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Theorem hashf1lem1 11659
Description: Lemma for hashf1 11661. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
hashf1lem1.5  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
Assertion
Ref Expression
hashf1lem1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f    f, F
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)    F( z)

Proof of Theorem hashf1lem1
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5598 . . . . . 6  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
21adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
3 hashf1lem2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
4 hashf1lem2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 snfi 7146 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  Fin
6 unfi 7333 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
8 elmapg 6990 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
93, 7, 8syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
102, 9syl5ibr 213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) ) )
1110abssdv 3377 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) )
12 ovex 6065 . . 3  |-  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e.  _V
13 ssexg 4309 . . 3  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  /\  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
_V )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  _V )
1411, 12, 13sylancl 644 . 2  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  _V )
15 difexg 4311 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
163, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
17 vex 2919 . . . 4  |-  g  e. 
_V
18 reseq1 5099 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  A )  =  ( g  |`  A ) )
1918eqeq1d 2412 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  |`  A )  =  F  <->  ( g  |`  A )  =  F ) )
20 f1eq1 5593 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
2119, 20anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
2217, 21elab 3042 . . 3  |-  ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
23 f1f 5598 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
2423ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
25 ssun2 3471 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( A  u.  { z } )
26 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
2726snss 3886 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { z } )  <->  { z }  C_  ( A  u.  { z } ) )
2825, 27mpbir 201 . . . . . 6  |-  z  e.  ( A  u.  {
z } )
29 ffvelrn 5827 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) --> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g `  z )  e.  B
)
3024, 28, 29sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  B )
31 hashf1lem2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
3231adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  z  e.  A )
33 df-ima 4850 . . . . . . . . 9  |-  ( g
" A )  =  ran  ( g  |`  A )
34 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g  |`  A )  =  F )
3534rneqd 5056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  ran  ( g  |`  A )  =  ran  F )
3633, 35syl5eq 2448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g " A )  =  ran  F )
3736eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  ( g `  z )  e.  ran  F ) )
38 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)
3928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )
40 ssun1 3470 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  A  C_  ( A  u.  {
z } ) )
42 f1elima 5968 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } )  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  ->  ( ( g `
 z )  e.  ( g " A
)  <->  z  e.  A
) )
4338, 39, 41, 42syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  z  e.  A ) )
4437, 43bitr3d 247 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ran  F  <->  z  e.  A ) )
4532, 44mtbird 293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  ( g `  z
)  e.  ran  F
)
4630, 45eldifd 3291 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) )
4746ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  ( g `  z )  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
4822, 47syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) ) )
49 hashf1lem1.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
50 f1f 5598 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
5149, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5251adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A --> B )
53 vex 2919 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5426, 53f1osn 5674 . . . . . . 7  |-  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }
55 f1of 5633 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x } )
5654, 55ax-mp 8 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }
57 eldifi 3429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  x  e.  B )
5857adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  x  e.  B )
5958snssd 3903 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { x }  C_  B )
60 fss 5558 . . . . . 6  |-  ( ( { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }  /\  { x }  C_  B )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
6156, 59, 60sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
62 res0 5109 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
63 res0 5109 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) )  =  (/)
6462, 63eqtr4i 2427 . . . . . 6  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  (/) )
65 disjsn 3828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
6631, 65sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
6766adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( A  i^i  { z } )  =  (/) )
6867reseq2d 5105 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( F  |`  (/) ) )
6967reseq2d 5105 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) ) )
7064, 68, 693eqtr4a 2462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )
71 fresaunres1 5575 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  {
<. z ,  x >. } : { z } --> B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  {
z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
7252, 61, 70, 71syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
73 f1f1orn 5644 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7449, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F
)
7574adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7654a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } )
77 eldifn 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  -.  x  e.  ran  F )
7877adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  -.  x  e.  ran  F )
79 disjsn 3828 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  F  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  ran  F )
8078, 79sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) )
81 f1oun 5653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> ran  F  /\  { <. z ,  x >. } : {
z } -1-1-onto-> { x } )  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) ) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
8275, 76, 67, 80, 81syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
83 f1of1 5632 . . . . . 6  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
8482, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
85 frn 5556 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
8652, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ran  F 
C_  B )
8786, 59unssd 3483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  u.  { x } )  C_  B
)
88 f1ss 5603 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  { x } )  /\  ( ran  F  u.  { x } ) 
C_  B )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
8984, 87, 88syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
90 fex 5928 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
9151, 4, 90syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9291adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F  e.  _V )
93 snex 4365 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. }  e.  _V
94 unexg 4669 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  {
<. z ,  x >. }  e.  _V )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V )
9592, 93, 94sylancl 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
_V )
96 reseq1 5099 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f  |`  A )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )
)
9796eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
f  |`  A )  =  F  <->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F ) )
98 f1eq1 5593 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) )
9997, 98anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10099elabg 3043 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10195, 100syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10272, 89, 101mpbir2and 889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
103102ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ran  F
)  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
10422anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  <->  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
105 simprlr 740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
106 f1fn 5599 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
107105, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
10882adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran  F  u.  { x } ) )
109 f1ofn 5634 . . . . . . 7  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )
110108, 109syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  { z } ) )
111 eqfnfv 5786 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  ( A  u.  { z } )  /\  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
112107, 110, 111syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
113 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( g  |`  A ) `
 y )  =  ( g `  y
) )
114113eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  =  ( ( g  |`  A ) `  y
) )
115 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  |`  A )  =  F )
116115fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
117114, 116sylan9eqr 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( F `
 y ) )
11849ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F : A -1-1-> B
)
119 f1fn 5599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F  Fn  A )
12126, 53fnsn 5463 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. z ,  x >. }  Fn  { z }
122121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  { <. z ,  x >. }  Fn  { z } )
12366ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
124 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
125 fvun1 5753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  {
<. z ,  x >. }  Fn  { z }  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
126120, 122, 123, 124, 125syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
127117, 126eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
128127ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
129128biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) ) )
130 ralunb 3488 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
131129, 130syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  A. y  e.  ( A  u.  {
z } ) ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
13226a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
z  e.  _V )
13353a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  x  e.  _V )
134 fdm 5554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
13551, 134syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
136135eleq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
13731, 136mtbird 293 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  F )
138137adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  -.  z  e.  dom  F )
139 fsnunfv 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
140132, 133, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
141140eqeq2d 2415 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  <-> 
( g `  z
)  =  x ) )
142 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
g `  y )  =  ( g `  z ) )
143 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) )
144142, 143eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) ) )
14526, 144ralsn 3809 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <-> 
( g `  z
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 z ) )
146 eqcom 2406 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( g `  z )  <->  ( g `  z )  =  x )
147141, 145, 1463bitr4g 280 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  x  =  ( g `  z
) ) )
148112, 131, 1473bitr2d 273 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <-> 
x  =  ( g `
 z ) ) )
149148ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
150104, 149syl5bi 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
15114, 16, 48, 103, 150en3d 7103 1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077   #chash 11573
This theorem is referenced by:  hashf1lem2  11660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-fin 7072
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