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Theorem hashf1lem1 12488
Description: Lemma for hashf1 12490. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashf1lem2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
hashf1lem2.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
hashf1lem2.3  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
hashf1lem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  +  1 )  <_  ( # `  B
) )
hashf1lem1.5  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
Assertion
Ref Expression
hashf1lem1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Distinct variable groups:    z, f    A, f    B, f    ph, f    f, F
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    B( z)    F( z)

Proof of Theorem hashf1lem1
Dummy variables  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5763 . . . . . 6  |-  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  f : ( A  u.  { z } ) --> B )
21adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  ->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B )
3 hashf1lem2.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
4 hashf1lem2.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 snfi 7589 . . . . . . 7  |-  { z }  e.  Fin
6 unfi 7779 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
74, 5, 6sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  u.  {
z } )  e. 
Fin )
83, 7elmapd 7426 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  <->  f :
( A  u.  {
z } ) --> B ) )
92, 8syl5ibr 221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) ) )
109abssdv 3560 . . 3  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) ) )
11 ovex 6298 . . 3  |-  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e.  _V
12 ssexg 4583 . . 3  |-  ( ( { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  C_  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  /\  ( B  ^m  ( A  u.  { z } ) )  e. 
_V )  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  e.  _V )
1310, 11, 12sylancl 660 . 2  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  e.  _V )
14 difexg 4585 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
153, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  \  ran  F )  e.  _V )
16 vex 3109 . . . 4  |-  g  e. 
_V
17 reseq1 5256 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
f  |`  A )  =  ( g  |`  A ) )
1817eqeq1d 2456 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
( f  |`  A )  =  F  <->  ( g  |`  A )  =  F ) )
19 f1eq1 5758 . . . . 5  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
2018, 19anbi12d 708 . . . 4  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  <-> 
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
2116, 20elab 3243 . . 3  |-  ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) )
22 f1f 5763 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
2322ad2antll 726 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) --> B )
24 ssun2 3654 . . . . . . 7  |-  { z }  C_  ( A  u.  { z } )
25 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
2625snss 4140 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  u.  { z } )  <->  { z }  C_  ( A  u.  { z } ) )
2724, 26mpbir 209 . . . . . 6  |-  z  e.  ( A  u.  {
z } )
28 ffvelrn 6005 . . . . . 6  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) --> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g `  z )  e.  B
)
2923, 27, 28sylancl 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  B )
30 hashf1lem2.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  A
)
3130adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  z  e.  A )
32 df-ima 5001 . . . . . . . . 9  |-  ( g
" A )  =  ran  ( g  |`  A )
33 simprl 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g  |`  A )  =  F )
3433rneqd 5219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  ran  ( g  |`  A )  =  ran  F )
3532, 34syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g " A )  =  ran  F )
3635eleq2d 2524 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  ( g `  z )  e.  ran  F ) )
37 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)
3827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  z  e.  ( A  u.  {
z } ) )
39 ssun1 3653 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( A  u.  { z } )
4039a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  A  C_  ( A  u.  {
z } ) )
41 f1elima 6146 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  /\  z  e.  ( A  u.  {
z } )  /\  A  C_  ( A  u.  { z } ) )  ->  ( ( g `
 z )  e.  ( g " A
)  <->  z  e.  A
) )
4237, 38, 40, 41syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ( g
" A )  <->  z  e.  A ) )
4336, 42bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
( g `  z
)  e.  ran  F  <->  z  e.  A ) )
4431, 43mtbird 299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  -.  ( g `  z
)  e.  ran  F
)
4529, 44eldifd 3472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
) )  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) )
4645ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  ->  ( g `  z )  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
4721, 46syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ->  (
g `  z )  e.  ( B  \  ran  F ) ) )
48 hashf1lem1.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-> B
)
49 f1f 5763 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
5048, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
5150adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A --> B )
52 vex 3109 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
5325, 52f1osn 5835 . . . . . . 7  |-  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }
54 f1of 5798 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x }  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x } )
5553, 54ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }
56 eldifi 3612 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  x  e.  B )
5756adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  x  e.  B )
5857snssd 4161 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { x }  C_  B )
59 fss 5721 . . . . . 6  |-  ( ( { <. z ,  x >. } : { z } --> { x }  /\  { x }  C_  B )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
6055, 58, 59sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } --> B )
61 res0 5266 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
62 res0 5266 . . . . . . 7  |-  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) )  =  (/)
6361, 62eqtr4i 2486 . . . . . 6  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  (/) )
64 disjsn 4076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  A )
6530, 64sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
6665adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( A  i^i  { z } )  =  (/) )
6766reseq2d 5262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( F  |`  (/) ) )
6866reseq2d 5262 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( {
<. z ,  x >. }  |`  (/) ) )
6963, 67, 683eqtr4a 2521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  { z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )
70 fresaunres1 5740 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  {
<. z ,  x >. } : { z } --> B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  {
z } ) )  =  ( { <. z ,  x >. }  |`  ( A  i^i  { z } ) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
7151, 60, 69, 70syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F )
72 f1f1orn 5809 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7348, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F
)
7473adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F : A -1-1-onto-> ran  F )
7553a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  { <. z ,  x >. } : { z } -1-1-onto-> { x } )
76 eldifn 3613 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  ran  F )  ->  -.  x  e.  ran  F )
7776adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  -.  x  e.  ran  F )
78 disjsn 4076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  F  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  ran  F )
7977, 78sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) )
80 f1oun 5817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-onto-> ran  F  /\  { <. z ,  x >. } : {
z } -1-1-onto-> { x } )  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  ( ran  F  i^i  { x } )  =  (/) ) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
8174, 75, 66, 79, 80syl22anc 1227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } ) )
82 f1of1 5797 . . . . . 6  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
8381, 82syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  {
x } ) )
84 frn 5719 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
8551, 84syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ran  F 
C_  B )
8685, 58unssd 3666 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( ran  F  u.  { x } )  C_  B
)
87 f1ss 5768 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> ( ran  F  u.  { x } )  /\  ( ran  F  u.  { x } ) 
C_  B )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
8883, 86, 87syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  {
z } ) -1-1-> B
)
89 fex 6120 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  _V )
9050, 4, 89syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
9190adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  F  e.  _V )
92 snex 4678 . . . . . 6  |-  { <. z ,  x >. }  e.  _V
93 unexg 6574 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  _V  /\  {
<. z ,  x >. }  e.  _V )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V )
9491, 92, 93sylancl 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
_V )
95 reseq1 5256 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f  |`  A )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )
)
9695eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
f  |`  A )  =  F  <->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F ) )
97 f1eq1 5758 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  <->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) )
9896, 97anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } )  ->  ( (
( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
9998elabg 3244 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  _V  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10094, 99syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  <->  ( ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  |`  A )  =  F  /\  ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) ) )
10171, 88, 100mpbir2and 920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } )
102101ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  ran  F
)  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  e.  {
f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) } ) )
10321anbi1i 693 . . 3  |-  ( ( g  e.  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B ) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  <->  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )
104 simprlr 762 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )
105 f1fn 5764 . . . . . . 7  |-  ( g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B  ->  g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
106104, 105syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
g  Fn  ( A  u.  { z } ) )
10781adantrl 713 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran  F  u.  { x } ) )
108 f1ofn 5799 . . . . . . 7  |-  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) : ( A  u.  { z } ) -1-1-onto-> ( ran 
F  u.  { x } )  ->  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )
109107, 108syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  { z } ) )
110 eqfnfv 5957 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  ( A  u.  { z } )  /\  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  Fn  ( A  u.  {
z } ) )  ->  ( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
111106, 109, 110syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `
 y )  =  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
112 fvres 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  (
( g  |`  A ) `
 y )  =  ( g `  y
) )
113112eqcomd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  A  ->  (
g `  y )  =  ( ( g  |`  A ) `  y
) )
114 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  |`  A )  =  F )
115114fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g  |`  A ) `  y
)  =  ( F `
 y ) )
116113, 115sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( F `
 y ) )
11748ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F : A -1-1-> B
)
118 f1fn 5764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  F  Fn  A )
12025, 52fnsn 5623 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. z ,  x >. }  Fn  { z }
121120a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  { <. z ,  x >. }  Fn  { z } )
12265ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( A  i^i  {
z } )  =  (/) )
123 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
124 fvun1 5919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  A  /\  {
<. z ,  x >. }  Fn  { z }  /\  ( ( A  i^i  { z } )  =  (/)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
125119, 121, 122, 123, 124syl112anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( F `  y ) )
126116, 125eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B )  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  /\  y  e.  A )  ->  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
127126ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  A. y  e.  A  ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y ) )
128127biantrurd 506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) ) )
129 ralunb 3671 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( A  u.  { z } ) ( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( A. y  e.  A  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  /\  A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
130128, 129syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  A. y  e.  ( A  u.  {
z } ) ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y ) ) )
13125a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
z  e.  _V )
13252a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  x  e.  _V )
133 fdm 5717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
13450, 133syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
135134eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
13630, 135mtbird 299 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  dom  F )
137136adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  ->  -.  z  e.  dom  F )
138 fsnunfv 6087 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  x  e.  _V  /\  -.  z  e.  dom  F )  ->  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
139131, 132, 137, 138syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( F  u.  {
<. z ,  x >. } ) `  z )  =  x )
140139eqeq2d 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z )  <-> 
( g `  z
)  =  x ) )
141 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
g `  y )  =  ( g `  z ) )
142 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) )
143141, 142eqeq12d 2476 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( g `  y
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 y )  <->  ( g `  z )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  z ) ) )
14425, 143ralsn 4055 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z }  ( g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <-> 
( g `  z
)  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `
 z ) )
145 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( g `  z )  <->  ( g `  z )  =  x )
146140, 144, 1453bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( A. y  e. 
{ z }  (
g `  y )  =  ( ( F  u.  { <. z ,  x >. } ) `  y )  <->  x  =  ( g `  z
) ) )
147111, 130, 1463bitr2d 281 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) ) )  -> 
( g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <-> 
x  =  ( g `
 z ) ) )
148147ex 432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( g  |`  A )  =  F  /\  g : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
)  /\  x  e.  ( B  \  ran  F
) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
149103, 148syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e. 
{ f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  /\  x  e.  ( B  \  ran  F ) )  ->  (
g  =  ( F  u.  { <. z ,  x >. } )  <->  x  =  ( g `  z
) ) ) )
15013, 15, 47, 102, 149en3d 7545 1  |-  ( ph  ->  { f  |  ( ( f  |`  A )  =  F  /\  f : ( A  u.  { z } ) -1-1-> B
) }  ~~  ( B  \  ran  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ran crn 4989    |` cres 4990   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1->wf1 5567   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412    ~~ cen 7506   Fincfn 7509   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618   #chash 12387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-fin 7513
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