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Theorem hashf1lem1 12192
Description: Lemma for hashf1 12194. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
hashf1lem1.5  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
Assertion
Ref Expression
hashf1lem1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f    f, F
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)    F( z)

Proof of Theorem hashf1lem1
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5594 . . . . . 6  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
21adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
3 hashf1lem2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
4 hashf1lem2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 snfi 7378 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  Fin
6 unfi 7567 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
74, 5, 6sylancl 655 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
8 elmapg 7215 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
93, 7, 8syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
102, 9syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) ) )
1110abssdv 3414 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) )
12 ovex 6105 . . 3  |-  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e.  _V
13 ssexg 4426 . . 3  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  /\  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
_V )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  _V )
1411, 12, 13sylancl 655 . 2  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  _V )
15 difexg 4428 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
163, 15syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
17 vex 2965 . . . 4  |-  g  e. 
_V
18 reseq1 5091 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  A )  =  ( g  |`  A ) )
1918eqeq1d 2441 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  |`  A )  =  F  <->  ( g  |`  A )  =  F ) )
20 f1eq1 5589 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
2119, 20anbi12d 703 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
2217, 21elab 3095 . . 3  |-  ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
23 f1f 5594 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
2423ad2antll 721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
25 ssun2 3508 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( A  u.  { z } )
26 vex 2965 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
2726snss 3987 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { z } )  <->  { z }  C_  ( A  u.  { z } ) )
2825, 27mpbir 209 . . . . . 6  |-  z  e.  ( A  u.  {
z } )
29 ffvelrn 5829 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) --> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g `  z )  e.  B
)
3024, 28, 29sylancl 655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  B )
31 hashf1lem2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
3231adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  z  e.  A )
33 df-ima 4840 . . . . . . . . 9  |-  ( g
" A )  =  ran  ( g  |`  A )
34 simprl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g  |`  A )  =  F )
3534rneqd 5054 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  ran  ( g  |`  A )  =  ran  F )
3633, 35syl5eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g " A )  =  ran  F )
3736eleq2d 2500 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  ( g `  z )  e.  ran  F ) )
38 simprr 749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)
3928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )
40 ssun1 3507 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
4140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  A  C_  ( A  u.  {
z } ) )
42 f1elima 5963 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } )  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  ->  ( ( g `
 z )  e.  ( g " A
)  <->  z  e.  A
) )
4338, 39, 41, 42syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  z  e.  A ) )
4437, 43bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ran  F  <->  z  e.  A ) )
4532, 44mtbird 301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  ( g `  z
)  e.  ran  F
)
4630, 45eldifd 3327 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) )
4746ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  ( g `  z )  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
4822, 47syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) ) )
49 hashf1lem1.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
50 f1f 5594 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
5149, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5251adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A --> B )
53 vex 2965 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5426, 53f1osn 5666 . . . . . . 7  |-  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }
55 f1of 5629 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x } )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }
57 eldifi 3466 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  x  e.  B )
5857adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  x  e.  B )
5958snssd 4006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { x }  C_  B )
60 fss 5555 . . . . . 6  |-  ( ( { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }  /\  { x }  C_  B )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
6156, 59, 60sylancr 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
62 res0 5102 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
63 res0 5102 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) )  =  (/)
6462, 63eqtr4i 2456 . . . . . 6  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  (/) )
65 disjsn 3924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
6631, 65sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
6766adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( A  i^i  { z } )  =  (/) )
6867reseq2d 5097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( F  |`  (/) ) )
6967reseq2d 5097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) ) )
7064, 68, 693eqtr4a 2491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )
71 fresaunres1 5572 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  {
<. z ,  x >. } : { z } --> B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  {
z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
7252, 61, 70, 71syl3anc 1211 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
73 f1f1orn 5640 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7449, 73syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F
)
7574adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7654a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } )
77 eldifn 3467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  -.  x  e.  ran  F )
7877adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  -.  x  e.  ran  F )
79 disjsn 3924 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  F  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  ran  F )
8078, 79sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) )
81 f1oun 5648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> ran  F  /\  { <. z ,  x >. } : {
z } -1-1-onto-> { x } )  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) ) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
8275, 76, 67, 80, 81syl22anc 1212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
83 f1of1 5628 . . . . . 6  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
8482, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
85 frn 5553 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
8652, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ran  F 
C_  B )
8786, 59unssd 3520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  u.  { x } )  C_  B
)
88 f1ss 5599 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  { x } )  /\  ( ran  F  u.  { x } ) 
C_  B )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
8984, 87, 88syl2anc 654 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
90 fex 5937 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
9151, 4, 90syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9291adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F  e.  _V )
93 snex 4521 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. }  e.  _V
94 unexg 6370 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  {
<. z ,  x >. }  e.  _V )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V )
9592, 93, 94sylancl 655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
_V )
96 reseq1 5091 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f  |`  A )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )
)
9796eqeq1d 2441 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
f  |`  A )  =  F  <->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F ) )
98 f1eq1 5589 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) )
9997, 98anbi12d 703 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10099elabg 3096 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10195, 100syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10272, 89, 101mpbir2and 906 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
103102ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ran  F
)  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
10422anbi1i 688 . . 3  |-  ( ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  <->  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
105 simprlr 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
106 f1fn 5595 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
107105, 106syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
10882adantrl 708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran  F  u.  { x } ) )
109 f1ofn 5630 . . . . . . 7  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )
110108, 109syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  { z } ) )
111 eqfnfv 5785 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  ( A  u.  { z } )  /\  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
112107, 110, 111syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
113 fvres 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( g  |`  A ) `
 y )  =  ( g `  y
) )
114113eqcomd 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  =  ( ( g  |`  A ) `  y
) )
115 simprll 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  |`  A )  =  F )
116115fveq1d 5681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
117114, 116sylan9eqr 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( F `
 y ) )
11849ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F : A -1-1-> B
)
119 f1fn 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F  Fn  A )
12126, 53fnsn 5459 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. z ,  x >. }  Fn  { z }
122121a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  { <. z ,  x >. }  Fn  { z } )
12366ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
124 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
125 fvun1 5750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  {
<. z ,  x >. }  Fn  { z }  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
126120, 122, 123, 124, 125syl112anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
127117, 126eqtr4d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
128127ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
129128biantrurd 505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) ) )
130 ralunb 3525 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
131129, 130syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  A. y  e.  ( A  u.  {
z } ) ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
13226a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
z  e.  _V )
13353a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  x  e.  _V )
134 fdm 5551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
13551, 134syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
136135eleq2d 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
13731, 136mtbird 301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  F )
138137adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  -.  z  e.  dom  F )
139 fsnunfv 5905 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
140132, 133, 138, 139syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
141140eqeq2d 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  <-> 
( g `  z
)  =  x ) )
142 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
g `  y )  =  ( g `  z ) )
143 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) )
144142, 143eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) ) )
14526, 144ralsn 3903 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <-> 
( g `  z
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 z ) )
146 eqcom 2435 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( g `  z )  <->  ( g `  z )  =  x )
147141, 145, 1463bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  x  =  ( g `  z
) ) )
148112, 131, 1473bitr2d 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <-> 
x  =  ( g `
 z ) ) )
149148ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
150104, 149syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
15114, 16, 48, 103, 150en3d 7334 1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   <.cop 3871   class class class wbr 4280   dom cdm 4827   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    ^m cmap 7202    ~~ cen 7295   Fincfn 7298   1c1 9271    + caddc 9273    <_ cle 9407   #chash 12087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-fin 7302
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