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Theorem hashf1lem1 12470
Description: Lemma for hashf1 12472. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
hashf1lem1.5  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
Assertion
Ref Expression
hashf1lem1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f    f, F
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)    F( z)

Proof of Theorem hashf1lem1
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5781 . . . . . 6  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
3 hashf1lem2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
4 hashf1lem2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 snfi 7596 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  Fin
6 unfi 7787 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
74, 5, 6sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
8 elmapg 7433 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
93, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
102, 9syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) ) )
1110abssdv 3574 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) )
12 ovex 6309 . . 3  |-  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e.  _V
13 ssexg 4593 . . 3  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  /\  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
_V )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  _V )
1411, 12, 13sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  _V )
15 difexg 4595 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
163, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
17 vex 3116 . . . 4  |-  g  e. 
_V
18 reseq1 5267 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  A )  =  ( g  |`  A ) )
1918eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  |`  A )  =  F  <->  ( g  |`  A )  =  F ) )
20 f1eq1 5776 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
2119, 20anbi12d 710 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
2217, 21elab 3250 . . 3  |-  ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
23 f1f 5781 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
2423ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
25 ssun2 3668 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( A  u.  { z } )
26 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
2726snss 4151 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { z } )  <->  { z }  C_  ( A  u.  { z } ) )
2825, 27mpbir 209 . . . . . 6  |-  z  e.  ( A  u.  {
z } )
29 ffvelrn 6019 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) --> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g `  z )  e.  B
)
3024, 28, 29sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  B )
31 hashf1lem2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
3231adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  z  e.  A )
33 df-ima 5012 . . . . . . . . 9  |-  ( g
" A )  =  ran  ( g  |`  A )
34 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g  |`  A )  =  F )
3534rneqd 5230 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  ran  ( g  |`  A )  =  ran  F )
3633, 35syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g " A )  =  ran  F )
3736eleq2d 2537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  ( g `  z )  e.  ran  F ) )
38 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)
3928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )
40 ssun1 3667 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  A  C_  ( A  u.  {
z } ) )
42 f1elima 6159 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } )  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  ->  ( ( g `
 z )  e.  ( g " A
)  <->  z  e.  A
) )
4338, 39, 41, 42syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  z  e.  A ) )
4437, 43bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ran  F  <->  z  e.  A ) )
4532, 44mtbird 301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  ( g `  z
)  e.  ran  F
)
4630, 45eldifd 3487 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) )
4746ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  ( g `  z )  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
4822, 47syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) ) )
49 hashf1lem1.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
50 f1f 5781 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
5149, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5251adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A --> B )
53 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5426, 53f1osn 5853 . . . . . . 7  |-  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }
55 f1of 5816 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x } )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }
57 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  x  e.  B )
5857adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  x  e.  B )
5958snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { x }  C_  B )
60 fss 5739 . . . . . 6  |-  ( ( { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }  /\  { x }  C_  B )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
6156, 59, 60sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
62 res0 5278 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
63 res0 5278 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) )  =  (/)
6462, 63eqtr4i 2499 . . . . . 6  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  (/) )
65 disjsn 4088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
6631, 65sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
6766adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( A  i^i  { z } )  =  (/) )
6867reseq2d 5273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( F  |`  (/) ) )
6967reseq2d 5273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) ) )
7064, 68, 693eqtr4a 2534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )
71 fresaunres1 5758 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  {
<. z ,  x >. } : { z } --> B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  {
z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
7252, 61, 70, 71syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
73 f1f1orn 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7449, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F
)
7574adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7654a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } )
77 eldifn 3627 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  -.  x  e.  ran  F )
7877adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  -.  x  e.  ran  F )
79 disjsn 4088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  F  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  ran  F )
8078, 79sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) )
81 f1oun 5835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> ran  F  /\  { <. z ,  x >. } : {
z } -1-1-onto-> { x } )  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) ) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
8275, 76, 67, 80, 81syl22anc 1229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
83 f1of1 5815 . . . . . 6  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
8482, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
85 frn 5737 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
8652, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ran  F 
C_  B )
8786, 59unssd 3680 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  u.  { x } )  C_  B
)
88 f1ss 5786 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  { x } )  /\  ( ran  F  u.  { x } ) 
C_  B )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
8984, 87, 88syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
90 fex 6133 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
9151, 4, 90syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9291adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F  e.  _V )
93 snex 4688 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. }  e.  _V
94 unexg 6585 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  {
<. z ,  x >. }  e.  _V )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V )
9592, 93, 94sylancl 662 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
_V )
96 reseq1 5267 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f  |`  A )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )
)
9796eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
f  |`  A )  =  F  <->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F ) )
98 f1eq1 5776 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) )
9997, 98anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10099elabg 3251 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10195, 100syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10272, 89, 101mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
103102ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ran  F
)  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
10422anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  <->  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
105 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
106 f1fn 5782 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
107105, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
10882adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran  F  u.  { x } ) )
109 f1ofn 5817 . . . . . . 7  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )
110108, 109syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  { z } ) )
111 eqfnfv 5975 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  ( A  u.  { z } )  /\  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
112107, 110, 111syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
113 fvres 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( g  |`  A ) `
 y )  =  ( g `  y
) )
114113eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  =  ( ( g  |`  A ) `  y
) )
115 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  |`  A )  =  F )
116115fveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
117114, 116sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( F `
 y ) )
11849ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F : A -1-1-> B
)
119 f1fn 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F  Fn  A )
12126, 53fnsn 5641 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. z ,  x >. }  Fn  { z }
122121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  { <. z ,  x >. }  Fn  { z } )
12366ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
124 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
125 fvun1 5938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  {
<. z ,  x >. }  Fn  { z }  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
126120, 122, 123, 124, 125syl112anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
127117, 126eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
128127ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
129128biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) ) )
130 ralunb 3685 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
131129, 130syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  A. y  e.  ( A  u.  {
z } ) ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
13226a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
z  e.  _V )
13353a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  x  e.  _V )
134 fdm 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
13551, 134syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
136135eleq2d 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
13731, 136mtbird 301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  F )
138137adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  -.  z  e.  dom  F )
139 fsnunfv 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
140132, 133, 138, 139syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
141140eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  <-> 
( g `  z
)  =  x ) )
142 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
g `  y )  =  ( g `  z ) )
143 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) )
144142, 143eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) ) )
14526, 144ralsn 4066 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <-> 
( g `  z
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 z ) )
146 eqcom 2476 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( g `  z )  <->  ( g `  z )  =  x )
147141, 145, 1463bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  x  =  ( g `  z
) ) )
148112, 131, 1473bitr2d 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <-> 
x  =  ( g `
 z ) ) )
149148ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
150104, 149syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
15114, 16, 48, 103, 150en3d 7552 1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420    ~~ cen 7513   Fincfn 7516   1c1 9493    + caddc 9495    <_ cle 9629   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-fin 7520
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