fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  (/) ) )
23 hash0 11601 . . . . . . . 8  |-  ( # `  (/) )  =  0
2422, 23syl6eq 2452 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  0 )
25 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  (
# `  (/) ) )
2625, 23syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  x )  =  0 )
2726oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
2824, 27eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
2913, 28imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) ) )
3029imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) ) ) ) )
31 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
32 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  y ) )
3332anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
3433abbidv 2518 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )
3534fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
36 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
3736oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )
3835, 37eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
3931, 38imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) )
4039imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  ->  ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) ) ) )
41 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
42 eleq2 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } ) ) )
4342anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
4443abbidv 2518 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
4544fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
46 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( y  u.  {
a } ) ) )
4746oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 ( y  u. 
{ a } ) ) ) )
4845, 47eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
4941, 48imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
5049imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ a } )  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
51 sseq1 3329 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  <->  { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )
52 f1eq1 5593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  y  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  y : A -1-1-> B ) )
5352cbvabv 2523 . . . . . . . . . 10  |-  { f  |  f : A -1-1-> B }  =  { y  |  y : A -1-1-> B }
5453eqeq2i 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  x  =  { y  |  y : A -1-1-> B } )
55 ssun1 3470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
56 f1ssres 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  -> 
( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
5755, 56mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
58 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
5958resex 5145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  |`  A )  e.  _V
60 f1eq1 5593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f  |`  A )  ->  (
y : A -1-1-> B  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B ) )
6159, 60elab 3042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }  <->  ( f  |`  A ) : A -1-1-> B )
6257, 61sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B } )
63 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( f  |`  A )  e.  x  <->  ( f  |`  A )  e.  { y  |  y : A -1-1-> B }
) )
6462, 63syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  ->  ( f  |`  A )  e.  x ) )
6564pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B  <->  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
6665bicomd 193 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  ( ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
6766abbidv 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { y  |  y : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6854, 67sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B } )
6968fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } ) )
70 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  { f  |  f : A -1-1-> B }
) )
7170oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 x ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 { f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
7269, 71eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) )  <->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
7351, 72imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( x 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) )  <->  ( {
f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
7473imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  x  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  x
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B }
)  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) ) )
75 hashcl 11594 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
762, 75syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
7776nn0cnd 10232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  CC )
78 hashcl 11594 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
793, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
8079nn0cnd 10232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  CC )
8177, 80subcld 9367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
8281mul01d 9221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 )  =  0 )
8382eqcomd 2409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  0 ) )
8483a1d 23 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  0  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  0 ) ) )
85 ssun1 3470 . . . . . . . . 9  |-  y  C_  ( y  u.  {
a } )
86 sstr 3316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { a } )  /\  ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  y  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }
)
8785, 86mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
8887imim1i 56 . . . . . . 7  |-  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) ) )
89 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  (
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
90 elun 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  e.  {
a } ) )
9159elsnc 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  |`  A )  e.  { a }  <->  ( f  |`  A )  =  a )
9291orbi2i 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  (
f  |`  A )  e. 
{ a } )  <-> 
( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9390, 92bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  <->  ( (
f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a ) )
9493anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )
95 andir 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  \/  ( f  |`  A )  =  a )  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) )
9694, 95bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
9796abbii 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  {
f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) ) }
98 unab 3568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  \/  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
9997, 98eqtr4i 2427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  =  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
10099fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u. 
{ a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
101 snfi 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  e.  Fin
102 unfi 7333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
1033, 101, 102sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
104 mapvalg 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
1052, 103, 104syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  =  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B } )
106 mapfi 7361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
1072, 103, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
Fin )
108105, 107eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin )
109 f1f 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
110109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
111110ss2abi 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
112 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
113108, 111, 112sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
114113adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
115109adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
116115ss2abi 3375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
117 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }  e.  Fin  /\  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  { f  |  f : ( A  u.  { z } ) --> B }
)  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  Fin )
118108, 116, 117sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
119118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
120 inab 3569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  i^i  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }
121 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  -.  a  e.  y
)
122 abn0 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/)  <->  E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) )
123 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  =  a )
124 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  ( f  |`  A )  e.  y )
125123, 124eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )  ->  a  e.  y )
126125exlimiv 1641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. f ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  a  e.  y )
127122, 126sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  ( (
f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) ) }  =/=  (/) 
->  a  e.  y
)
128127necon1bi 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  a  e.  y  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
129121, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  ->  { f  |  ( ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) }  =  (/) )
130120, 129syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )
131 hashun 11611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\ 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  /\  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  i^i  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (/) )  ->  ( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
132114, 119, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  u.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
133100, 132syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) ) )
134 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  (
y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
135134unssbd 3485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
136 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  a  e. 
_V
137136snss 3886 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  { a }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )
138135, 137sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B }
)
139 f1eq1 5593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  a  ->  (
f : A -1-1-> B  <->  a : A -1-1-> B ) )
140136, 139elab 3042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { f  |  f : A -1-1-> B } 
<->  a : A -1-1-> B
)
141138, 140sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  /\  ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B } )  ->  a : A -1-1-> B )
14280adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
143118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin )
144 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  e. 
NN0 )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  NN0 )
146145nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  e.  CC )
147142, 146pncan2d 9369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
148 f1f1orn 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
149148adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-onto-> ran  a
)
150 f1oen3g 7082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( a  e.  _V  /\  a : A -1-1-onto-> ran  a )  ->  A  ~~  ran  a )
151136, 149, 150sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  ~~  ran  a )
152 hasheni 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
~~  ran  a  ->  (
# `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  ran  a ) )
1543adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  A  e.  Fin )
1552adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  B  e.  Fin )
156 hashf1lem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  -.  z  e.  A
)
158 hashf1lem2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
160 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
a : A -1-1-> B
)
161154, 155, 157, 159, 160hashf1lem1 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a ) )
162 hasheni 11587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  a )  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) )
164153, 163oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
165 f1f 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A -1-1-> B  -> 
a : A --> B )
166 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a : A --> B  ->  ran  a  C_  B )
167165, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a : A -1-1-> B  ->  ran  a  C_  B )
168167adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  C_  B )
169 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ran  a  C_  B )  ->  ran  a  e.  Fin )
170155, 168, 169syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  ->  ran  a  e.  Fin )
171 diffi 7298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  a )  e.  Fin )
172155, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( B  \  ran  a )  e.  Fin )
173 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  i^i  ( B 
\  ran  a )
)  =  (/)
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a
) )  =  (/) )
175 hashun 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  a  e.  Fin  /\  ( B  \  ran  a )  e.  Fin  /\  ( ran  a  i^i  ( B  \  ran  a ) )  =  (/) )  ->  ( # `  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) ) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  ( # `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
176170, 172, 174, 175syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  ( ( # `  ran  a )  +  (
# `  ( B  \  ran  a ) ) ) )
177 undif 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  a  C_  B  <->  ( ran  a  u.  ( B  \  ran  a ) )  =  B )
178168, 177sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ran  a  u.  ( B  \  ran  a
) )  =  B )
179178fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  ( ran  a  u.  ( B 
\  ran  a )
) )  =  (
# `  B )
)
180164, 176, 1793eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( # `  B
) )
181180oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( ( ( # `  A )  +  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } ) )  -  ( # `  A ) )  =  ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) ) )
182147, 181eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a : A -1-1-> B )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
183141, 182sylan2 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
184183oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  a  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )  =  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
185133, 184eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
186 hashunsng 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  _V  ->  (
( y  e.  Fin  /\ 
-.  a  e.  y )  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) ) )
187136, 186ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( # `  (
y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
188187ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  ( y  u.  { a } ) )  =  ( ( # `  y
)  +  1 ) )
189188oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  (
( # `  y )  +  1 ) ) )
19081adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  e.  CC )
191 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
y  e.  Fin )
192 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Fin  ->  ( # `
 y )  e. 
NN0 )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  NN0 )
194193nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( # `  y )  e.  CC )
195 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
1  e.  CC )
197190, 194, 196adddid 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( ( # `  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  1 ) ) )
198190mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  1 )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )
199198oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  ( # `
 y ) )  +  ( ( (
# `  B )  -  ( # `  A
) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
200189, 197, 1993eqtrd 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) )
201185, 200eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) )  <-> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) )  =  ( ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) )  +  ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )
20289, 201syl5ibr 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  /\  ( y  u.  { a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B } ) )  -> 
( ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) )
203202expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( ( # `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) )  ->  ( # `
 { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
204203a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( ( y  u.  { a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
20588, 204syl5 30 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y ) )  -> 
( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) )
206205expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
) ) )  -> 
( ( y  u. 
{ a } ) 
C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  {
a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
207206a2d 24 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  a  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  y  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  y
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a } )  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  (
# `  { f  |  ( ( f  |`  A )  e.  ( y  u.  { a } )  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )  =  ( ( ( # `  B )  -  ( # `
 A ) )  x.  ( # `  (
y  u.  { a } ) ) ) ) ) ) )
20830, 40, 50, 74, 84, 207findcard2s 7308 . . 3  |-  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_ 
{ f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
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)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) ) )
20912, 208mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( { f  |  f : A -1-1-> B }  C_  { f  |  f : A -1-1-> B }  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) ) )
2101, 209mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( # `  {
f  |  f : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B } )  =  ( ( ( # `  B
)  -  ( # `  A ) )  x.  ( # `  {
f  |  f : A -1-1-> B } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   class class class wbr 4172   ran crn 4838    |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247   NN0cn0 10177   #chash 11573
This theorem is referenced by:  hashf1  11661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574
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