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Theorem hashf1lem1 12659
Description: Lemma for hashf1 12661. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
hashf1lem1.5  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
Assertion
Ref Expression
hashf1lem1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f    f, F
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)    F( z)

Proof of Theorem hashf1lem1
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5792 . . . . . 6  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
21adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
3 hashf1lem2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
4 hashf1lem2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 snfi 7668 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  Fin
6 unfi 7856 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
74, 5, 6sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
83, 7elmapd 7504 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
92, 8syl5ibr 229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) ) )
109abssdv 3489 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) )
11 ovex 6336 . . 3  |-  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e.  _V
12 ssexg 4542 . . 3  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  /\  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
_V )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  _V )
1310, 11, 12sylancl 675 . 2  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  _V )
14 difexg 4545 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
153, 14syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
16 vex 3034 . . . 4  |-  g  e. 
_V
17 reseq1 5105 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  A )  =  ( g  |`  A ) )
1817eqeq1d 2473 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  |`  A )  =  F  <->  ( g  |`  A )  =  F ) )
19 f1eq1 5787 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
2018, 19anbi12d 725 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
2116, 20elab 3173 . . 3  |-  ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
22 f1f 5792 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
2322ad2antll 743 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
24 ssun2 3589 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( A  u.  { z } )
25 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
2625snss 4087 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { z } )  <->  { z }  C_  ( A  u.  { z } ) )
2724, 26mpbir 214 . . . . . 6  |-  z  e.  ( A  u.  {
z } )
28 ffvelrn 6035 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) --> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g `  z )  e.  B
)
2923, 27, 28sylancl 675 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  B )
30 hashf1lem2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
3130adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  z  e.  A )
32 df-ima 4852 . . . . . . . . 9  |-  ( g
" A )  =  ran  ( g  |`  A )
33 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g  |`  A )  =  F )
3433rneqd 5068 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  ran  ( g  |`  A )  =  ran  F )
3532, 34syl5eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g " A )  =  ran  F )
3635eleq2d 2534 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  ( g `  z )  e.  ran  F ) )
37 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)
3827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )
39 ssun1 3588 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  A  C_  ( A  u.  {
z } ) )
41 f1elima 6182 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } )  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  ->  ( ( g `
 z )  e.  ( g " A
)  <->  z  e.  A
) )
4237, 38, 40, 41syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  z  e.  A ) )
4336, 42bitr3d 263 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ran  F  <->  z  e.  A ) )
4431, 43mtbird 308 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  ( g `  z
)  e.  ran  F
)
4529, 44eldifd 3401 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) )
4645ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  ( g `  z )  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
4721, 46syl5bi 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) ) )
48 hashf1lem1.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
49 f1f 5792 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
5048, 49syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5150adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A --> B )
52 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5325, 52f1osn 5866 . . . . . . 7  |-  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }
54 f1of 5828 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x } )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }
56 eldifi 3544 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  x  e.  B )
5756adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  x  e.  B )
5857snssd 4108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { x }  C_  B )
59 fss 5749 . . . . . 6  |-  ( ( { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }  /\  { x }  C_  B )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
6055, 58, 59sylancr 676 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
61 res0 5115 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
62 res0 5115 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) )  =  (/)
6361, 62eqtr4i 2496 . . . . . 6  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  (/) )
64 disjsn 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
6530, 64sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
6665adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( A  i^i  { z } )  =  (/) )
6766reseq2d 5111 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( F  |`  (/) ) )
6866reseq2d 5111 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) ) )
6963, 67, 683eqtr4a 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )
70 fresaunres1 5768 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  {
<. z ,  x >. } : { z } --> B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  {
z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
7151, 60, 69, 70syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
72 f1f1orn 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7348, 72syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F
)
7473adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7553a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } )
76 eldifn 3545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  -.  x  e.  ran  F )
7776adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  -.  x  e.  ran  F )
78 disjsn 4023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  F  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  ran  F )
7977, 78sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) )
80 f1oun 5847 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> ran  F  /\  { <. z ,  x >. } : {
z } -1-1-onto-> { x } )  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) ) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
8174, 75, 66, 79, 80syl22anc 1293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
82 f1of1 5827 . . . . . 6  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
8381, 82syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
84 frn 5747 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
8551, 84syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ran  F 
C_  B )
8685, 58unssd 3601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  u.  { x } )  C_  B
)
87 f1ss 5797 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  { x } )  /\  ( ran  F  u.  { x } ) 
C_  B )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
8883, 86, 87syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
89 fex 6155 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
9050, 4, 89syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9190adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F  e.  _V )
92 snex 4641 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. }  e.  _V
93 unexg 6611 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  {
<. z ,  x >. }  e.  _V )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V )
9491, 92, 93sylancl 675 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
_V )
95 reseq1 5105 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f  |`  A )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )
)
9695eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
f  |`  A )  =  F  <->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F ) )
97 f1eq1 5787 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) )
9896, 97anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
9998elabg 3174 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10094, 99syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10171, 88, 100mpbir2and 936 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
102101ex 441 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ran  F
)  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
10321anbi1i 709 . . 3  |-  ( ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  <->  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
104 simprlr 781 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
105 f1fn 5793 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
106104, 105syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
10781adantrl 730 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran  F  u.  { x } ) )
108 f1ofn 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )
109107, 108syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  { z } ) )
110 eqfnfv 5991 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  ( A  u.  { z } )  /\  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
111106, 109, 110syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
112 fvres 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( g  |`  A ) `
 y )  =  ( g `  y
) )
113112eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  =  ( ( g  |`  A ) `  y
) )
114 simprll 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  |`  A )  =  F )
115114fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
116113, 115sylan9eqr 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( F `
 y ) )
11748ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F : A -1-1-> B
)
118 f1fn 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F  Fn  A )
12025, 52fnsn 5642 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. z ,  x >. }  Fn  { z }
121120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  { <. z ,  x >. }  Fn  { z } )
12265ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
123 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
124 fvun1 5951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  {
<. z ,  x >. }  Fn  { z }  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
125119, 121, 122, 123, 124syl112anc 1296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
126116, 125eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
127126ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
128127biantrurd 516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) ) )
129 ralunb 3606 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
130128, 129syl6bbr 271 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  A. y  e.  ( A  u.  {
z } ) ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
13125a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
z  e.  _V )
13252a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  x  e.  _V )
133 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
13450, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
135134eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
13630, 135mtbird 308 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  F )
137136adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  -.  z  e.  dom  F )
138 fsnunfv 6120 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
139131, 132, 137, 138syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
140139eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  <-> 
( g `  z
)  =  x ) )
141 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
g `  y )  =  ( g `  z ) )
142 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) )
143141, 142eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) ) )
14425, 143ralsn 4001 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <-> 
( g `  z
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 z ) )
145 eqcom 2478 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( g `  z )  <->  ( g `  z )  =  x )
146140, 144, 1453bitr4g 296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  x  =  ( g `  z
) ) )
147111, 130, 1463bitr2d 289 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <-> 
x  =  ( g `
 z ) ) )
148147ex 441 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
149103, 148syl5bi 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
15013, 15, 47, 102, 149en3d 7624 1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   1c1 9558    + caddc 9560    <_ cle 9694   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591
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